函数的应用(高一新教材A版必修第一册)

1、8函数的应用自主预习。据新Ml匚新知初探口常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型J(x)=ax+b(af Z?为常数，aWO)二次函数模型f(x)=ax2+bx+ca, b,。为常数，aWO)分段函数模型/)=了G), xD力(x), xD2J(X)，xGD”Lt初试身手1. 一个矩形的周长是40,则矩形的长y关于宽x的函数解析式为（）A. y=20x,0x10B. y=202x0r20C. y=40x,010D. y=402;0v20答案A2. 一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间，变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（）A. 一次函数模型C,分段函数模型B.二次函数

2、模型D.无法确定C 由s与，的图象，可知，分4段，则函数模型为分段函数模型.3. 某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售 量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个 元.60 设涨价x元，销售的利泗为y元,贝i y=（50+x-45）（50-2x）= -Zv2+40a + 250=一2。- 10）2+450,所以当x=10,即销售价为60元时，y取得最大值.合作探究。提素养H . Ni一次函数模型的应用类型1【例1】某厂日生产文具盒的总成本N元）与日产量M套）之间的关系为y=6x+30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至

3、少日生产文具盒（）A. 2 000 套B. 3 000 套C. 4 000 套D. 5 000 套D 因利润z=12x-（6x+30 000）,所以z=&-30 000,由zNO解得x25 000,故至少日生产文 具盒5000套.邈建也卷1. 一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则.2. 一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式以十20（或W0）,解答时，注意系数的正负，也可以 结合函数图象或其单调性来求最值.颔跟踪训练L1 .如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费M元）与通话时间,（分 钟）之间的函数关系图象.根据

4、图象填空：通话2分钟，需要付电话费 元；通话5分钟，需要付电话费 元；如果f23,则电话费武元）与通话时间/（分钟）之间的函数关系式为. 3.6 6 y=1223）由图象可知，当fW3时，电话费都是3.6元. 由图象可知，当/=5时，y=6,需付电话费6元.易知当时，图象过点(336), (5,6),待定系数求得y=12(/N3).二次函数模型的应用峡吗7例2 某水果批发商俏售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于 55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每 天少销售3箱.(1)求平均每天的销售量)，(箱)与箱售单价x(元/

5、箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润3(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？思路点拨本题中平均每天的销售量)，(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然 50,55, xGN,但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润讪(元)与销售单价 x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题.解(1)根据题意，得)，=903(、-50),化简，得)，=一3、+240(5055,2.(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量X每箱销售利润.所以 w=(a

6、- 40)(-3x+240) = -3x2+360x-9 600(50x55, xN).(3)因为 w= -3a2+360a9 600= -3(x-60)2+1 200,所以当x60时，w随x的增大而增大.又50WxW55, a-GN,所以当x=55时，力有最大值，最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利泗为1125元.愚|比埃二次函数模型的解析式为g(x)=aY+A.+c(aWo).在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际 问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值， 从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最

7、值最好结合二次函数的图象来解答.心跟踪训练2 . A, B两城相距100 km,在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A, B两城供电，为保 证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km,已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电 量之积成正比，比例系数2=0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月.(1)把A, B两城月供电总费用)，(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小.解(1)由题意设甲城的月供电费用为)，1,则yi=2X20.设乙城的月供电费用为)，2,则V2=2X IOX(IOO-x)2,甲、乙两城月供电总费用

8、y=AX20x2+/lX10X(100-x)2.V2=0.25,/ y=5炉+1( 100 一必(1090).(2)由 y=5x2+|(100-x)2 = v-500A + 25 00015( lOOf , 50 000 一_rJ，则当时，y最小.1 00故当核电站建在跑4城 km时，才能使供电总费用最小.分段函数模型的应用、娄型3【例3】 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需 要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数 量为/(单位：百件)时，箱售所得的收入约为51一1十万元).(1)若该公司的年产量

9、为M单位：百件)，试把该公司生产并俏售这种产品所得的年利润表示为年 产量x的函数；(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？解(1)当05时，产品只能售出500件.(5%)一(0.5+0.25刈，(045),所以人工)=5),9+4.75x0.5, (05).(2)当 05 时,y)v12-0.25X5= 10.75(万元).故当年产量为475件时，当年所得利泗最大.展件方法1 .分段函数的“段” 一定要分得合理，不重不漏.2 .分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.3 .分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.。跟踪训练4 .已知A、8两地相距150千

10、米，某人开汽车以6。千米/时的速度从A地到8地，在8地停留 1小时后再以50千米/时的速度返回A地.(1)把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间小时)的函数；(2)求汽车行驶5小时与A地的距离.解(1)汽车以6。千米/时的速度从4地到8地需2.5小时，这时x=60f;当2.5f3.5时，x= 150:汽车以50千米/时的速度返回4地需3小时，这时工=15050(13.5).所求函数的解析式为(603 0WW2.5,x= 150, 2.5OW3.5, l-50r+325, 3.5W65(2)当/ = 5 时，x=-50X5 + 325 = 75,即汽车行驶5小时离4地75千米.!课堂小绩三)1

11、 .解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式.求解析式 时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性.2 .数学建模的过程图示如下：(实际问题产当数学模型)一推理或演算(实际问%的解数学模型的解当堂达标以基1 .思考辨析甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间，的函数关系如图所示，判断下列说法的对错.(1)甲比乙先出发.()乙比甲跑的路程多.()甲、乙两人的速度相同.()(4)甲先到达终点.()答案(1)X (2)X X (42 .向高为的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深/?的函数关系的图象如图所示，那 么水瓶的形状是()0 0

12、B SABCDB 图反映随着水深的增加，注水量U增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小.3 .某人从4地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达8地，在8地停留2小时，则 汽车离开4地的距离)，(单位：千米)是时间单位：小时)的函数，该函数的解析式是.(803 04W2,答阖 V=il60, 21 000得，x,故每天至少需要卖出234张门票.课后作业函数的应用（建议用时：60分钟）合格基础练一、选择题1.某厂日产手套的总成本y（元）与日产量N双）之间的关系为）=5x+40 000.而手套出厂价格为每 双10元，要使该厂不亏本至少日产手套（）A. 2000 双B. 4000

13、双C. 6000 双D. 8000 双D 由5x+40 000W10x,得x28000,即日产手套至少8 000双才不亏本.2.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最 先到达终点.丁车最后到达终点.若甲、乙两车的图象如图所示，则对于丙、丁两 车的图象所在区域，判断正确的是（）a.丙在in区域，丁在I区域B.丙在I区城，丁在111区域 C.丙在H区域，丁在I区域 D.丙在III区域，丁在【区域A 由图像，可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在W区域，丁在1区域，故选A.3.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y=4x, IWxvI

14、O, Zv+10, lOWxvlOO, xN L5x, G100,其中7代表拟录用人数代表面试人数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为（）A. 15B. 40C. 25D. 130C 令 y=60.若4x=60,则x=1510,不合题意：若2x+10 = 60,则x=25,满足题意；若 1.5x=60, x=40介、产亘安份-工义100%）由原来的增加到。+10）%,则r的值等于（）A. 12B. 15C. 25D. 50B 设原销售价为小 原进价为x,可以列出方程组：“100%=岛gx(1 8%) .x(l 8%)X100% =10+r解这个方程组，消去m %,可得厂=1515.

15、一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时。，交通灯由红变绿，汽 车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么（）A.此人可在7 s内追上汽车B.此人可在10 s内追上汽车C.此人追不上汽车，其间距最少为5 mD.此人追不上汽车，其间距最少为7 mD 设汽车经过fs行驶的路程为sm,则s=S，车与人的间距d=（s+25）6/=S 6/+25=； 。一6+7.当，=6时，”取得最小值7.二、填空题6 .经市场调查，某商品的日销售量（单位：件）和价格（单位：元/件）均为时间/（单位：天）的函数.日 销售量为/=2/+100,价格为g）=f+4,则该种商品的日销售额5（单位：元

16、）与时间，的函数解析 式为5（。=.2+108+400, reN 日销售额=日销售量x价格，故 5=/（/汉9（/） =。+100冈/+4） = 2尸+108/ +400, WN.7 .把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的 最小值是cm2.2/3 设一个三南形的边长为xcm,则另一个三角形的边长为(4x)cm,两个三角形的面积和为 5=乎片+乎(4-工)2=理(X-2)2+2小22S，这两个正三角形面积之和的最小值是25cm?.8.国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按 超出800元部分的14%纳税

17、：超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税.某人出版了一书共纳税42。元, 这个人的稿费为 元.3 800 若这个人的稿费为4 000元时，应纳税(4 000800)XI4%=448(元).又.420V448,此人的稿费应在800到4 000之间，设为x, A(x-800)X 14%=420,解得x =3 800 元.三、解答题9,某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游.甲旅行社说：“如果校长买全票一张， 则其余学生可享受半价优惠”.乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60% 收费)优惠”.若全票价为240元.(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收

18、费为丁乙元，分别写出两家旅行社的收费 y甲，)，乙与学生数工之间的解析式；(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠？解(1)，甲=120x+240(xN+),y l = (a-+ l)X240X60% = 144(x+ 1 )(xN+).(2)由120x+240=144x+144,解得x=4,即当学生数为4人时，两家旅行社的收费一样.(3)当xv4时，乙旅行社更优惠；当入4时，甲旅行社更优惠.10. 一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm与60 cm,现在将它剪成一个矩形， 并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？

19、并求出此时残料的面积.解设直角三角形为ABC, AC=40, 8c=60,矩形为CDEF,如图所示，设CO=x, CF=y, 则由得票=黑，即二77TL解得,.=40%,匕 D du y 60xJ记剩下的残料面积为S,则S=1x60X40-=1r-40x+l 200=-3O)2+600(0x60), 4JJ故当 x=30 时，Smm = 600,此时 y=20,所以当x=30,)，=20时，剩下的残料面积最小为600cmZ等级过关练1 .在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线)，=/(x),另 一种是平均价格曲线)，=g。)，如f(2)=3表示股票开始买卖后2小

20、时的即时价格为3元；g(2) = 3表 示2小时内的平均价格为3元.下面给出了四个图象，实线表示)，=/W，虚线表示y=g(x),其中可 能正确的是()C 根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升 高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能正确.2 .一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%. 如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元.这位个体户为获利最大，则这批货()A.月初售出好B.月末售出好C.月初或月末售出一样D.由成本费的大小确定D 设这批货物成本费为x元，若月初售出

21、时，到月末共获利为100+Q+100)X2.4%：若月末售出时，可获利为1205=115(元).可得 100+(x+100)X2.4%-115 = 2.4%X(x-525).当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于 525元时，月初或月末售出均可.3 .已知直角梯形ABC。，如图(1)所示，动点尸从点8出发，由沿边运动，设点尸运动的路程为x, ZXAB尸的面积为/(x).如果函数y=/(x)的图象如图(2)所示，则A8C的面积为(2)16 由题中图象可知8C=4, CD=5, D4 = 5,所以 48=5+/?=5 + 3 = 8.所以 Smbc=9x8X4=16.4 .如图所示，在矩形ABC。中，已知48=13, BC