2020高考理数(新课标版)总复习教学案第6章第2节基本不等式

1、1第二节基本不等式考纲传真1了解基本不等式的证明过程 2 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题._ a ub1.基本不等式.abw厂(1) 基本不等式成立的条件：a0, b0.(2) 等号成立的条件：当且仅当 a= b.2.几个重要的不等式2 2(1) a1 2 3+ b2 2ab(a, b R)；b a(2) a +a2(a, b 同号且不为零);3.算术平均数与几何平均数设 a0, b0,则 a, b 的算术平均数为=?厂，几何平均数为 ab,基本不等 式可叙4.利用基本不等式求最值问题已知 x0, y0,贝 U2 如果 xy 是定值 p,那么当且仅当 x= y 时，x+ y 有最小值

2、是 2*p(简记： 积定和最小).23 如果 x+y 是定值 q,那么当且仅当 x=y 时， xy 有最大值是 (简记： 和定 积最大).常用结论课刖知识全通关夯实基础*拒除盲点2 2*2w宁(a.bR).2述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3重要不等式链基础自测1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“x”)1函数 y=x+ -的最小值是 2.()入函数 f(x)= cos x+ cOSx，x 0, 2 的最小值等于 4.()(3) x0, y0 是X+y2 的充要条件.()y x(4) 若 a0,则 a3+右的最小值为 2 a.()a答案X(2)x(3

3、)x x2.(教材改编)设 x0, y0,且 x+y= 18,则 xy 的最大值为()A. 80B. 77C. 81 D. 82 81,当且仅当 x= y= 9 时，等号成立.故选 C.3.若 a, b R，且 ab0,贝 U 下列不等式中，恒成立的是()A. a2+ b22abB. a+ b2 . ab1 1 2 C._ + ba babD.a+b 2 a bD va2+ b2 2ab= (a- b)20,二 A 错误；对于 B, C,当 a0, b 1,贝 U x+:的最小值为_ .x I5 x +丄=(x 1) + 12、/(x- 1+ 1= 5,若 a b0,贝 U aa2+ b2xy

4、w对于 D,vab0,4x 1x 1/x 154当且仅当 x1=，即 x= 3 时等号成立.x 15._ 若实数 x, y 满足xy= 1,则 x4 5+ 2y2的最小值为_.2 2由 xy= 1 得 x6+ 2y22 2= 2 2.当且仅当 x2= 2y7时等号成立.4 1(1)4(2)1(1)由题知 a 3b = 6，因为 2a 0,8b 0，所以 2a+ 衣时取等号.2X2ax ；b= 2X ，：2a3b=亦，当且仅当 2a=宙，即卩 a= 3b, a= 3, b=1课堂题型全突破考点.全面6利用基本不等式求最1|值?考法 1 直接法或配凑法求最值【例 1】(1)(2018 天津高考)已

5、知 a, b R，且 a 3b + 6= 0,则 2a+*的最小值为_.51(2)已知 XV4,贝 U f(x) = 4x 2+ 4x5 的最大值为_ .2+ 3= 1.一 1当且仅当5-4x= 5x 即x=8时，等号成立.?考法 2常数代换法求最值【例 2】1 1已知 a0，b0，a+ b= 1,则 + 的最小值为4 因为 a+ b= 1,所以 a+1+B(a+b)=2+b+b2+2，ba=2+2= 当且仅当 a= b 时，等号成立.拓展探究(1)若本例条件不变，求 i1+ a i1 + b 的最小值;1 1(2)若将本例条件改为 a+ 2b = 3，如何求解彳+b 的最小值.解 (1) 1

6、 +11+ J8故 f(x) = 4x 2+的最大值为 1.4x 5则 f(x) = 4x 2+14x15 4x+、5 4x+3w 2巧(5-4x+ 3=5 4x7ib a、=5+2a+b5+4二 9.1当且仅当 a= b= 2 时，等号成立1 2因为 a + 2b= 3，所以a+1.才、111 112-12 a 2boa 2b22所以 a+沪 a+b 3a+3b=3+ 3+3b+3a1+2； 3b 3a=1+3 当且仅当 a= 2b 时，等号成立.a+ ba+ b1 + 1a 丿 Ib 丿1 +8拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等3 条件变形，进行“ 1 ”的代换求目标函数最值

7、1跟踪练习 若函数 f(x) = x+x2(x2)在 x= a 处取最小值，则 a 等于 ()A. 1+ 2B. 1+ 3C. 3D . 4x(2) (2018 平顶山模拟)若对于任意的 x0,不等式x2+3x+三 a 恒成立，则 实数a 的取值范围为()A1厂1A.a5B.a51 1C.av5D.a2 时，x 20 , f(x) = (x 2) +2x 2(x 2X丄 + 2= 4,当且仅当 x 2 = 丄仪2),即 x= 3 时取等号，即x2x2当 f(x)取得最小值时，即 a= 3,选 C.x1(2)由 x0, 得2=1 三x+3x+IXx+1+ 3 xIX号成立.贝 U a5,故选 A

8、.(3)v正实数 x， y 满足 2x + y = 2,Mt2 1 1 2 1 则 2+厂 1(2x+y)x+y111二 5 当且仅当 x= 1 时，等x + 32 2915+2X15+2y+1092=2，当且仅当 x= y= 2 时取等号219二2+y 的最小值为 2基本不等式的实际应1题型题型用【例 3】 某厂家拟定在 2018 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年k销量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用 m（m0）万元满足 x= 3-話（k 为常 数）如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1 万件已知 2018 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投

9、入 16 万元，厂家将 每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）（1）将 2018 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数；（2）该厂家 2018 年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解（1）由题意知，当 m= 0 时，x= 1（万件），8+ 16x每件产品的销售价格为 1.5X（元），所以入8+ 16x8 16x- mx16=-m+ 1+m+1+ 29(m0).A O_因为 m0,+ (m+ 1)2.16= 8,m+ 116 一所以 yW-8 + 29 = 21，当且仅当=m+ 1 ? m= 3(万兀)时，ymax=

10、 21(万m+ 1所以 1 =3- k? k= 2,所以 x= 3-2m+ 12018 年的利润 y= 1.5xX11故该厂家 2018 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为 21 万元.12规律方法利用基本不等式解决实际问题的 3 个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的 最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.跟踪塚习 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计)，第 t 天*1(K t 30,t N )的旅游人数 f(t)(万人)近似地满足 f(t) = 4 + ，而人均消费 g(t)(元) 近似地满足 g(t)= 120-|t-20|.(1) 求该城市的旅游日收益 W(t)(万元)与时间 t(1t0,559+ 竽一 4t，