2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：24正弦定理、余弦定理Word版含解析

1、课时作业24正弦定理、余弦定理一、选择题ABC 的角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,若 cosA= 8, ca=2, b= 3,贝 S a= ( A )5A.2 B.2C. 3D.7解析：由题意可得 c= a+ 2, b= 3, cosA=f,由余弦定理，得1b2+ c2 a27 9+(a+ 2)2 a2、cosA= 2 bc，代入数据，得 8=，解方程可得 a2bc82X3(a+2)=2.2. （2019 湖北黄冈质检）在厶 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为a, b, c,若 a = -b, A= 2B,贝 S cosB= （ B ）A.于C巫C.5J5由正弦定理

2、，得 sinA=2sinB,又 A= 2B,所以 sinA= sin2Bx5=2sinBcosB，所以 cosB=才.3. （2019 成都诊断性检测）已知锐角厶 ABC 的三个内角分别为 A,B, C,贝卩 “sAsinB”是 “taAtanB”的（C ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件B.解析:础巩C.充要条件 D .既不充分也不必要条件ab解析：在锐角ABC 中，根据正弦定理 sinA= SHB，知 sinAsinB ?ab? AB,而正切函数 y = tanx 在 （0, 上单调递增， 所以 AB? tanAtanB.故选 C.4. （2019 武汉调研）在厶 ABC 中，角

3、A, B, C 所对的边分别为 a,cb, c,若 bcosA，则 ABC 为（A ）A .钝角三角形 B .直角三角形C.锐角三角形D .等边三角形c sinC解析：根据正弦定理得 b =snBcosA,即 sinCvsinBcosA,VA+ B+ C=n;-sinC= sin(A+ B)sinBcosA,整理得 sinAcosB0 ,.cosB0, 2Bn-：-ABC 为钝角三角形.人nc nA.2 B.3C.1_ a2+ b2 c22absi nC=4 ，所J22a+bcn5. （2018 全国卷皿） ABC 的内角A,若厶 ABC 的面积为a2+ b2- c2则 C=(B, C 的对边

4、分别为 a, b,C ）D.解析：根据题意及三角形的面积公式知以 sinC =2ab= cosC，所以在厶 ABC 中，C= 4.6. （2019 河南洛阳高三统考）在厶 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c,若 a, b, c 成等比数列，且 a2= c2+ ac bc,则c=bsinBA舟B 晋C.f D- 3解析：由 a, b, c 成等比数列得 b2= ac,则有 a2= c2+ b2 be.亠b2+c2a2be 1n2由余弦定理得 cosA=2be=2be=2，故 A=3，对于 b=ac,由正弦定理得，sin2B= sinAsinCsinC,由正弦定理得，bS

5、iBSB2sinC二、填空题7. 在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,若角 A,解析：因为角 A, B, C 依次成等差数列，所以 B= 60.由正弦定1i理，得拆=解得 sinA= 2,因为 0 A180 ；所以 A=30 此时 C = 90 ,所以SBC= 2ab=238. (2019 福州四校联考)在厶 ABC 中，a, b, c 分别是角 A, B,CCC 的对边，且满足(a+ b)sinq = 12, (a bjeosq = 5,贝 U c= 13.解析：v(a + b)sinC= 12, (a b)cosC = 5,.(a + b)2sin2C =

6、144，(a b)2cos2C= 25 ， +得，a2+ b2 2ab(cos2C sin2C) =169,a2+ b2 2abcosC= c2= 169,c= 13.B, C 依次成等差数列,9.(2019 开封高三定位考试)在厶 ABC 中，角 A, B, C 的对边分 别为 a, b, c, bta nB+ btanA= 2ctanB,且 a = 5, ABC 的面积为 2-3,sin(A+ B) = 2sinCcosA，故 sinC=2sinCcosA.因为 sinC 0,所以 cosA1ni-=2，所以 A=.由面积公式，知 Swc= 2bcsinA= 2 3,所以 bc= 8. 由

7、余弦定理，知 a2= b2+ c2 2bccosA= (b + c)2 3bc，代入可得 b+ c=7.三、解答题10. (2019 惠州市调研考试)已知 ABC 中，角 A, B, C 的对边 分别为 a, b, c,且 2cosC(acosC + ccosA) + b= 0.(1) 求角 C 的大小；(2) 若 b = 2, c= 2 3,求厶 ABC 的面积.解：(1)T2cosC(acosC + ccosA)+ b= 0,由正弦定理可得2cosC(s inAcosC+ si nCcosA)+ si nB = 0,/2cosCsin(A + C) + sinB = 0,即卩 2cosCs

8、inB+sinB= 0,1又 0B180:/.sinBM0,.cosC= 2又 0 C0,解得 a= 2,.S$BC=absinC= .3,/./ABC 的面积为.3.11. (2019 重庆市质量调研)在厶 ABC 中，角 A, B, C 所对的边BB1分别为 a, b, c, 且 sinq cos= 4.(1) 求 cosB 的值；(2) 若 b2-a2=亠#ac，求菁黑的值.B B 11解：(1)将 s“2 cos2= 4 两边同时平方得，1-sinB=16,得 sinB_ 1516,“佰一 B B 1故 cosB= 16，又 sin2 cos2 = 40,所以 sinBcosB,311

9、6 -由余弦定理得 b2= a2+ c2- 2accosB = a2+ 尹 ac,回回所以 a = c-2acosB = c+ a,所以 c%故业所以 c 8a，故 sinA 8 .力提升练B所以 2(4,n，所以 B (nn，故cosB=-.2 兀2nsincosA cosysinA3 亠 2sinA2tanA 十 22,c 故；的取值范围为(2,+ 乂).a13. (2019 山西八校联考)在厶 ABC 中，a, b, c 分别是内角 A,B, C 的对边，且(a+ c)2 b2+ 3ac.(1) 求角 B 的大小；(2) 若 b 2, 且 sinB+ sin(C A) 2sin2A,求

10、ABC 的面积.解：(1)由(a+ c)2 b2+ 3ac,整理得 a2+ c2 b2 ac,n*0Bn.B3.在 ZABC 中，A+B+ Cn即 Bn(A+ C)，故 sinB sin(A+C),由已知 sinB + sin(C A) 2sin2A 可得 sin(A+C)+ sin(C A)2sin2A,si nAcosC + cosAsinC + sin CcosA cosCs inA 4sinAcosA,整理得 cosAsinC 2sinAcosA.若 cosA 0,贝 yA2,由b2,可得ctanB穿,此时ABC 的面积 S 2bc若 cosAz0,贝卩 sinC2sinA,由正弦定理

11、可知，c 2a,由余弦定理得cosBa2+ c2 b22acac _12ac代入 a2+ C b2= ac,整理可得 3a2=4,解得 a=睡=骨，此时 AABC 的面积 S= acsinB=综上所述， ABC 的面积为3.尖子生小题库一一供重点班学生使用，普通班学生慎用14.（2019 南宁、柳州联考）在厶 ABC 中，角 A, B, C 所对的边 分别为 a, b, c,若 bc= 1, b + 2ccosA= 0,则当角 B 取得最大值时， ABC的周长为（A ）A . 2+ 3B. 2+ 2C. 3D. 3+ 2解析：解法 1:由题意可得，sinB + 2sinCcosA= 0,即 s

12、in（A+ C）+ 2sinCcosA= 0,得sinAcosC= 3sinCcosA,即卩 tanA= 3tanC.又 cosAJtanCX3tanC = 23,当且仅当 tanC = 时等号成立，此时 角 B 取得最大值，且 tanB = tanC=3,tanA= ,3,即 b = c,A=120 , 又 bc= 1,所以 b= c= 1, a= 3,故ABC 的周长为 2+ 3.b2+ c2 a2解法 2:由已知 b + 2ccosA= 0,得 b+ 2c 石2c0.tanB = tan(A + C)=tanA + tanC2tanC1 tanAtanC 1 + 3tan2C2尿+3ta

13、nC,由基本不等式，得 佥+ 3tanC2bc当且仅当 a-3c 时等号成立，此时角 B 取得最大值，将 a- 3c 代 入 2b2a2 c2可得 b c.又 bc- 1,所以 b c 1, a .3,故AABC 的周长为 2+ 3.故选 A.15. (2019 河南信阳二模)已知 a, b, c 分别是 ABC 内角 A, B,C 的对边，且满足(a+b+ c)(si nB + si nC si nA) bsinC.(1) 求角 A 的大小；(2) 设 a 3, S ABC 的面积， 求 S+羽 cosBcosC 的最大值. 解： (1)v(a+ b + c)(sinB + sinC sin

14、A) bsinC,根据正弦定理，知(a + b+ c)(b + c a) bc, 即卩 b + c a bc.b2+ c2 a2由余弦定理，得 cosA 2bc 2又 A (0,n,所以 A 3n.根据a3 A-务及正弦定理可得爲-盏-snA-.22,.b 2sinB, c 2sinC.S-1bcsi nA-1x2si nBx2si nCxS+ 3cosBcosC 3sinBsinC+ 3cosB cosC.3cos(B C).2b2= a2 c2.由余弦定理，得 cosB =a2+ c2 b2a2+ 3c2、2 .,3ac 3- -2ac4ac 4ac 2 12.3si nBsinC.BC,故当nB+ C 3,即 BCn时,S+