待定系数法求数列通项公式

1、待定系数法求数列通项公式例題h在数列奶中，坷7 J：八忍十1 试求其通咲2i弍, 分析*區熬 达不是等差或等比数列，亘妇果4% =以十1的两边同时如上1*鑿理为g -1 = 2（ 口十1），此时r把斗十I”和 - 1看侔i卜整也或若换元，令虹1 =%_1十1那氏即 = +i = hH此.数列何十1或$就是以2为苣页以2为公比旳爭比数列 心+ i = y,或者 = 2=诜一步求岀弘Jia启示d在这个问邀中，容易看二三左右两边虻上：就构成了新的等比数列d十1,那不易看a芒左右两边该忙|几后枸成新K等比S列匝-该怎么办呢？其实，己知：=丄叫十1,可变总左g十八如“-QK淞弍.然后展幵拮号、移项旨再

2、=妆亠1柜比较利冃芍定系数法可得2A-；.= k2 = L.这样，对于形如产M” + 9 （其中严彳为常致且丙丸屮沁的逵推数列,先变.为心:+ 2-拭叭-）的形式.矍开.移项.利用後定.系数法有贝数列（毎十_5_厂一1角项为內十宀仑比为P的转比数见P 1口“ + 丄7 二 21 -一立心二 S- P-1J?-lp-1-1因此,那么形切J = P%这一类犁药數列，都可以利用待疋養法来求稈变为/（心/何是关于非零多项弍时，该怎丈办呢？是否也旨淀匡待龙系数法呢了% =去备+屮1+3卑=6三戸吐1）型例题Z在致列仇孔n =1，L二叽斗伽+ L试求其通顷公弍匚分帕按照烹1的思路，左用KS加上S常数同时也

3、S加上的倍数，才能住?+ 3(刀 + 1) = 2代 + 3n) - 4进一步a”i + 3( +1) + 4 = 2(久一3/r -+ 4)则数列g十3n4 a： + 3x1-4 .g莒頌为十3乂 48公比为2的等比数列，所以a“_3 + 4 = 8x24】 = 24：, a“ = 2，-3-4同祥形如鲁+1 = K/g”+尸的违推数列，设a. + xn- l)*y Pd* xn + y)展开.移项、凳理.比较对应系数相等.列出方程J 9-1)2?l(P-l)v-x = r亠解得P-1)/=9,4 “1 (piy p-i即s負心)+(冷严；严3则数列卜詡堤以吩;1+(二打I为首项以P为公比的

4、尋比数列.于是就可以迸一步求出的通项e叵理，若务+L = Wn+/)其中/(町是关于n的多氏弍时，也可以构造新的等比数列,和用待定系数法求出其通项。比如当=厂时，可设a一： + x(n -1)2 + ( -1)十 z = p(Q + xrT + yn - z)展开根缗对宝系数分别相等求解方裡即可./3)为n的三次、EX五次等多项式时也能冃F1样的思路和方法进行求裤0ffitfl*当/(“)是n的斉数式.悶= 时-递推公式又略妇何变形呢?三霸昇=pa + r+J 型(pqr CX Bp * !?沁.pg)例g 3.在数列%中，d = 1, % =34” + 2,试求其通项G。分析h由于殒与例S1

5、的区别在于才是指数式，可以冃上ffl的思珞进行变 形，住两边同时加上2x2”变为仏严27 = 3a“-3xy即S + 2E = 3S-2J则数列4. + 2”是首项为3公比为3的等比数列耳+ 2、九 则a.-2”*r分析N如果埒韦数式先变为第1S,两边同除2空 0 就回到了我们的类型一进一步也可求出竹= 3-2J例获4在数列何中，a = 3, 01 = 3a眞+ 5X 2用-4,试求%射通项a嗥o分析，若按例题3的匪路Z在两边同时除以沽虽然产生了*、齐但是加加 了吕，与原式并没有大的变化，所以只能运用思路1,在两边同时加上15才整理a + 5x = 3(。”+ 5x2) + 4进一步di +

6、5x2*2-3(d. + 5x2 + 2贝擞歹他+ 5x + 2是首项为10.公比为3的等比数更十5x2八+2l5x3i5x3并启示*己知数列0的首项，a”L W W$(pgO且1当$ = 0,即dj繆+7穴由例S3知，有两种恿、路ij行变按，利用待定系数法构這首项祗公比己知或可求的尊比数列。思洛一，在两边同时除以gi.将不含di和a”的项S为常数即a决：P a斥亠尸十_9 q q q为前茵的类型一，再冃类型一的缚定系数法思g可得数列.rJ丄Jq最终求髀岀g思路二；在两边叵盯柯上/的倍敦.最终能变形为ai + xgf = P(K + mJ对EZ糸数相尊得(p-g)jt = r -IPa=p.q

7、51求岀数列二广的通取，进一步求岀4的通项q p_q2当jhOE寸.即=皿厂rg Jsi例4可知只能S选择思路二，两边既娈加f的倍数也1 丁特数.最终能变形为% 十I +y = p（% +如 + y）比较得口 y的方程组r（p-g）K = y l（p-i）y = s即彳X =p-qsV =p-1于是匕旷+2r血+宀Sp-q p-1求岀数列厲+ +丄P-q p-lj 的通项，进一步求岀9讣的通项。0： 0,所以可联想到对数的相关性员，对a-心两边取对数，即Ig= Ig(2a/) = Ig 2 Ig= 2 Ig a圧就是貳面的类型一了，即lttaz】*lg2 = 2(lgQ 粽+lg2)Ig 珀+

8、Ig2 = (lg2)x27 = lg 2广6=2变形得对于类似S严par（pwl且P/r0韭1）的灌6数列.由于两边次数不一致 又是正项数列.所以可以利用对数性质.两垃同时取对数.得igcjL】igpXgat-igp然后就是前面苑类型一了.就可以利冃待定系数法进一步构造数列ha-广警为已 知首项和公比旳等比数列了 C求出lgdH-兽最终就可以得出dj的通项。司样，如杲将耳） k 20尹“）中的P换为?旨数式时，同样两边取对数可以利用相同的方法。Bp： O”： = 9 J/ H I且（/ R二fhO,fhI）k a*： M g(g” a；) = F Ig a歼+ Ig g变为类型二仗+班-1)

9、 + =他务5 + y)即可进一步得出%的通实以上是一些整式型的诵推数列通项公式的求解，接下来尋看看比较复涤的分武型诵推数列。A: %=兰二（pr学0理皿+g例S7.在数歹何中，试求其通项分析.这是一个分式型数歹1,如果去分母变为+0后就无法行处理了。两边同矿取倒敛就是前面的类型一了-丄+ 3 = 2丄+ 3%所以数%切是首项为，公比为2的等比数列，不难求岀咕d_3例题8在数列%中，41 = 1卫“=守W，试求其通项4。Ft分析：此题比例题7的区别多了當数顼两边取倒=4x+ 30厂2左右两边丄三并不一致.但可以对照例题7的恩路.取倒数之后分母会具有一 J g 2a的结构.根掲等式和分弍的性质，

10、我们可在两边叵时加上某一常数，整理,a, +2ai - X 二+x =3% .2 此时如果1=T.3 J1（3卄1）仏+沽3仆2那么递推式左边和右边分母就一致了.輕方程得h = -.r, = 13因此比时可选择其中-个递拒式按照例题7的方式进行处至这里选择亠警 ,面i取便13a, 2113g+l 4（7+1） 山十宀回到了类型一130 + 15 4q+l 5根据类型一的方法易求出2*(-4)7/J 二,6x (-4)1-1现在我们将两式相比:1一3I十1a 13=X4耳片1则数列O見是我己知首项私公比的尊比数列，进一步化简求岀q4厂1 1通过以上两个例題可形如4小1二竺工(工0)这一类型的：g

11、推S列.对学生pj-q的综台能力要求较奇.K如異右边分子欣常致项，仇=0,那么直按对两边取倒敛即可得,此时，若2 = 1.汞就是我们熟悉的等差数列.若2尹1.那就是前直的类型rr定系数法求解e用待2、若0 就需要先变形便左边耘右边分子结构一St两边同时加二棊一个S(.r)(尸+ )(% + ) r + px g+x =p盼q然后令土竺=s解出工的值。 r斗px而另一种思路是直接设ga】=竺兰 变形之后为Pkqpa啊亠q然后畏开，根捋对应项系数相等得二元方程组x(r-g)=$两种S路都是無X的一元二次方程，枚其鯉为冷E：和2p(jq)儿（4一七）paq）若兀*兀时，那就只能利用俺題7的方法，两边

12、取倒断 部分分弍整浬即可转变为1P(a-Kg) Xa, + x.)-p(g-Xi)p(-Ai)1 pn(a,+4)= +1a“： + 小 Vi(a + 心)?i(a. + 心)1 4t+ 心 M最终求出4当X E时.可以选择其凸的一个按照上面的方弍进行求解佢是此时计軍*履大,于是直渎将两式相比得,g + M y：务一X：=.L 1 + A-. V、 a AS所以致刃4 4是首项为吐X公比为M的等比数列。进一步求岀4。 +匕仃：+丫2儿七；1 =0 -，(pr/0p=2Aq2+47S0)g2 p d+q例題9在数列4中，q = 24i=竺二丄，宦求其涌项厲.2a”2分抓 本S鬲于分式非线性追推式

13、，与类至五又有相似之处，圻以我们可次结合类型壬.六的思路，逬行变按：两边同时加上某个常数，设最终变为：2竹4 2与原式fc较，对应系数相筈，得r-2r = 3解方程得即有:J亠屮2务-22%2对单个式子进行处理，无从下手，两式相比得然后.两边取对数得:-3则蚪缶是首项为1严-3 = 1,公比为2的尊比数列. 為一11孕“歹亠一 1n进一步解得5亠5；-显然按照例题9熬恳賂形如1 =竺4（0上0）这=类垂的参数卫、 4 也皿+9定一定的棊件.所得方桂巫有两个不等的实ts二現在来採讨应该;蕃足耶些棗件?所以 F& V xjxi比 + .T + Ji Zfxct* + rx对应系敖相等得 P = 2r,rx -J = 0方桎冷一