实数指数幂及其运算教学设计姚璐

1、实数指数幕及其运算(I )教学设计课程名称：3.1.1实数指数幕及其运算(第一节)教材分析：1. 数系的扩充众所周知，人类对于数的认识经历了漫长的过程，从Z到Q，从Q到R，从R到C ,乃 至扩充到四元数等等。虽然每一次数的范围的扩大往往伴随着质疑，但随着时间的发展，人 们逐渐能够接受越来越多的数，而且寻找到了许多新的数背后所蕴含的实际意义。数系扩充的动力主要包括两个方面：(1) 生产生活的推动就本节课所涉及内容而言，指数模型是一种重要的数学模型，能较好的刻画许多自然现 象(如放射性元素的衰变)，在模型中变量t显然是连续的，因此要求我们将指数推广到实数 范围内。(2) 数学本身的推动许多数的出现

2、都与方程有关(如负数，分数，复数等)，根式也不例外。当我们将数系扩 充后，我们任然希望新的数系能较好的继承原有数系的一些性质。事实上，如果我们假定指数运算拓展到实数范围内后，仍然继承下述性质：(1) am*=aman ( a A0 ,(2)当 a Al 时,m An ,则amn>a>0,当a =1时,m>n ,则amn=a>0 ,当a <1时,mn ,则amn<a(a>0 ,(1)则指数an的定义是唯一的2. Cauchy 法从Z到Q是非常重要的一步，这一步将一个疏集上定义的函数延拓到了一个稠密集上的函数，依靠的是Q是乙+,o的分式环；从Q到R也是非常

3、重要的一步，这一步将一 个稠密集上的函数延拓到了一个连续集上的函数，依靠的是逼近的想法。这种方法即为Cauchy法.事实上，如果附加上连续性条件，我们可以得到许多函数的特征性质”如:f (x)是正比例函数或零函数二f(m+n) = f(m)f(n),/m, n迂R(2)(3)f(x)是指数函数或零函数 =f(m+n ) = f(m)f( n),/m, n丘R f (x)是对数函数或零函数 u f(m、n) = f(m) + f( n) ,/m, nOf (x)是幕函数或零函数 u f (m n) = f(m)”f(n)月m, n>03. 指数运算和加法运算，乘法运算的区别乘法运算是连加法

4、运算的推广，指数运算是连乘法运算的推广。但是同加法运算以及乘 法运算相比，指数运算有一个非常大的区别，即一个幕的底数与指数的地位是不平等的。换言之，一般的ab Hba因此尽管有幕指数对底数的分配律成立，即bc.c c（a b ） = a一般的，仍然有:詳 j Haf）, ab ab而这恰恰是学生的易错点 学情分析：相对较难，从具体模型入手则相对容易。1了解指数模型的实际背景2. 理解根式及有理指数幕的含义3. 掌握有理指数幕的运算性质在解决简单实际问题的过程中，体会有理指数幕的含义 体验数学与生产实践的紧密联系，提高数学应用意识2. 本班是一个普通班，纯数学的推导较为抽象， 教学目标：知识与技

5、能：过程与方法： 情感态度与价值观： 教学重点、难点：教学重点：分数指数幕的概念和分数指数幕的运算性质 教学难点：根式的概念及分数指数概念教学设计: 一、课前阅读：阅读下述材料，回答问题衰变是放射性元素放射出粒子后变成另一种元素的现象。不稳定（即具有放射性）的原 子核在放射出粒子及能量后，可变得较为稳定，这个过程称为衰变。放射性同位素衰变的快慢有一定的规律。例如，氡-222经过a衰变为钋-218，如果隔一段时间测量一次氡的数量级就会发现，每 过3.8天就有一半的氡发生衰变。也就是说，经过第一个3.8天，剩下一半的氡，经过第二个3.8天，剩有1/4的氡；再经过3.8天，剩有1/8的氡.因此，我们

6、可以用半衰期来表示放射性元素衰变的快慢。放射性元素的原子核有半数发 生衰变所需的时间，叫做这种元素的半衰期。不同的放射性元素，半衰期不同，甚至差别非 常大。例如，氡-222衰变为钋-218的时间为3.8天，镭-226衰变为氡-222的时间为1620年，铀 -238衰变为钍-234的半衰期竟长达4.5 X09年。设计意图：创设问题情境问题一：现有一种新的放射性物质M，自然条件下每经过一年，剩余M的量为一年前的量的a倍。 假设某时刻放射性物质M的量为1,则在自然条件下：（1）1年后，剩余放射性物质M的量为多少？（2）2年后，剩余放射性物质M的量为多少？（3）3年后，剩余放射性物质M的量为多少？（4

7、）n年后，剩余放射性物质M的量为多少？为什么？问题二：现有一种新的放射性物质M，自然条件下每经过一年，剩余M的量为一年前的量的a倍。 假设在自然条件下，放射性物质1年，2年，3年， n年，(1)(3)若放置时间为若放置时间为若放置时间为若放置时间为为什么？M放置了一段时间, 则1年前放射性物质 则2年前放射性物质 则3年前放射性物质 则n年前放射性物质剩余的量为1,则: M的量为多少？M的量为多少？M的量为多少？M的量为多少？时间n年前2年前1年前今年1年后2年后N年后量1设计意图：复习整数指数幕的概念，重温负整数指数幕生成过程问题三：根据前面的回答，填写下表二、问题引入问题四：前述表达中，n

8、的取值范围是什么？问题五：现有一种新的放射性物质 M，自然条件下每经过一年，剩余 M的量为一年前的 量的a倍。假设某时刻放射性物质 M的量为1,则在自然条件下：（1）半 年后，剩余放射性物质M的量为多少？为什么？（2）一个月后，剩余放射性物质 M的量为多少？为什么？（3）一年半后，剩余放射性物质 M的量为多少？为什么？设计意图：结合具体模型为进一步引入有理指数幕及根式的概念作必要的准备三、概念形成:一般地，设a , b是实数，n为正整数 若bn =a，则称b为a的n次单位根.（1）当n为奇数时,（2）当n为偶数时,任何实数均恰有一个n次单位根，记作Va ； 负数没有n次单位根；0有唯一的n次单

9、位根0；正数有两个n次单位根，记作±松根式运算性质：EaUa|问题六:设计意图:,n为奇数,n为偶数观察等式a2 = JO3 =4a ）,引入正有理指数幕的概念ma下（其中m、n是正整数）应该如何定义?参考负整数次幕的实际意义,（其中m、n是正整数）有何实际意义？应问题七：该如何定义？设计意图：引入负有理指数幕的概念问题八：为了对任意的整数 m、n ,些规定？man和a n都有意义，应该对a的取值范围补充哪设计意图：强调底数的取值范围.例1.用分数指数幕表示下列各式 4(a+b)3券设计意图：有理指数幕形式与根式形式相互转化 例2.先将下列各式写成根式形式，再求值 Mm2 +门213

10、62227'1 100004设计意图：体验根式形式的优点 四、运算律：设计意图：引入指数运算的性质问题十:结合模型，说明am=aan的含义.阐明指数运算律的意义,帮助学生理解运算律设计意图：设a， b是任意正数，m，n是任意有理数，则:.mJ mn，(a ) =am -n a=a.m . . . mb = (ab)例3.计算1a41a35a8设计意图：有理指数运算性质应用 例4.计算 272旷2旷2设计意图：体验有理指数运算的优点 五、课堂小结：1.2.3.本节课我们学习了分数指数幕的概念及与根式的关系我们经历了T Q +本节课我们将指数运算性质从整数指数推广到了有理指数幕 回顾数系的

11、扩充，N+ T NT Q T R回顾幕指数的扩充，我们经历了N+ T NZ八、课后作业：1. 课本90页B组1、2题的偶数题2. 三新（3.1.1实数指数幕及其运算（一） 板书设计:3.1.1实数指数幕及其运算根式二、分数指数幕三、运算律若 xn = a ( n Nma下皿=（旷a）maJaL a出日则x为a的n次方根(a >0 , m, n迂 N，-既约) na= a 邙若n为奇数，则x=va丁1a n = man(abF= a %若n为偶数，则x = ±脳（a >0，m,n忘 N+，既约）a , P 壬 Q， a A 0n教学反思：课堂实践基本实现了课前预期.以应用背景为主线，贯穿本节课的教学，有效的克服了本 节课的难点，使学生较易接受有理指数幕的概念，为后期进一步学习实数指数幕、指数函数， 乃至对数运算、对数函数、幕函数都提供了素材.学生在得到下述连等式时：a2 =血3 =（Va）=a1 a往往仅能关注到其中的一个或两个等式