2020年高考文数二轮专题复习：题型2第4讲第2课时空间距离与几何体中体积、面积的计算含解析

1、第 2 课时 空间距离与几何体中体积、面积的计算考情分析空间距离和几何体体积（面积）问题是每年高考的必考内容，并且 多在解答题的第二、三问中出现，难度适中，为中档题.热点题型分析热点1空间距离的计算方法结论7点面距离常用以下两种方法求解： 一是直接做出垂线段求解； 二是利用三棱 锥体积转换，求点到面的距离.【题型分析】（2018全国卷U）如图，在三棱锥PABC中，AB=BC=2 2，FA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.（1）证明：PO丄平面ABC;（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.解 证明：因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点，所以OP丄AC，且OP

2、=2 3.连接OB,因为AB=BC=AC，所以ABC为等腰直角三角形，且OB丄1AC，OB=?AC=2.由OP2+OB2=PB2知OP丄OB.由OP丄OB，OP丄AC，ACAOB=O, 知PO丄平面ABC.fi作CH丄OM,垂足为H.又由（1）可得OP丄CH，所以CH丄平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.124F2由题设可知OC=qAC=2,CM=3BC=3，/ACB=45所以由余弦定理，得OM=1 2 334,OC MC sin/ACB 4廳CH=OM=所以点C到平面POM的距离为555.【通法指导】诚如上文所说，求点面距问题可以采用等积转换求解，除此之外个别问题也 可采用垂面法

3、(利用面面垂直性质定理)和等价转移法(利用线面平行)求解当然， 一些求几何体体积问题，也是对点面距问题的相应考查.【针对训练】如图，在梯形ABCD中，AB/CD，AD=DC=CB=1，/BCD=120,四边 形BFED为矩形，平面BFED丄平面ABCD，BF=1.331求证：AD丄平面BFED;EP已知点P在线段EF上，且pF=2,求D到面APE的距离.解 证明：在梯形ABCD中，因为AB/CD，AD=DC=CB=1，/BCD=120所以/DAB=/CBA=60AB=2,所以由余弦定理得BD=.因此AB2=AD2+BD2，所以AD丄BD.又因为平面BFED丄平面ABCD， 平面BFEDG平面A

4、BCD=BD，AD?平面ABCD，所以AD丄平面BFED.2由知，AD丄平面BFED，所以AD丄EP，AD丄ED.又因为EP丄ED，所以EP丄平面ADE.BD=.3，BF=1,2,所以EP= 習，设D到面PEA的距离为d，因为 VAEDP二 VD-AEP，即1ADSAEDP=- dSSEP，所以d=AD二11AD SEDP热点2几何体体积（面积）的计算方法结论7空间几何体体积的常用公式：（1）V柱=Sh（S为底面面积，h为体高）;1（2）V锥=Sh（S为底面面积，h为体咼）；（3）V台二$S+SS+S ）h（S,S分别为上，下底面面积，h为体高）（不要 求记忆）【题型分析】I（2019全国卷U

5、）如图，长方体ABCDAiBiCiDi的底面ABCD是正方形，点E在棱AAi上,BE丄ECi.（1）证明：BE丄平面EBiCi;（2）若AE=AiE，AB=3,求四棱锥EBBiCiC的体积.解（1）证明：由已知得BiCi丄平面ABBiAi，BE?平面ABBiAi，故BiCi丄BE.又BE丄ECi，BiCinECi=Ci，所以BE丄平面EBiCi.由(1)知/BEBi=90由题设知RtAABERtAA1B1E，所以/AEB=/AiEBi=45,故AE=AB=3，AAi=2AE=6.如图，作EF丄BBi，垂足为F，则EF丄平面BBiCiC，且EF=AB=3.所以四棱锥EBBiCiC的体积1V=3X

6、3X6X3=18.I【通法指导】I1.直接法：求一些规则几何体的体积时，可以根据几何体的特点，利用线面 垂直、面面垂直等条件，确定几何体的高，再根据体积公式直接求解；2.等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可以当做底面，恰当 地进行换底等积变换便于问题的求解；3.害补法：害补法是处理立体几何问题的一种基本方法，解题思路是以已知 几何体为背景，将其补成或分割成熟悉的、更易利用已知条件解决的简单几何体.I【针对训练】I（2019广州模拟）如图，直角梯形ABEF中，/ABE=/BAF=90C，D分别 是BE，AF上的点，且DA=AB=BC=.2a，DF=2CE=2a.沿CD将四边形CDFE

7、翻折至四边形CDPQ的位置，连接AP，BP，BQ,得到多面体ABCDPQ，且AP=6a.求多面体ABCDPQ的体积；求证：平面PBQ丄平面PBD.解TDA=AB=BC=2a，ZABC=ZBAD=90四边形ABCD是正方形，二CD丄AD，CD丄DP.又ADnDP=D，AD，DP?平面ADP， CD丄平面ADP.TAB/CD,：AB丄平面ADP，TAD6 7+DP2=AP2，：AD丄DP，又CD丄AD，CDnDP=D，CD，DP?平面CDPQ，:AD丄平面CDPQ，又AD/BC，:BC丄平面CDPQ.: VBCDPQ=；S梯形CDPQBC6VB-ADP=3SMDPAB31 i2a3=3%2%. 2

8、ax2ax2a=,5a3二多面体ABCDPQ的体积为 VBCDPQ+VBADP=.在厶ABP中，BP=AB2+AP22 2a,二BG=*BP=2a,在厶BCQ中，BQ=BC2+CQ2=3a.PQ=DP-CQ2+CD2=3a, PQ=BQ,AGQ丄BP. QG=BQ2BG2=a,又BD=,2AB=2a=DP, DG丄 BP,ADG=BD2BG2=2a,又DQ=CQ2+CD2=3a, DQ2=QG2+ DG2,AQG丄DG.又BPnDG=G,BP,DG?平面PBD, QG丄平面PBD,又QG?平面 PBQ,A平面PBQ丄平面PBD.专题作业1.(2019河南六市三模)已知在空间几何体ABCDE中，

9、BCD与厶CDE均是 边长为2的等边三角形，ABC是腰长为3的等腰三角形， 平面CDE丄平面BCD, 平面ABC丄平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线， 使得直线上任意一点F与E的连线EF均与 平面ABC平行，并给出证明；证明：取BP的中点G,(2)求三棱锥EABC的体积.u /?解(1)如图所示，取DC的中点N,取BD的中点M,连接MN，则MN即为 所求.证明：连接EM,EN,取BC的中点H，连接AH,ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点， AH丄BC,又平面ABC丄平面BCD， 平面ABCn平面BCD=BC,AH?平 面ABC, AH丄平面BCD，同理可证EN丄平面BCD,

10、 EN/AH, EN?平面ABC,AH?平面ABC, EN/ 平面ABC.又M , N分别为BD,DC的中点，二MN/BC, MN?平面ABC,BC?平面ABC, MN/ 平面ABC.又MNnEN=N,MN?平面EMN,EN?平面EMN,平面EMN/平面ABC, 又EF?平面EMN, EF/平面ABC,即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)连接DH，取CH的中点G,连接NG,贝UNG/DH,由(1)可知EN/平面ABC,点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又厶BCD是边长为2的等边三角形，DH丄BC,又平面ABC丄平面BCD，平面ABCn平面BCD=BC

11、,DH?平面BCD,DH丄平面ABC,：NG丄平面ABC,易知DH=, 3,：NG=23,又 SABC=2BC AH=2X2X3212=2 2,12已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB/CD,AB丄BC,AB=2BC=2CD=2,ASAD为正三角形.点M为线段AB上一点，若BC/平面SDM,AM二;AB，求实数 入的值； 若BC丄SD,求点B到平面SAD的距离.解 因为BC/平面SDM,BC?平面ABCD,平面SDMA平面ABCD=DM, 所以BC/DM.又AB/DC,所以四边形BCDM为平行四边形，所以CD=MB, 又AB=2CD，所以M为AB的中点.因为AM=瓜B,所以入=

12、扌.(2)因为BC丄SD, BC丄CD，所以BC丄平面SCD, 又BC?平面ABCD,所以平面SCD丄平面ABCD.如图，在平面SCD内过点S作SE垂直CD交CD的延长线于点E,连接AE,又平面SCDA平面ABCD=CD,所以SE丄平面ABCD,所以SE丄CE,SE丄AE,在RtASEA和RtASED中，AE.SA2-SE2,DE=SD2-SE2,因为SA=SD,所以AE=DE,又易知/EDA=45所以AE丄ED,由已知求得SA=AD=,2,所以AE=ED=SE=1.VE-ABC=3 &ABCNG=11 1连接BD，贝UV三棱锥s-ABD=3X22X1X1=3,又V三棱锥B-ASD=V三棱锥S

13、 ABD,SSAD=2X2X2X字中， 所以点B到平面SAD的距离为冬33.（2019河南洛阳统一考试）在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是 平行四边形，AA丄平面ABCD，/BAD=60AB=2,BC=1,AA1=J6,E为A1B1的中点.(1)求证：平面A1BD丄平面A1AD;求多面体A1EABCD的体积.解 证明：在厶ABD中，/BAD=60AB=2,AD=BC=1, 由余弦定理得BD=.3,ABD2+AD2=AB2. BD丄AD.TA1A丄平面ABCD,BD?平面ABCD, A1A丄BD.又A1AAAD= A,ABD丄平面A1AD.又BD?平面A1BD，二平面A1BD丄平面A1AD.(2)设AB,CD的中点分别为F, G,连接EF,FG,GE,BDAFG=H.TE,F,G分别为A1B1,AB,CD的中点，多面体EFGA1AD为三棱柱.