高中数学 知识点素材 新人教A版必修1

1、数学必修1知识点一、集合及其运算（一）集合的概念、分类概念：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。分类：有限集、无限集、空集（二）集合的特征1、确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。2、互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。3、无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。（三）表示方法 列举法 描述法 图示法 区间法常用数集及其记法：非负整数集（自然数集）N 正整数集N*或

2、N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R（四）两种关系从属关系：元素 、 集合；包含关系：集合 、 集合1.“包含”关系子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2“相等”关系(55，且55，则5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B任何一个集合是它本身的子集。AÍA真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合

3、A是集合B的真子集，记作AB(或BA)如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为（五）三种运算 交集： 并集： 补集：（六）运算性质 ， 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集 若，则， ， ， 集合的所有子集的个数为，所有真子集的个数为，所有非空真子集的个数为，所有（二）元子集（含有两个元素的子集）的个数为二、函数的概念（一）映射设A、B两个集合，如果按照某中对应法则，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B

4、的映射（二）函数在某种变化过程中的两个变量、，对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的值和它对应，则称是的函数，记做，其中x称为自变量，变化的范围叫做函数的定义域，和对应的的值叫做函数值，函数值的变化范围叫做函数的值域函数是由非空数集到非空数集B的映射三、基本初等函数（一）一次二次函数1. 函数叫做一次函数，它的定义域和值域皆为R2. 一次函数性质： 当k>0时，为增函数，当k<0时，为减函数；当b=0时，函数为正比例函数；直线y=kx+b与x轴的交点为与y轴的交点为.3. 二次函数的解析式的三种形式：一般式；顶点式；零点式；4. 二次函数的图象与性质的图

5、象是一条抛物线，顶点坐标为，对称轴方程为，当时开口向上, 当时开口向下；时，抛物线与x轴有2个（1个、无）交点.单调性：当时，在减函数； 在上是增函数.，相反.奇偶性：偶函数；既不是奇函数也不是偶函数；（二）指数函数及其性质1分数指数幂与根式：如果，则称是的次方根，的次方根为0，若，则当为奇数时，的次方根有1个，记做；当为偶数时，负数没有次方根，正数的次方根有2个，其中正的次方根记做负的次方根记做负数没有偶次方根；2两个关系式：；3、正数的正分数指数幂的意义：； 正数的负分数指数幂的意义：4、分数指数幂的运算性质： ； ； ； ； ，其中、均为有理数，均为正整数5、指数函数（1）指数函数的概念

6、：一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1（2）指数函数的图象和性质a>10<a<1图象特征函数性质向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为(0,+函数图象都过定点（0，1）(0,1)自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋势是越来越陡图

7、象下降趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；（三）对数函数及其性质1、对数及其运算（1）定义：若，且，则（2）两个对数： 常用对数：，； 自然对数：，（3）三条性质： 1的对数是0，即； 底数的对数是1，即； 负数和零没有对数（4）四条运算法则： ； ； ； （5）其他运算性质： 对数恒等式：； 换底公式：（，且；，且；）； ； 2、对数函数（1）、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型

8、函数 对数函数对底数的限制：，且（2）、对数函数的性质：a>10<a<1图象特征函数性质函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，）图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1，0）自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0第四象限的图象纵坐标都小于0第四象限的图象纵坐标都小于0（四）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点

9、，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第（一）象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴四、函数的性质（一）函数的三要素：解析式；定义域；值域1、函数的解析式（1）根据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知，求函数的解析式（2）已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知是一次函数，且，函数的解析式（3）由函数的图像受制约的条件，进而求的解析式2、函数的定义域（1）根据给出函数的解析式求定义域： 整式： 分式：分母不等于0 偶次根式：被开方数大于或

10、等于0 含0次幂、负指数幂：底数不等于0 对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0（2）根据对应法则的意义求函数的定义域： 例如：已知定义域为，求定义域； 已知定义域为，求定义域；（3）实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域3、函数的值域（1）基本函数的值域问题：名称解析式值域一次函数二次函数时，时，反比例函数，且指数函数对数函数三角函数（2）求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与（三）角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造

11、法和*导数法等（二）函数的奇偶性（1）定义：对于函数定义域中的任意一个，如果满足，则称函数为奇函数；如果满足，则称函数为偶函数（2）判断函数奇偶性的步骤：判断函数的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；验证与的关系，若满足，则为奇函数，若满足，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数（3）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称（4）已知、分别是定义在区间、上的奇（偶）函数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性奇奇奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶偶偶（5）若奇函数的定义域包含，则（6）一次函数是奇函数的充要条件是； 二次函数是偶函数的充要条件是（三）函数的周期性（1）定

12、义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，为这个函数的一个周期（2）如果函数所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期如果函数的最小正周期为，则函数的最小正周期为（四）函数的单调性1定义：一般的，对于给定区间上的函数，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值，当时满足： ，则称函数在该区间上是增函数； ，则称函数在该区间上是减函数2判断函数单调性的常用方法：（1）定义法： 取值； 作差、变形； 判断： 定论：*（2）导数法： 求函数f(x)的导数； 解不等式，所得x的范围就是递增区间； 解不等式，所得x的范围就是递减区间3.

13、复合函数的单调性： 对于复合函数，设，则，可根据它们的单调性确定复合函数，具体判断如下表：增增减减 增减增减 增减减增注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集4奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同(五) 函数的图像1基本函数的图像2图像变换： 将图像上每一点向上或向下平移个单位，可得的图像 将图像上每一点向左或向右平移个单位，可得的图像 将图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩为原来的倍，可得的图像 将图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸为原来的，可得的图像 关于轴对称 关于轴对称 将位于轴左侧的图像去掉，再将轴右侧的图像沿轴对称到左侧，可得的图像 将位于轴下方的部分沿轴对称到上方，可得的图像3函数图像自身的对称关系图像特征关于轴对称关于原点对称关于轴对称关于直线对称关于直线轴对称关于直线对称周期函数，周期为4两个函数图像的对称关系图像特征与关于轴对称与关于轴对称与关于原点对称与关于直线对称与关于直线对称与关于轴对称五、函数的应用（一）、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点