2021全国Ⅱ卷第21题.doc

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑2021全国卷第21题.doc 三都高级中学 2021 届数学压轴题解答策略-导数的应用（二） 班级 姓名 【2021 全国卷第 21 题】（12 分） 21.已知函数2( )xf x e ax = - . (1) 若 1 a = ，证明：当 0 x ³ 时， ( ) 1 f x ³ ； (2)若 ( ) f x 在 0 +¥ （ ， ） 只有一个零点，求 a . （1） 证法一：当1 a =时，2( )xf x e x = -，定义域x R Î ( ) 2xf x e x ¢ = - 构造函数：( ) 2x

2、g x e x = - 定义域x R Î ( ) 2xg x e ¢ = -，令( ) 0 g x ¢ =知=2xe ，即ln2 x = x ( ,ln2) -¥ ln2 (ln2 + ) ¥ ， ( ) g x ¢ - 0 + ( ) g x 微小值 ln2min( ) (ln2) 2ln2 2 2ln2 2(1 ln2) 0 g x g e = = - = - = - > 即( ) 0 f x ¢ >，故( ) f x在x R Î上单调递增 又(0) 1 f =，故当0 x ³时，( )

3、1 f x ³。 证法二：当 0 x ³ 时， ( ) 1 f x ³21 0xe x Û - - ³ 211- 0xxe+Û ³ 构造函数：21( ) 1-xxg xe+= 定义域x R Î 2 2 222 ( 1) 2 1 ( -1( )( )x xx x xx e x e x x xg xe e e× - + - +¢ = - = =） 1 x¹ ( ) 0 g x ¢ > 故函数( ) g x在 R 上单调递增. 又(0) 0 g = 当0 x ³时，

4、( ) 0 g x ³ 即21 0xe x - - ³ ，所以( ) 1 f x ³。 证法三：当 0 x ³ 时， ( ) 1 f x ³21 0xe x Û - - ³ 21 01xexÛ - ³+ 构造函数2( ) 11xeg xx= -+ 定义域x R Î 2 22 2 2 2( 1) 2 ( 1)( )( 1) ( 1)x x xe x x e e xg xx x+ - × -¢ = =+ + 所以( ) 0 g x ¢ ³ 当且仅当1 x=时，

5、( )=0 g x ¢ 故函数( ) g x在 R 上单调递增. 又(0) 0 g = 当0 x ³时，( ) 0 g x ³ 即21 0xe x - - ³ ，所以( ) 1 f x ³ （2）解法一：2( )xf x e ax = - 定义域x R Î 构造函数：2( ) 1xaxh xe= - 定义域x R Î ( ) f x 在 0 +¥ （ ， ） 只有一个零点 Û ( ) h x 在 0 +¥ （ ， ） 只有一个零点 （）当0 a £时，( ) 0 h x >，(

6、) h x没有零点， （）当0 a >时，222 ( 2)( )=-( )x xx xax e ax e ax xh xe e× - × -¢ = 令( ) 0 h x ¢ = 知 0 x =或2 x = x ( ,0) -¥ 0 (0,2) 2 (2, ) +¥ ( ) h x ¢ + 0 - 0 + ( ) h x 极大值 微小值 当(0, ) xÎ +¥时，min24( ) (2) 1ah x he= = - 若(2) 0 h >，即24ea <时，( ) h x在0 +¥

7、; （ ， ）没有零点； 若(2) 0 h <，即24ea >时，( ) h x在0 +¥ （ ， ）有两个零点； 若(2)=0 h， 即2=4ea时，( ) h x在0 +¥ （ ， ）只有一个有零点。 综上：( ) f x 在 0 +¥ （ ， ） 只有一个零点时，2=4ea 解法二：2( )xf x e ax = - 定义域x R Î 构造函数：2( )xeh x ax= - 定义域x R Î ( ) f x 在 0 +¥ （ ， ） 只有一个零点 Û ( ) h x 在 0 +¥ （ ， ） 只

8、有一个零点 （）当0 a £时，( ) 0 h x >，( ) h x没有零点； （）当0 a >时，24 32 ( 2)( )x x xe x e x e xh xx x× - × -¢ = = 令( ) 0 h x ¢ = 知 2 x = x ( ,0) -¥ (0,2) 2 (2, ) +¥ ( ) h x ¢ - - 0 + ( ) h x 微小值 当(0, ) xÎ +¥时，2min( ) (2)4eh x h a = = - 若(2) 0 h >，即24ea <

9、;时，( ) h x在0 +¥ （ ， ）没有零点； 若(2) 0 h <，即24ea >时，( ) h x在0 +¥ （ ， ）有两个零点； 若(2)=0 h， 即2=4ea时，( ) h x在0 +¥ （ ， ）只有一个有零点。 综上：( ) f x 在 0 +¥ （ ， ） 只有一个零点时，2=4ea。 解法三：通过几何直观可知 ( ) f x 在 0 +¥ （ ， ） 只有一个零点 Û 曲线xy e = 与2y ax = 只有一个 公共点 由分析知： 假设零点是0x，则有0( ) 0 f x ¢ = 在点0x x =处，1 2k k =， 001xx xk y e=¢ = = 02 02x xk y ax=¢ = = 从而有 0020212xxe axe axì - =ïí=ïî Þ 0224xea= ìïí=ïî 所以( ) f x 在 0 +¥ （ ，