高考数学总复习-上海版8-向量

1、2015高考数学辅导资料-上海版第三部 图形与几何第七章 平面向量与空间向量一、平面向量的坐标表示1.平面向量的数量积向量既有大小又有方向，与起始点无关；几何意义是有向线段，如物理学中的矢量；向量与向量的积表示一个向量的大小乘以另一个向量在该向量方向上的分量的大小，只代表数量积；如：a·b表示向量a的长度|a|与向量b在a方向上的投影|b|cos的乘积，或b的长度|b|与a在方向b上的投影|a|cos的乘积，为向量夹角；a·b为负表示向量a、b方向相反。【向量乘积的物理意义】就是两个矢量相乘在同一方向上才有效，如W=Fscos,功等于位移乘以位移方向上力的分力。2.平面向量

2、分解定理如果向量、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使；3.向量的坐标表示向量a=(x,y)的大小（长度）；长度为1的向量称为单位向量；向量与它的负向量大小相等，方向相反，如-a=(-x,-y) ；【平面向量的表示方法】坐标法 a=(x,y) （考纲要求）单位向量法 a= |a|.e，e是a的单位向量；三角法 a=|a|(cos,sin) = (|a|cos, |a|sin) 【区分】AB、表示有向线段，表示有向线段的长度，AB表示一般线段的长度；4.向量运算的坐标表示【向量的加法与减法】两个向量相加，当起始点重合时，满足平行四边形法则；当首尾相

3、连时，满足三角形法则； 向量a+b表示以a、b为底边的平行四边形的对角线；向量a-b表示以a、-b为底边的平行四边形的对角线； 【三角形法则（平行四边形法则）】 ，； ，；【向量的夹角公式及应用】，是向量的夹角；向量夹角公式不仅适用于平面向量的夹角，同样适用于空间向量的夹角。【G0613-B】如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）ABCD.答案：C 5.向量平行及向量垂直的坐标关系【共线向量（平行向量）】向量a、b满足ab (为非零常数)，表示向量a和b共线，几何意义是有向线段共线或平行，前后是充要条件；零向量平行于任何向量【向量垂直】a·b0，表示向量a和b垂直【向

4、量平方的意义】向量的平方表示自身长度的平方，a2=a·a|a|26.向量的度量计算【向量与实数】对于实数，若a·b=0，则a=0或b=0若a2=b2，则a=b或a= -b 若a·b=a·c，则b=c a0对于向量，若a·b=0，表示二者垂直，a、b大小、方向任意若a2=b2，表示二者长度相等|a|=|b|，a、b方向任意若a·b=a·c，则b不一定等于c；向量之乘积等式不能简单约分共同点：若为实数，a为实数或向量，a=0，则=0或a=0；无论a、b、c、d为实数还是向量，满足乘法结合律，如；向量的运算【平面向量的坐标运算】向

5、量之和表示法 c=a+b=（xa+xb，ya+yb），向量之差即与负向量之和；向量之内积等于对应坐标的乘积之和，表示法 c=a.b=xa.xb+yayb；（向量外积定义为： |a ×b| = |a|·|b|·Sin<a, b>. 方向根据右手法则确定，就是手掌立在a、b所在平面的向量a上，掌心向b，那么大拇指方向就是垂直于该平面的方向，被规定为外积的方向。）*向量之内积等于一个向量的长度与另一个向量在该向量方向上的投影长度之积；注：向量没有倒数形式；【G1417W-B】如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，Pi（i=1，

6、2，7）是小正方形的其余顶点，则（i=1，2，7）的不同值的个数为（）A7B5C3D1解：AP6、AP3、AP1在AB上的投影相等，AP7AP4在AB上的投影相等，AP5AP2在AB上的投影相等，所以不同值有3个，选C【实数与向量的积】实数与向量的积表示向量的大小增大实数倍，方向不变；为实数，a=(x, y)7.几个重要结论ABC中，若G为重心，P为ABC所在平面上任一点，则；若H为垂心，O为外心，则；若中线分别为AD，BE，CF，则；若几个向量首尾相连构成一个多边形，则这几个向量的和为零；四、空间向量（理）8.空间向量的概念及其运算（理）空间向量的坐标表示a（x，y，z）空间向量的加法和减法

7、：向量的三个坐标值分别相加或相减空间向量的长度：空间向量的数乘表示各个方向上所得到的数量积之和空间向量的数乘为数量积：a.b=xaxb+yayb+zazb 平面的垂线就是平面的法向量平面上的任意向量与平面的法向量的数量积为零；【向量与平面平行】向量与平面平行时，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的【共面向量】平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内9.方向向量和法向量【直线的方向向量】直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量；【G1204W-B】若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）

8、答案【平面的法向量】如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作；如果，那么向量叫做平面的法向量。【平面的法向量的求法】在适当坐标系下，设法向量为；求出平面内两个不共线向量的坐标，；，由定义建立方程组：且解方程组，取其中一个解得法向量为。10.空间向量及其运算的坐标表示（理）【空间向量的基本定理】如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使 pxa+yb+zc【空间两点间距离公式】空间点A和点B，AB距离等于空间向量的长度。直线的方向向量只表示空间向量的方向，即向量空间三角式的余弦表达式；向量在平面内的射影表示空间向量在

9、各平面上的向量分量【空间向量的夹角公式】向量夹角公式： 可用来求两条异面直线的夹角，直线和平面的夹角以及二面角【空间向量的应用】向量法证明空间内线面平行。线面平行：记l的方向向量为，的法向量为，则要证，只要，即；面面平行：求出平面、的法向量、，证明/。【G1204-C】若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.解析：直线垂直的条件是斜率之积为-1；设直线的倾斜角为，则.【空间共面向量定理及其推论】（1）共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得 p= xa+yb （2）共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB

10、内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得，或对于空间任意一定点O，有 推论：设O、A、B、C是不共面的四个点，则对空间任一点P，都存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使 说明：若xyz，则根据共面向量定理得：P、A、B、C四点共面习题部分向量与三角形分析【G0805-B】若向量满足且与的夹角为，则 . 解析：，【G0714-B】在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，则的可能值有A、1个 B、2个 C、3个 D、4个【答案】B 【解析】解法一： （1） 若A为直角，则； （2） 若B为直角，则；（3） 若C为直角，则。所以 k 的可能值个数是2，选B 【G1318-B】在

11、边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,则满足（ ）. (A) (B) (C) (D) 解析：利用向量的数量积公式，可知只有,其余数量积均小于等于0，m、M分别为的最小值、最大值，m0，M0,故选D【G1314W-A】已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为、.若i,j,k,l且ij,kl，则·的最小值是 .答案-5【G1212W-B】在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范

12、围是 答案1,4【G1212-C】在平行四边形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 .解析：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（），设，0，1，M（，），N（，），所以=-2-2+5，因为0，1，二次函数的对称轴为：=-1，所以0，1时，-2-2+52，5故答案为：2，5【G1111-C&W】在正三角ABC中，D是BC上的点.若AB=3，BD=1，则 。=, =.【G1117-B】设是平面上给定的5个不同点，则使成立的点的个数为（ ）A B1 C5 D10解：根据题意，设M的坐标为（x，y），x，y解得组数即符合条件的点M的个数

13、，再设A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；若成立，则有x=，y=，只有一组解，即符合条件的点M有且只有一个；故选B【G1416-B】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）（A）1 (B)2 (C)4 (D)8解析：在正四棱柱中，P1和P5关于AB对称，P2和P6关于AB对称，P3和P7关于AB对称，任选一个即可；AP1、AP2、AP3、AP4、AP8在AB上的投影都相等，所以选A；【G1219-B】如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，求：（1）三角形的面积；（2）异面直线与所成的角的大小.解：（1）PACD，CDAD，CDPD；，所以三角形PCD的面积为；（2）解一如图所示