导数练习题及答案

1、章末检测 一、选择题 1. 已知曲线y=x2 + 2x-2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( A.(一匕3) B. (一 1, -3) C. ( 2, 3) D. ( 2,3) 答案B 解析 .f(x) = 2x+2=0, x=l. /(-1) = (-1)2 + 2X(-1)-2=-3. M( 1. 一3). 2. 函数2* + 5的单调减区间为() A. ( 一 1)及(0,1) B. (-1,0)及 +*) C. (-1,1) D(一8, 1)及(1, + ) 答案A 解析 /=4x34x=4x(x2 1) 令 / 故选 A. 3. 函数/(x)=x3+ax2+3x-9,在x=-

2、3时取得极值，则Q等于( ) A. 2 B 3 C. 4 D 5 答案D 解析f(x)=3/ + 2ax+3.由f(x)在x=-3时取得极值， 即f (一3) = 0,即 27 6a+3=0, a=5 1 4. 函数y=in丙的大致图象为() 答案D 解析 函数的图象关于x=-l对称，排除A、C,当%-1时，y=Tn(x+l)为减函数，故 选D. 5. 二次函数y=/(x)的图象过原点，且它的导函数y=f(x)的图象过第一、二、三象限的一条 直线，则函数y=/(x)的图象的顶点所在象限是() A.第一 B.第二 C.第三D.第四 答案C 解析V y=f(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数

3、的图象必然先下降再上升 且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三彖限. 6. 已知函数/(x)=-x3 + ax2-x-l在(一 f +*)上是单调函数，则实数a的取值范围是() A. (一 8, 一羽)B一羽,羽 C.(羽，+) D.(羽，羽) 答案B 解析 /(x) = 3x2 + 2ax10 在(+)恒成立，Zl=4a212 3a0),则 y=/(x)() A. 在区间(, 1)(1, e)内均有零点 1 B. 在区间(& 1), (1 e)内均无零点 C. 在区间(2，1)内无零点，在区间(1, e)内有零点 1 D. 在区间(J 1)内有零点，在区间(1, e)内

4、无零点 答案C 解析 由题意得f(x)=于，令 f(x)0 得 x3：令 f(x)0 得 0 x3： f(x) = 0 得 x=3, 故知函数/(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3, +*)为增函数，在点x=3处有极小值1一 _ 1 e 1 1 ln30, /(e)=-l0. ) 9. 设函数的=葺即+西学冬+tan 0,英中0曰0,気，则导数f的取值范围是() A. -2,2 B.边，问 C苗2 D.迈，2 答案D 解析 T /(x)=x2sin &+x芋cos O f (l) = sin 0+*/5cos 0=2(扌sin 0+ros 0) = 2sin(i?+扌) 5R

5、R , n 3n T OS0S迈，手抄+护才， ?. sin(i?+) 由 f(x)0 得 x2 或 x0：由 f 何V0 得 0 x0. /(2) = -13 解析由题意应有/,(x)=-3x2J-a0,在区间(-1,1)上恒成立，则C3/, x曰一：1,1)恒成立, 故C3 13. 在平而直角坐标系xOy中，点P在曲线C： y=x3-10 x+3上，且在第二象限内，已知 曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为 _ 答案(245) 解析/=3x2-10=2=x= 2,又点P在第二象限内，.x=-2,得点P的坐标为(一2,15) 14. 函数/(x)=x3+Ox2 + bx+a2,在x

6、=l时有极值10,那么a, b的值分别为 _ . 答案4. -11 解析 fx=3-2ax+b. f(l) = 2a+b+3=0, /(l)=a24a4-b4-l = 10, a=4 %=-ll 当GT时不是极值点，G b的值分 别为4, 一12 三、解答题 15.设|al,函数/(x)=x3|ax2 + b(- 1X1)的最大值为1,最小值为一乎，求常数a. b. 解令 /(x)=3x2 3ax=0f 得 x】=0, x2 = a. f(O) = b, f(a)=-手+b,九一 1)= 一 1 -|a+b, /(l) = l-|a+b 2 _ 3 因为3o1,所以1 一尹0任一刃上恒成立，

7、即曲一co在弓为上恒成立， 2X2在一扌，寺上恒成立於(12/)伽=0 当 a=O 时，/(X) = 12X20 恒成立(只有 x=O 时 f(x)=O). :.a=O符合题意. 1 1 若/(X)在一刁列上为单调减函数， 1 1 则f(x)WO,在一亍,寸上恒成立， 即12/虫0在一扌，弓上恒成立， /. a12x2在扌，弓上恒成立， a(12x2)max=3. 当 a=3 时，/(x) = 12x2-3 = 3(4x2-l)0,又由b0可得r0,故V(r)在(0,5)上为增函数; 当 5,5)时,W(r)0,故(r)在(5,5羽)上为减函数. 由此可知，U(r)在r=5处取得最大值，此时h

8、=8. 即当r=5, h = 8时，该蓄水池的体积最大. 17.统汁表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时) 1 3 的函数解析式可以表示为：y=535x3-x4-8(Ox12O).已知甲、乙两地相距100千米. 当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升 (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少最少为多少升 解(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了喘=小时， 1 3 要耗汕(128 000M _i6x40 + 8)x = (升). (2)当速度为*千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了晋小时，设耗油量为h(x)升，

9、 1 3 100 1 800 15 依題尼、尙 b(x) = (28 OOO 亦+8) x =1280+ x 才(0 V20), x 800 x3-803 R(x)=而一 K=6(OVx.2O) 令 /(x) = 0,得 x=80 当 xe(o?8o)时，Mx)0, b(x)是增函数. 当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=. 因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值. 答 当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油升.当汽车以80千米/时的 速度匀速行驶时.从甲地到乙地耗汕最少，最少为升. 28 l2知函数/(x)=x3 crln x扌QH0) 当o=3时，

10、求曲线y=/(x)在点/)处的切线方程: (2) 求函数/(x)的单调区间： (3) 若对任意的xel, +*),都有fx)0成立，求a的取值范闹. 解 当 a=3 时，/(x)=|x3 3lnx/(1)=0, 3 :.f(x)=x2-. .f(l)=-2, 曲线尸沧)在点 沖)处的切线方程2x+y 2 = 0. a x3a (2)/(x)=x2-=(x0) 当aVO时,fx) = 0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0+s) 当a0时,令f(x) = O,解得x=a或x=_徧舍). X (0,第) (站，+) f(x) 0 + M 减 极小值 增 /.函数/(x)的递增区间为(第，+-),递减区间为(0.第) 对任意的xei, +*),使M0成立，只需对任意的xel, 4), /(X)min0.