2020高考文数(北师大版)教学案第10章第4节离散型随机变量及其分布列

1、第四节 离散型随机变量及其分布列考纲传真1理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性 2 理解超几何分布及其导出过程，并能进行简 单的应用.1. 离散型随机变量的分布列(1) 将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数， 这种对 应称为一个随机变量.(2) 离散型随机变量：随机变量的取值能够一样的随机变量称为离散型随机变量.(3) 设离散型随机变量 X 的取值为 ai,随机变量 X 取 ai的概率为 pi(i二 1,2,)，记作：P(X= a)= pi(i = 1,2,),或把上式列表：X= aia1a2P(X= ai)P1P2称为离散型

2、随机变量 X 的分布列.(4)性质：1Pi0, i = 1,2,;2P1+他+二 1.2. 超几何分布般地，设有 N 件产品，其中有 M(M N)件次品.从中任取 n(nWN)件产品,用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件数，那么课前知识全通关如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为 N, M , n 的超几何分布.基础自测1.（思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.（）（2）离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.（）（3）如果随机变量 X 的分布列由下表给出，则它服从两点分布.（）X

3、25P0.30.7（4）从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人，其中女演员的人数 X 服从超几何分布.（）答案X V X V2.投掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为 X，那么 X = 4 表示的事件是（）A.颗是 3 点，一颗是 1 点B.两颗都是 2 点C.甲是 3 点，乙是 1 点或甲是 1 点，乙是 3 点或两颗都是 2 点D.以上答案都不对C 甲是 3 点，乙是 1 点与甲是 1 点，乙是 3 点是试验的两个不同结果，故选 C.3 .设随机变量 X 的分布列如下:X123451111P12636P则 p 为（）P(X= k)=CMCN-MCN(其中 k 为非负整数).AlB 1B

4、. 3C.41D. /C 由分布列的性质知，.1111., 3 Jn12 + 6+3 + 6+p=，p=1 4 = 4.4. 设随机变量 X 等可能取值 1,2,3,，n,如果 P（Xv4）= 0.3,那么 n=10 由于随机变量 X 等可能取 1,2,3,，n，1取到每个数的概率均为-,3 P(X3二 P X 二1P(X_ 400) _ 1 P(X_ I00) P(X_ 300)故 X 的分布列为X200300400P13310105规律方法求离散型随机变量分布列的步骤(1) 找出随机变量 X 的所有可能取值 Xi(i = 1,2,3,，n);(2) 求出各取值的概率 P(X= xi) =

5、pi;(3) 列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.提醒：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识跟踪练习 一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色卡片 4 张，编号分别为1,2,3,4;白色卡片 3 张，编号分别为 2,3,4 从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任何 一张卡片的可能性相同)(1) 求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率；(2) 在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量 X 的分布列.解(1)由题意知，在 7 张卡片中，编号为 3 的卡片有 2 张，故所

6、求概率为（2）由题意知，X 的可能取值为 1,2,3,4,且p（x=1）=命 35,P（X=2）二 C 二 35， P（X=3）=C7=7, P（X= 4） = C4=4.5 5一所以随机变量 X 的分布列是X1234P1424353577超几何分布13|_【例 2】 PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准 GB3095 2012, PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米75 微克/立方米之间空气 质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区 2017 年全年每

7、天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的 数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5 日均值(微克/ 立方米)25，35)35，45)45，55)55，65)65，75)75，85频数311113从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，求恰有一天空气 质量达到一级的概率；(2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据， 记E表示抽到 PM2.5 监测数据超标的 天数，求E的分布列.解(1)记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，恰有一C1C221天空气质量达到一级”为事件 A，则 P(A) = CCf亦.(2)依据条件知，E服从

8、超几何分布，其中 N= 10，M = 3，n = 3，且随机变量E的可能取值为 0,1,2,3.c3Q3kP(E=k)二 CV(k=，1,2,3):P(E0戶窘 24,P(X= 1)=詈=1835,1 2P(X = 2)=穹=1235,c/八C3C2P(E1)=CCCT 二21=40,cicjP(E2)=C10二7=40,c3c0P(E3戶时1=120.故E的分布列为只会英语，3 人既会法语又会英语，现选派 3 人到法国的学校交流访问求：(1) 在选派的 3 人中恰有 2 人会法语的概率；(2) 在选派的 3 人中既会法语又会英语的人数 X 的分布列.dC24解(1)设事件 A:选派的 3 人中恰有 2 人会法语，则 P(A)= CC7=l.(2)依题意知，X 服从超几何分布，X 的可能取值为 0,1,2,3,c44P(X= )= c7= 35，跟踪练习 某外语学校的一个社团中有 7 名同学，其中 2 人只会法语，2 人C31P(X=3)= C3= 35, X 的分布列为X0123P418121353535352所以 P(|