对两个重要极限的重要性的认识

1、对两个重要极限的重要性的认 识日期:对两个重要极限的重要性的认识摘要：通过对两个重要极限重要性的理解和认识，总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力 ，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严 谨性。关键词：重要极限；重要性；证明；应用1.绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明 ，应用和深入扩展，本 文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要 极限的重要性，对刚接

2、触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指 导意义。lim 沁 1 它 lim（1 丄）x ex 0 x匕 Xx数学分析课程在讲述关于两个重要极限时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。能将许多复杂的极限计算迅速简化，应用非常灵活。因此，这两个重要的极限可 以说是全部微积分学计算的基础，其重要性就不难理解了。试想，若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题，必须用最基本的方法，有些还不一定求得 出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。2.两个重要极限的证明两个重要极限是极限理论的重要内容，也是解决极限问题的一种有效方法, 在学生的学习中，起着重要作用，了解它们的证明方法对

3、充分理解和认识它们是十 分必要的，它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰 当应用。2.1第一个重要极限：X叫乎1证明：作单位圆，如图1:1(1A图1设X为圆心角AOB ,并设0?见图不难发现:S AOBS扇形 aOBS AOD ,即：si nx2 21tanx,即sinx x tanx,21亠丄sinx cosxCOSXsin X 1X(因为0 X ,所以上不等式不改变方向)2当X改变符号时，cosx, sin X及1的值均不变,故对满足0 IX-的一切24sin XX,有 cosx X又因为COSX(1 COSX)1 2si n2G)22所以 1 cosx 12lim

4、 cosxX 0而 lim cosx lim 11X 0X 0lim s1x 0 X,证毕。12 . 2第二个重要极限：lim(1 -)xXX先考虑X取正整数时的情形:lim (1n丄)nn对于b a0,有不等式：b(n1)bn,即:bn1an 1(n 1)bn(ba),bn(n 1)a nb即:n 1 a(n 1)a nb n 1 sin X0 x(1e1 (n 1)1将其代入,所以(1丄)n ,所以nlimXlim (11)xX1 11)n为单调数列, n(12nii)(n所以1(12n)n(1即对n,X2n又对(1记作Xn。1)a nb2n 1)2n1(1;)o )2n,2n_)2n 2

5、2n 2)(1(n所以 (1 1/ 是有界的。n由单调有界定理知lim (1-)n存在,并使用e来表示,X n1即 lim (1 -)n e X n2.718281828459045X ( R)， y ax(a 0,a1),y loga x(a 0,a1),y = si n X, y=co s x, y=tan x,y=cot x,y= a rc ta n x,lim f(X X) f(x)x 0X(3.1)当这一极限存在时，其值就是f'(x。但这仅仅是停留在导数定义上的，如果 求函数的导数都要计算极限3.1的话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导数的广泛应用。事实上，在求函数的导数时

6、，并不都需要计算极限3.1,而只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的 导数。因此，两个重要极限对于以上六类基本初等函数的求导起到了至关重要的 作用。3 .两个重要极限在微分学中的重要性在函数的学习中，我们熟悉的基本初等函数有以下五类： 错误! 幕函数y 错误! 指数函数 错误! 对数函数 错误! 三角函数反三角函数 y=arc s i nx, y = a rc cosx， y= a rc tan x, y=arc c otx。由基本初等函数经过有限次四则混合运算与符合运算所得到的函数，统称为初等函数，微积分中我们经常需要计算初等函数的导数，微分学的基本概念

7、一一 导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数 f(x)在点X处的导数f'(x)，就是计算极限关于基本初等函数的求导，我们可以大致分为三类函数：第一类是幕函数第二类是三角函数和反三角函数，第三类是指数函数和对数函数。对于第一类函数的求导，要利用二项式定理和导数定义便求得。对于第二类函数的求导，需要sin x利用到lim0s1这个重要极限。对于第三类函数的求导，需要利用到X这个极限。lim (1-)x lxm 0loga(1 ；)x求得了(logax)'以后，指数函数和幕函数的求导公式就容易得出了。可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式的过程中 ，特别是涉及 三角函数的

8、过程中起到了关键性的作用， 没有这两个重要极限，两类函数的求导 公式就不可能得出。两个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的纽带作用 ex x下面来看一看基本求导公式是如何得来的。3 .1重要极限在三角函数求导过程中的作用以正弦函数S1 n X的求导公式的推导为例.由导数的定义(sinx)'lim sin(x X)sin(x)2cos(x x) sinx lim22L0xxcosx1 cosxX sin 亏 limcos(x )2sinxi t2 lims 1(令 txL0 t2求得(si n X )' =cosx后,其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可以 利用多个求导法

9、则得到了。3.2重要极限在指数函数和幕函数求导过程中的作用其次，再看看对数函数logaX的求导公式的推导过程。由导数定义其中应用了第一个重要极限xmo乎1，即 lXm02x)o(logax)' lim 0loga(x x) logax呃JogaU1x -)x lim0loga(1x x 01lim -loga(1 X-0x牢 Zlogaex x1xln a其中应用了第二个重要极限lim(1丄)xxe,即e (令x/因为推倒正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到这两个极限，而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发， 经过有限的四则运算复合 得到。因此，从这两类函数的导数

10、出发，利用函数的四则运算、复合和反函数求导 法则，就能求得全部初等函数的导数。再由于积分是微分的逆运算，可以得到基 本积分表，依靠他们能算出大量初等函数的积分。可以说，两个重要极限可以说是全部微分积分学的基础，在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用,所以这两个重要极限极其重要。4.1两个重要极限在一元极限中的应用0第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限。0 0 得这一不定的结果，因此称这一类型的极限为重要极限是属于1型未定式。若分子分母分别求极限便4.两个重要极限在计算中的应用型未定式。类似地，第二个00综上所述,可以得出这样的结论，凡是含有三角函数的 型未定式和1 型未定式，我们都

11、可不妨用两个重要极限来试试 ，看能否求出它的结果，以下举例来说明如何应用这两个重要极限于极限运算中的。.2 x 解：limoVUlim 竺/ x 0 xx 0 x2.2X sin lim - x 0 x 22(2)2lim -x 0 2xsi n 2x2xsin-.2 AX22例2 求 limtanx sinxx 0蘇. tanx sin x _ 解:xim)； = limx33-xsin Xcosx0 x3si nx=limx 0 xsinxxim0limx 0 cosx1 cosxSinx cosx3x1 cosx1lim2x 0 x22例3 求 lim(1 -)x x x22解：令-x

12、= t，则 x= ±xt当x 时t 0,于是1M 2=e-解：令3 x=1 + u ,则 x=2-1.2 Xu当X时u0,于是lim (3x2丄)x = lim(1 u) ux 2y.u0x=limiu 01(1 u)u1 2 11 luim0(1 u)2=e例5 求 lim(1 tanx)cotX.解：设 t=ta12 X，则一 =c ot Xt当X0时t0，Ui叫0于是 Hm(1 tanx)cotX = lim (1何1翱=呵(11" 例4 求 lim(-X)X .x 2 X1u) u (1 u)21t)t=e.4. 2两个重要极限在二元函数极限中的应用4.2 . 1重

13、要极限lim沁X 0 X1的应用极限lim Sn止卫u(x,y) 0 u(x, y)1是一元函数第一个重要极限的推广，其中(X, y)(Xo,yo)时，u(x,y)0,把u(x, y)看作新变量t，考虑极限过程t 0。|isi n(x3例1求极限(xy)叫0,0)X23y)解：(gg(xj)叫,0)sin (x3y3)y33Xy22Xy(3lim)0sn(X y )0 X y(肿0,0)33Xy22xy极限运算过程中第一个等号是一个恒等变形。我们设 f (x, y)in(X一共，定义域是 DX y(x,y)(x,y)(0,0)。.z 3 3 3 3再设 fi(x,y) Si叫 y)x2 y2X

14、 y X y定义域DiX, y (x, y)(0,0)且y x ,显然有Di可以看到，从函数f(x,y)到fi(x,y)定义域变小了，但f(x,y) ,fi(x,y)分别在各自证明如下:的定义域D与Di内，当(x, y)(0,0)时，可以证明极限都是存在的,(1)以下是对f(x,y)sin(x3y3)在定义域D(x,y)(x,y)(0,0)内极限的证明。因为当(x,y)(0,0)时，有:33xy22xy2x 2x y /33,Sin(x y )2 2X y=0所以由夹逼准则得lim Sin(x3y3)(x,y)(0,0)fi(x,y)sin(33Xy ) X332X y X yDi x,y (

15、x,y)(0,0)且 yx ,内极限的存在性，由极限的四则运算法则容易知在定义域D (X, y) (x, y) (0,0)内极限存在，那么极限道，并且其值易算得为0. 既然 f (x, y) Sin(X322 ，X y X y y3)关系(Di D ),知道在Di D必唯一。我们可以在D内任找(x, y)(0,0)的方式来计算出极限值。由D与Di的Di中两函数相等，所以在求极限找(x, y)(0,0)的方式时，我们可以在Di( DiD)中找，显然，两函数的极限是相等的。f(x,y)fi(x,y).z 33 33Sin(Xy ) X y|i sin(X y )但是,(x,y)m(0,0)x2y2

16、.,33、33Sin(X y ) X yI I I I IQQOO(x,y) (0,0)X3y3X2yxjim 0,0) fi(x,y)是成立的。所以在(x,y)(0,0)时，两函数的极限是相等的。同理可以计算下面例子。|im sinxy例 2 求极限(xy) (oo) y1 2sin u(X, y) u(x, y);1 cosu(x,y) 尹 (x, y);In 1 u(x, y) u(x, y); tan u(x, y) u(x, y);u(x,y) A/1 u(x, y)解:lim 沁(x,y)(0,0) ylim 沁 Xlim 沁 lim x1 0 0。(x,y) (0,0) xyxy

17、 0 xy (x,y) (0,0)在一元函数中由第一个重要极限可以得到几个常用的等价无穷小，推广到二元函数中得到：u X, y 0同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用。例求极限(xJy解： lim(x,y)(0 ,0= lim 楚=0)tan(X y)(x,y) (0，)x y例4求极限lim 1 cos(x2y2)(x,y) (0,0)Z 22 2 2(X y )x y解:(x,y)im(0,0)y5x2y2f ,y)im(0,0)1/222尹y) 1,2 T. 22(x y )x y 24. 2.2重要极限lim (1x-)xex极限lim (1u(x,y)例5求极限lim

18、 (1(x,y) ( ,1)x217一)x解：（xjim ,1）（1X2一丿XX211 X Rxlim (1-)(X,y) ( ,1) 'X（x,y）m（ ,1）(1 丄)XXlim_X_(x,y)( ，1) X y1e e对于二元函数极限的运算方法除了利用两个重要极限以外，还有多种方法，比 如利用不等式，使用夹逼准则；利用初等函数的连续性及极限的运算法则；同时还可以 用路径的方法判断极限不存在，但是在使用这些方法时往往不是孤立使用的，通常会 多种方法综合使用，来解决二元函数的极限问题。本文通过举例主要讨论了两个重要极 限在二元函数极限中的应用，并给出了二元函数极限运算中几个常见的无穷小的等价 代换公式及其应用，更加深了对两个重要极限在二元函数极限运算中作用的理解，以 便更好的解决二元函数的极限问题。5.总结关于两个重要极限的公式本身十分简单，但由它们上面却引出许多的话题.关于它用某个与自的证明方法还有很多，本文选取了最能体现数学思想的证法，还谈及了它们的一些应用，这些 话题都反映一个共同思想：在研究函数在一点的无穷小领域内