解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型

1、解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、 参数法（点参数、K参数、角参数）7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2 ）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题（5）求曲线的方程问题1 曲线的形状已知 这类问题一般可用待定系数法解决。2曲线的形状未知-求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题（7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1） 椭圆有两种定义。第一定义中，1+r2=2a。第二定义中，c=ed1r2=ed2。（2） 双曲线

2、有两种定义。第一定义中， * 2 2a，当12时，注意2的最小值为 c-a:第二定义中，1=ed1,2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与"点到准 线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用 定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化 为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不 要忽视判别式的作用。3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量

3、而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为"设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用"点差法”，即设弦的两个端点 A(x i,yi),B(x2,y2),弦AB中点为M(xo,yo)，将点A、 B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不 求”法，具体有：2 2(1) 务 岭 1(a b0)与直线相交于 A、B，设弦 AB中点为 M(xo,yo),则有a b笃卑k 0。(其中K是直线AB的斜率) a b(2)2 x -2 ab21(a0,b0)与直线I相交于A、B,设弦AB中点为M(xo,y

4、o)则有第 -yk0(其中K是直线AB的斜率)a b(3) y2=2px( p>0)与直线 I 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.(其中K是直线AB的斜率)4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB长的方法是：把直线方程y kx b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2 bx c 0的方程，方程的两根设为 xA，xB，判别式为，贝y |AB|1k2 |xA xB|1 k2，若直接用结论，能减少配方、开|a|方等运算过程。5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问

5、题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。女口" 2x+y ”，令2x+y=b，贝U b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如"x2+y2” ,令 Jx2 y2 d，则d表示点P (x, y)到原点的距离；又如" _3 ”，令_ =k，则k 'x 2 x 2表示点P (x、y)与点A (-2 , 3)这两点连线的斜率6、参数法(1) 点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点”)，以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如 x轴上一动点P,常

6、设P (t , 0);直线x-2y+1=0上一动点P。除设P (xi,y 1)外，也可直接设 P (2yi-1,y 1)(2) 斜率为参数当直线过某一定点 P(xo,y o)时，常设此直线为 y-yo=k(x-x 0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。(3) 角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。7、代入法这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件Pl,P2求(或求证)目标Q',方法1是将条件Pi代入条件P2,方法2可将条件P2代入条件Pi,方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是

7、待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。八、充分利用曲线系方程法、定义法【典型例题】例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点(2)抛物线C: y2=4x上一点QP到点A(3,42 )与到准线的距离和最小，则点P的坐标为到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标分析：(1) A在抛物线外，如图,连 PF，则PHPF，因而易发现,当A、P、F三点共线时，距离和最小。i 1HA/qBPF(2) B在抛物线内，如图，作 QR丄I交于R,则当B、Q、R三点共线时，距离和最 小。解:( 1)(2， 2)连PF,当A、P、F三点共线时， AP PH AP PF

8、最小，此时 AF的方程为4 2 01y (X 1)即 y=22(x-1),代入 y2=4x 得 P(2,22),(注：另一交点为(一，42)，3 12它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去)1(2) (,1)4过Q作QR丄I交于R,当B、Q、R三点共线时， BQ QF| BQ QR最小，此时 Q一 1 1点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，二Q( ,1)44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。2 2jyAH-F 0rF .丿xP为椭圆例2、F是椭圆x y 1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点,43上一动点。(1) PA | PF |的最小值为(2

9、) PA 2PF的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或准线作出来考虑问题。解：(1) 4 - . 5设另一焦点为F，则F (-1,0)连A F ,PFPA PF PA 2a PF 2a (PF PA) 2a AF 4 显当P是FA的延长线与椭圆的交点时，PA PF取得最小值为4-J5。1(2)作出右准线 I，作 PH 丄 I 交于 H，因 a2=4, b2=3, c2=1, a=2, c=1 , e=,21 PF ：|PH,即2 PFPH PA 2 PF PA PH当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为2aXac例3、动圆M与圆Ci：（x+1）2+y2=36内切,与

10、圆C2：（x-1）2+y2=4外切,求圆心M的 轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半 径”（如图中的MC MD ）。解：如图，MC MD，AC MA MB DB 即6 MA MB 2点M的轨迹为椭圆,2a=8, a=4, c=1 , b2=15 轨迹方程为2x162y15MA MB 8( *)点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出.（x 1）2 y2. （x 1）2 y24，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！

11、3例 4、 ABC 中，B（-5,0）,C（5,0）,且 sin C-s in B=si nA,求点 A 的轨迹方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R （ R为外接圆半径）可转化为边长的关系。解:si nC-si nB=3si nA532Rs in C-2Rsi nB=5-2RsinA AB AC即 AB AC点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）/ 2a=6, 2c=10-a=3,c=5,b=422所求轨迹方程为x1(x>3)916点评：要注意利用定义直接解题，这里由（* ）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在y

12、=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴 的最短距离。分析：(1)可直接利用抛物线设点，如设A(xi,xi2), B(X2, X22),又设AB中点为M(xoyo)用弦长公式及中点公式得出y。关于xo的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。(2) M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一:设 A(x 1， xi2)， B(X2, x22)， AB 中点 M(x0，yo)(X1X2)2(X12X；)29则X1X22xo2X12X22yo由得(Xi_X2)21+(x 1+X2)2=9即(X1+X2)2-4X1X2 1+(X 1+X2)2=9由、得 2x1X2=

13、(2x o)2-2yo=4x o2-2yo代入得(2xo)2-(8xo2-4yo) 1+(2xo)2=9 4yo 4x：91 4x：24yo 4xo4x(4x：1)94x( 1'2 9 1 5, yo ¥当4xo2+仁3 即Xo子时，(yo)min§此时M(上自424法二：如图，2MM2aa2 bb2| |af| |bf| |ab| 3y ,MxBAcA110 M1Bix1AMB2313MM 2即 MM1-21 42MM15当AB经过焦点F时取得最小值。45 M到x轴的最短距离为 -4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消xi, X2,从而形成yo关于xo的函

14、数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性， 简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。二、韦达定理法【典型例题】2 2例6、已知椭圆 乂 1(2 m 5)过其左焦点且斜率为 1的直线与椭圆及准线m m 1从左到右依次交于 A、B、C、D、设f(m)=|ABCD| ,( 1)求f(m),(2)求f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(

15、m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”A在准线上,B在椭圆上，同样C在椭圆上,D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防f (m) (Xb Xa)J2 (Xd Xc)V2|2|(Xb Xa) (XdXc)2 (Xb Xc) (Xa Xd)2 (XbXc)D!yc/1* F1B* A0 F2X此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。2 2解：(1)椭圆1 中，a2=m , b2=m-1 , c2=1，左焦点 Fi(-1,0)m m 1则 BC:y=x+1，代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1) 2-m2+m=0/

16、(2m-1)x2+2mx+2m-m 2=0设 B(x1,y1),C(X2,y2),则X1+X 2=-2m2m 1(25)f(m) | AB CD| 血 |(Xb Xa)2(X1 X2) (Xa Xc)2x1(XdXc)X22m2m 1(2) f (m)，-2m 1 12m 1、2(112m当 m=5 时，f (m)min10、一 29当 m=2 时，f (m)max4.23y。点评：此题因最终需求Xb Xc，而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设 BC中0，将 yo=xo+1，k=1 代入得点为M(x0,y0)，通过将B、C坐标代入作差，得-mXomx°1m 1m2m 1，可见Xb

17、2m2m 1当然，解本题的关键在于对 f (m) J AB CD|的认识，通过线段在 x轴的“投影” 发现f (m) xB xC是解此题的要点。三、点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次 方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为 A(x1, y1)、B(x2,y2)，将这两点代入 圆锥曲线的方程并对所得两式作差， 得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大 减少运算量。我们称这种代点作差的方法为"点差法”。1.

18、 以定点为中点的弦所在直线的方程x2例1、过椭圆162y41内一点M (2,1)引一条弦，使弦被 M点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为 A(x1, y1)、B(x2, y2)M (2,1)为AB的中点x1 x24y1 y22又A、B两点在椭圆上，则2,2 2,2X1 4y116，X2 4y2162 2 2 2两式相减得(人x2 ) 4(y1y2 ) 0于是(X1 X2)(X1 X2)4(y1 y2)(y1 y?)0y1y2x-ix241X1X24( y1y2)4 221即 kAB1，故所求直线的方程为 y12(x 2)，即 x 2y 40。2例2、已知双曲线x2 y 1，

19、经过点M (1,1)能否作一条直线I，使I与双曲线交于 A、B，且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线I，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点 M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)则X1X22y1y22222X11，X22 也122两式相减，得1 y.| y2(xi X2)(X! X2)(yi y2)(yi y?) okAB - 22 x-i x2故直线 AB: y 12(x 1)y 12(x 1)由 2 y2消去y，得2x2 4x 3

20、 0x122(4)4 2 380这说明直线 AB与双曲线不相交，故被点 M平分的弦不存在，即不存在这样的直线 I。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的 M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点 M平分的弦一 般存在；(2)若中点M在圆锥曲线外，则被点 M平分的弦可能不存在。2. 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹221例3、已知椭圆 J 1的一条弦的斜率为 3,它与直线x丄的交点恰为这条弦的中点75 252M，求点M的坐标。1解:设弦端点 P(x1，y1)、Q(X2,y2)，弦 PQ 的中点 M(x°,yo)，

21、则冷 -人 X22x01 ， y1 y2y02 又y12X121，y22X2175257525两式相减得25( y1y2)(y1y2)75(x1X2)(X1X2)0即 2 y0(y1y2)3(X1X2)0y1y23X1X22 y0ky1y2333，即y。1X1X22y02点M的坐标为G，2)。2 222例4、已知椭圆- X 1 ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。7525解：设弦端点P(x1, y1)、Q(X2, y2)，弦 PQ 的中点 M (x, y)，则两式相减得25( y1y2)( y1y2)75(X! X2)(X!X2)即 y(yiy2) 3x(xiX2)yi科2即2XiX23xyi

22、 y2XiX23x3，即 X yX由y275y 02-i25，得P(5.325 3)2)2222又 yiXiy2X2257525' 75在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为5 - 3、x V)2x例i已知椭圆y2 i，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.2x,y（在已知椭圆内）2X 1的相交弦解 设弦的两个端点分别为 P xi, y-! , Q x2, y2 ， PQ的中点为M则Xi2 yi1，（八X221)y21，（2）2222XiX222nX2yiy212得:yiy20，yi22XiX2又xX22x, yiyiy22y,y22，x 4y0.XiX22 2Q弦中点轨迹在已知椭圆内，

23、所求弦中点的轨迹方程为 x 4y 0y20.例2 直线l : ax y a 50 （ a是参数）与抛物线 f ： y解设 A x1, y1、B x2, y2，AB中点Mx, y，则 Xix2 2x.Q l :a x1y 50，l过定点N i,5，kkABMN22又yiXi1 ，（ 1）y2X2i ，（2）是AB，则弦 AB的中点轨迹方程是 .y 5X 112 得：yiy2Xix21XjX2X1X2 yiy2kABX1x2XiX22.2x2Q弦中点轨迹在已知抛物线内,所求弦中点的轨迹方程为y 2x27 (在已知抛物线内)3. 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为F(0,

24、.50)的椭圆被直线l : y3x 2截得的弦的中点的一 i横坐标为一，求椭圆的方程。22解：设椭圆的方程为与a，则a2 b250设弦端点P(x1, y1)、Q(X2, y2)，弦 PQ 的中点 M(Xo,y°)，则Xo2 ,y°3X0XiX2 2x0 i, yi y2 2y°i2 2 又生生 又 2.2a b2 2y2X21ab两式相减得b2(yiy2)(yi y2)a2(XiX2)(XiX2)0即 b2( yy2)a2(XiX2)02%y2a2XiX2b联立解得a275 ,b2252y所求椭圆的方程是-752xi25例3已知 ABC的三个顶点都在抛物线y232

25、x上，其中A 2,8，且 ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线 BC的方程.解 由已知抛物线方程得 G 8,0 .设BC的中点为M x0,y0，则A G、M三点共2 2xouuuu_了线，且AG 2GMG分AM所成比为2，于是 128 2yo1 2x 11解得，M 11, 4 .y 4设 B Xl , y1 ,C X2, y2 ，则 y1 y28 .22又 y132x1，（ 1） y232x2，（ 2）2 212 得：y,y232 为 x2 ，kBCy1y232y y2324.BC所在直线方程为y 44 x 11，即 4x y 400.例4已知椭圆2 x2 ab 0的一条准线方程是x1，有一条

26、倾斜角为；的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点为C1 11 1 ，求椭圆方程2'4解设A s、BX2,y2，则%22xy22亍 1，（2）ab222212 得：x1X22y12y2ab,y1y2b221kAB2， aX1X2a222b ， （3）x1,y11y2 2，2X1 且4a2 y1b21，（ 1）y1y2b2 x1X2b2122Ax1x2ay1y2a12a又 1，a2 c，（ 4）而 a2c由（3），（4），（5）可得 a2-,b22b2c2，（ 5）221Xy所求椭圆方程为1411244. 圆锥曲线上两点关于某直线对称问题2 2例6、已知椭圆 1，试确定的m取值范围，使得对

27、于直线 y 4x m，椭圆上总43有不同的两点关于该直线对称。P(x, y)为弦 RP2解：设R(xi，yi)，P2(X2,y2)为椭圆上关于直线 y 4x m的对称两点,的中点，贝V 3xj 4y1，解得 12，3x22 4y22 122 2 2 2两式相减得，3(X1 X2 ) 4( y1y2 ) 0即 3(X1 X2)(X1 X2)4(y1 y2)(y1 y2)0禺X22x,y1y22y,y 3x这就是弦P F2中点P轨迹方程。它与直线4xm的交点必须在椭圆内联立yy3x4x，得Xy3m则必须满足即(3m)22.13132 13135.求直线的斜率2X例5已知椭圆一252y9上不同的三点

28、AX1, y1,B94, C x2, y2与焦点5F 4,0的距离成等差数列.(1)求证:x(x28 ； (2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T ,求直线BT的斜率k.(1) 证略.(2) 解QX1 X2 8 , 设线段AC的中点为D 4,y。又A、C在椭圆上,2X12y121, (1)堂2宜 1,(2)2592592 2yy22 得:x-|2x22256.7.yiy2X1x2直线DT9 xix23625 yiy2252y。25y。的斜率kDT确定参数的范围例6若抛物线的取值范围.25 yo36直线DT的方程为25y°y0厉6425，即 T 64 ,025， 直线BT的斜率9

29、0 k -L4 6425C : y2x上存在不同的两点关于直线I : y解当m0时，显然满足.当m 0时，设抛物线C上关于直线l : y m x 3对称，求实数两点分别为Xi,%、Q X2,y2，且PQ的中点为X。， yo ，则2y1X1，2（1）y2X2，（ 2）2y2X1X2，kPQy1 y2XiX2y1 y22 yo又kPQm y。Q 中点 M x0 ,y0在直线l :y m x2Q中点在抛物线y2m yX0，即综上可知，所求实数证明定值问题例7已知AB是椭圆X区域内2m5 肋/且，解得22上,yom x03，于是Xo,10m的取值范围是10. .2X2a占 1 a b 0不垂直于x轴的

30、任意一条弦,bP是AB的中点，O为椭圆的中心求证:直线AB和直线OP的斜率之积是定值.证明 设 Ax1,y., Bx2,y2且x1x2，yi2y12得:y2X1x2又koP上X12X2(1 )刍a2X2a.2b%x22ay1y2y2X1x28.其它。看上去不是中点弦问题,2 y2 b2-2y2(2)b2b2a丄kOPy1 y2XiX22b x1x22 a% y22 (定值).a但与之有关，也可应用。例9,过抛物线y2 2px(p 0)上一定点P( xo, yo)( yo 线于 A( X1,Y1)，B( X2,y2).(1) 求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点F的距离；2(2) 当PA与PB的斜

31、率存在且倾斜角互补时，求0 ),作两条直线分别交抛物y1yo決的值，并证明直线 AB的斜率是非零常数.2 2解(1)略:设 A(y1 ,y1),B(y 2 ,y2)，则kAE=y2yj2y1y2y1yo kP半 2y 1yoy1,kpB yo上yo2y22yoy2yo由题意，kAB=-k AC,y1 yoy2yo，则Y1y22 yo则：kAB=2yo为定值。例1。、抛物线方程y2 p(x 1)(p o)，直线x y t与x轴的交点在抛物线准线的右边。(1) 求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2) 设直线与抛物线的交点为A、B，且OA丄OB ,求p关于t的函数f(t)的表达式。(1 )证明：抛

32、物线的准线为1: x 1卫4由直线x+y=t与x轴的交点(t，0)在准线右边，得t 1 £，而4t p 4 04x y t22由 2消去 y得 x (2t p)x (t p) 0y p(x 1)2 2(2t p) 4(t p) p(4t p 4)0故直线与抛物线总有两个交点。(2)解：设点 A(X1, y1),点 B(X2, y2)2x1 x2 2t p, x1x2 tQOAOB koAkoB则 x1x2y“20又y2(txj(tX2)x1x2.2y*2 t(t 2)pp f(t)丄t4t0得函数f (t)的定义域是(2 , 0)(0, )【同步练习】1、已知:F1,22xyF2是双

33、曲线一22ab1的左、右焦点，过Fi作直线交双曲线左支于点A、B，若 AB ABF2的周长为(A、4aB、4a+mc、4a+2mD、4a-m2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,贝U P点的轨迹方程是A、y2=_16xB、 y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x且 AB AC ，点3、已知 ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列,的坐标分别为(-1 , 0), (1 , 0)，则顶点A的轨迹方程是()2 x2y12 x2y1(x0)A、B、43432222xC、y1(x0)xD、y_1(x0 且 y0)4343()A、(x 1)22 y9(x1)B、(

34、x$! 2y!<x1)C、x2 (y1)29(x1)2D、x(yyl<x1)5、已知双曲线x22 y1上一点M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离是9166、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、 已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点 p(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为 10、设点P是椭圆2x251上的动点，F1, F2是椭圆的两个焦点，求 sin/ F1PF2的9、 直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k=最大值。11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到

35、坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线I与此椭圆相交于 A、B两点，且AB中点M为(-2,1), AB 4J3 ,求直线I的方程和椭圆方程。12、已知直线l和双曲线2 x2 a2与 1(a 0,b0)及其渐近线的交点从左到右依次为bA、B、C、D。求证:ABCD参考答案1、Caf2二 AF22、CAF, 2a, BF2 BF,y2=16x，选 C3、D2a ,AB 4a, AF2 BF2 AB 4a 2m,选 C点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线p=8开口向右，则方程为/ ABAC2 2，且 AB AC点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又 A、B、C三点不共线，即y丰

36、0，故选4、A设中心为得 1(2x1)2(2y)2(x, y),则另一焦点为(2x-1 ,1 224，二(x 卫2y25、35 29 离为ed3 56、x (y22y)，则原点到两焦点距离和为又 c<a,. . (x 1)2 y2(x-1)2+y2<4，由，得x丰-1，选299一 左准线为x=- , M到左准线距离为52931-) 设弦为 AB , A(X1, y1), B(x2, y2)AB 中点为(x, y)，贝U y1=2x12,(-) 空则M到左焦点的距552 2 2y2=2x 2 , y1-y2=2(x1 -X2 ).y1y2X1x22( X1 X?)- - 2=2 2x

37、,11方程是x - (y> -)227、y2=x+2(x>2)设 A(xi, yi),B(X2,y2), ab中点M(x , y),则2小2y1 2X1, y2c22x2, y12y22(XiX2),竺X1y2(Y1¥2)2X2 kAB kMPy 0x 2又弦中点在已知抛物线内yx 2P,即 y2<2x，即 x+2<2x , x>22y2，即 y2=x+228、4 ab24,c8, c 2 2，令 x 2、. 2 代入方程得 8-y 2=4 y2=4 , y=± 2，弦长为49、2 或1 y=kx+1代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)

38、 2-仁0 (1-k2)x2-2kx-2=00 得 4k2+8(1-k2)=0， k= -i 2 1-k2=0 得 k= ± 110、解：a2=25, b2=9, c2=16设 F1、F2 为左、右焦点，贝U F1(-4 , 0)F2(4 , 0)、 设 PF1r1 > PF2r2 > F1 2则 r1 r22r： r/ 2 r! r2 cos(2c)22-得 2门r2(1+cos 0 )=4b2I1ypF1F2X4b2- 1+cos 0 =2叩22b2 r1+r2 nr2的最大值为a2- 1+cos 0的最小值为2b22，a即 1+cos 01825cos0725，7a

39、rccos25则当2时，sin0取值得最大值1,11将x 代入y=2x2得y ,轨迹22即sin / F1PF2的最大值为1。2 211、设椭圆方程为笃71(a ba b2由题意：C、2C、 c成等差数c列,椭圆方程为2x2b"c即a22c2, a2=2(a2-b2), / a2=2b22 y b21，设 A(x 1,yi), B(X2, y2)2X12b"2X22b22b2-得2 2x-ix22b22y1b2电与k2b bk 0 二 k=1直线AB方程为y-1=x+2即 y=x+3 ,代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=0二 3x2+

40、l2x+18-2b2=0,ABX21 3 ； 12212(18 2b2) 24.3x2解得b2=12,椭圆方程为242y12直线l方程为x-y+3=012、证明:设 A(x 1,y1), D(X2, y2), AD中点为M(xo, yo)直线I的斜率为k，则2X12 a2X2 2 a2b22y2b22x0 2y0-得孑总B(xyJ,C(X2, y2), BC中点为 M (x。, yo)，12x则歹12X2a212笃0b212与0b22yJ成立2x由、知M、M均在直线I :2a岸k若I过原点，则B、C重合于原点，命题成立0上，而M、M又在直线l上，若I与x轴垂直，则由对称性知命题若I不过原点且与

41、x轴不垂直，则 M与M 重合CD四、弦长公式法若直线l : y kx b与圆锥曲线相交与 A、B两点，A (x1, y1), B(x2, y2)则弦长 AB , (xi X2)2 (yi y2)2.(X) X2)2 kxi b (kx2b)2Ji k2|x1 x2|AB|=、111 y2特殊的，在如果直线1 k2 i (% x2)2 4x1x2 同理:yil .(y2 yi)2 4丫2力AB经过抛物线的焦点，则|AB|=?般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB长的方法是：把直线方程y kx b代入圆锥曲线方程中，得到型如2ax bx c 0的方程，方程的两根设为xA， xB，判别式为，则|AB|

42、 i k2 |xA xB| i k2 上仝，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过|a|程。例 求直线x y 1 0被椭圆x2 4y2 16所截得的线段 AB的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。2例题1：已知直线y x 1与双曲线C : x21交于A、B两点，求AB的弦长4解：设 A (X1, yj, B(X2, y2)y x 12由2 v2得4xx214(x 1)24 0 得 3x2 2x 5 02x1 x2则有3得，5X1X2一AB3V1 k2 寸(冷 X2)24x1x2叫9 202 X

43、练习1 :已知椭圆方程为2y1与直线方程1:y x 相交于22A、B两点，求AB的弦长练习2:设抛物线y2 4x截直线y 2x m所得的弦长 AB长为3、5，求m的值分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解：设 A( x1, y1), B(x2, y2)y联立方程2X得 6x2 4xX1则X2X1X2AB2 2k (X1X2)4x1x22.(2)214( 2)2 113解：设 A(x1, y1), B(x2, y2)2联立方程：yyX212m4X 得 4x2(4m2x m4)xX1则X1X2AB $1 k2&X5、.(厂m)2例题2:已知抛物线yab分析：a、

44、b两点关于直线 的中点在已知直线上解： A、B关于l : Xx2)24恥2m 43上存在关于直线x y0对称相异的两点 A B,求弦长0对称，则直线AB的斜率与已知直线斜率的积为1且ABo对称ki kAB 1ki 1kAB 1设直线 AB 的方程为 y x b ， A( x-i , y1), B(x2, y2)y x b2联立方程2化简得X2 X b 30yx2 31 1x1 x21AB中点M( , b)在直线x y 0上2 2b 1x2 x 2 0“ X1 x21则12x1 x22AB 1 k2 ,(Xi X2)2 4xiX22( 1)2 8 3 2小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采

45、用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点联立方程 消元韦达定理弦长公式作业：(1)过抛物线y2 4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于A , B两点，且AB 16 求的值3 ,(2)2已知椭圆方程 Xy21及点B(0,22)，过左焦点 F1与B的直线交椭圆于C、D两点，F2为椭圆的右焦点，求CDF2的面积。【典型例题】 五、数形结合法b2 4a 6bt o'例1:已知P(a,b)是直线x+2y-仁0上任一点，求S= a2分析：由此根式结构联想到距离公式，解：S= (a 2)2 (b 3)2 设 Q(-2,3),则S=|PQ|,它的最小值即Q到此直线的距离.S | 2 2 3 1|3 5薦5点评：此