人教中考数学压轴题专题旋转的经典综合题及详细答案

1、一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.在平面直角坐标系中，四边形AO8c是矩形，点0 (0, 0),点A (5, 0),点8 (0, 3).以点4为中心，顺时针旋转矩形AO8C,得到矩形4DEF,点O, B, C的对应点分别 为 D, E, F.(1)如图，当点。落在8c边上时，求点。的坐标：(2)如图，当点D落在线段8£上时，4?与8c交于点儿求证 ADB注 AOB：求点/的坐标.(3)记K为矩形408c对角线的交点，S为的而积，求S的取值范围(直接写出结图图【答案】(1)D (1, 3) ； (2)详见解析：H(, 3) ； (3)3。-3衣<<30 + 3国

2、4 4,【解析】【分析】(1)如图，在ACD中求出CD即可解决问题：(2)根据HL证明即可：，设 AH=BH=m,贝lj HC=BC-BH=5-m,在 RSAHC 中，AH2=HC2+AC2,构建方程求出 m即可解决问题；(3)如图中，当点D在线段BK上时，ADEK的面积最小，当点D在BA的延长线上 时，ADEK的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题：【详解】图:4 (5, 0) , B (0, 3),，04=5, 08=3,V四边形AO8c是矩形，.4C=O8=3, OA=BC=59 Z OBC=Z C=90V矩形ADEF是由矩形408c旋转得到，：.AD=AO=59在 R3 4

3、DC 中，CD= yjAD2-AC2 =4 BD二BCCD，：.D (1, 3).（2）如图中,图由四边形4DEF是矩形，得到NADE=90。，,点D在线段8E上,：.AADB=90由(1)可知,AD=AO.又 48=48, N 408=90°, RfA ADB RtA AOB (HL).如图中，由4D的 408,得到N84DN84。, 又在矩形A。8c中，OAII 8C,Z CBA=Z. OAB,：.Z BAD=A CBA,BH=AH,AH=BH=m,贝lj HC=8C-8H=5-m,在 RS AHC 中，: AH2=HC2AC29 /. m2=32+ (5-n?) 2,17.m=

4、,517BH=,5（3）如图中，当点。在线段8K上时，aOEK的面积最小，最小值二« 734、_ 30-373424DEDK= x3x22当点。在84的延长线上时，aOEK的而积最大，最大面积=1xOFxKO=Lx3x22后30 + 3后(+).24综上所述，30-3后=3。+ 3后44【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等 知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决 问题.2. (1)发现：如图1,点4为线段8c外一动点，且8c=a, 48=b.填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值

5、为(用含a，b的式子表示)应用：点A为线段8c外一动点，且8c=4, 48=1,如图2所示，分别以A8,女为 边，作等边三角形48。和等边三角形4CE,连接CD, BE.请找出图中与配相等的线段，并说明理由；直接写出线段8E长的最大值.拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点4的坐标为(2, 0),点8的坐标为(6, 0),点P 为线段A8外一动点，且 = 2, PM=PB, N8PM=90。,请直接写出线段AM长的最大值 及此时点P的坐标.(备用图)【答案】CB的延长线上，a+b：CD=8E理由见解析；8E长的最大值为5： 满足条件的点P坐标(2- JJ, J2)或(2-J，-&), A

6、M的最大值为2&+4.【解析】【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论：(2)根据已知条件易证C4 EA8,根据全等三角形的性质即可得CD=8E：由于线段 8E长的最大值=线段CD的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果：(3)连接8M, 将 4PM绕着点P顺时针旋转90。得到 P8N,连接4N,得到 4W是等腰直角三角形， 根据全等三角形的性质得到PN=% = 2, 8A/=4外 根据当N在线段8A的延长线时，线段 8N取得最大值，即可得到最大值为2+4：如图2,过P作P£_Lx轴于&根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标

7、.如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时也满 足条件，由此求得符合条件的点P另一个的坐标.【详解】,点4为线段BC外一动点，且8C=a, AB = b,.当点A位于C8的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为8c+48 = a+b, 故答案为C8的延长线上，a+b： CD = 8E,理由：A8D与是等边三角形，：.AD=AB. AC=AE9 Z BAD=A CAE=60：.Z 8AD+N BAC=Z C4E+N BAC9即N C4)=N EAB,AD = AB在 C4。与 EA8 中，, NG4O = NE4B ,AC = AE：. CAD 4 EAB(SAS).：.CD=BE；;

8、线段BE长的最大值=线段CD的最大值，由知，当线段CD的长取得最大值时，点。在C8的延长线上，/.最大值为 8D+8C=AB+8c=5：图1,/将 APM绕着点P顺时针旋转90。得到 PBN,连接AN, 则 APN是等腰直角三角形，:PN=PA = 2, BN=AM./A的坐标为(2, 0),点8的坐标为(6, 0),/. OA = 2, 08=6,，48=4,/.线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，当A/在线段84的延长线时，线段8N取得最大值, 最大值=A8+A/V.4N=VJ4P=2，最大值为2+4：过P作PE_Lx轴于E,.APN是等腰直角三角形， PE=AE= V2，/. OE=

9、BO - AB - AE=6 - 4 -也=2 -四,P(2 ->/2).根据对称性可知当点P在第四象限时，P（2-&,-应）时，也满足条件.综上所述，满足条件的点p坐标（2 - V2 . >/2 ）或（2 -近，-，AM的最大值为2 点+4.【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的 性质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.3 .平面上，R3 ABC与直径为CE的半圆。如图1摆放，Z B = 90°, AC=2CE = m, BC = n,半圆O交BC边于点D,将半圆。绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转

10、且 Z ECD始终等于N ACB,旋转角记为a （0*aW180。）（2）试判断：旋转过程中处的大小有无变化？造仅就图2的情形给出证明： AE（3）若m = 10, n = 8,当a = N ACB时，求线段BD的长；（4）若m = 6, n = 4jj,当半圆0旋转至与 ABC的边相切时，直接写出线段BD的 长.【答案】（1）90°,（2）无变化；（3）15： （4） BD=2j再或独任.253【解析】r 厂试题分析：（1）根据直径的性质，由。日1 A8得二=:即可解决问题.求出CB CABD、AE即可解决问题.（2）只要证明aACE- BCD即可.（3）求出48、AE9利用4CE

11、- 8CD即可解决问题.（4）分类讨论：如图5中，当a=90。时，半圆与47相切，如图6中，当 a=90°+N4CB时，半圆与8c相切，分别求出8。即可.试题解析：（1）解：如图1中，当a=0时，连接DE,则。oCE CD 11Z CDE=90°. "/ Z CD£=Z 8=90°, /. DEW AB,：. =-.丁 BC=n, ：. CD=-ll .故答 AC CB 22案为 90°. in. 233b如图 2 中，当 a=180°时，BD=BC+CD=-n, AE=ACCE=-m,：. =.故答案为22AE m(2)如

12、图 3 中，: NACB=N DCE, ：. Z ACE=A BCD. CD BC nCE AC m：. ACE- BCD,BD BC _ nAE AC in(3)如图 4 中，当 a=N4CB 时.在 RtZi48C 中，>4C=10t 8c=8, /. AB=y/C2 -BC2 =6-在 R3 48E 中，:48=6，BE=BC - CE=3,BD 8c*析滴二折百二3",由可知OCi88,，而=就,BD 83V5 10,BD=匚正.故答案为上任.(4),.,m=6,。=4&，J CE=3, CD=2 显，8= -BC2 =2 如图 5 中，当 a=90。 时，半圆

13、与AC相切.在RSD8c中，BD= bC匚CD?： J(4衣2 + (2应)2 =2如. 如图6中，当a=9(r+N 4cB时，半圆与8c相切，作EMLAB于丁 N MnN C8M=N 8CE=90°,，四边形 8CEM 是矩形，8M = EC = 3, ME = 4g，：.AM=S, AE=AM 2 + ME? = >/57，由(2)可知登 = /1,. 8D=MJZ.AE 33故答案为2丽或迫匕.点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出 图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题.4 .在R3 ABC中，

14、AB=BC=5, Z B=90%将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的 中点。处，将三角板绕点0旋转，三角板的两直角边分别交AB, BC或其延长线于E, F两 点，如图与是旋转三角板所得图形的两种情况.（1）三角板绕点0旋转，OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即 给出OFC是等腰直角三角形时BF的长）：若不能，请说明理由：（2）三角板绕点0旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图或加以证明：（3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处（如图），当AP:AC=1:4时，PE和PF 有怎样的数量关系？证明你发现的结论.【解析】【小题1】由题意可知，当F为BC的中点时，由

15、AB=BC=5,可以推出CF和OF的长 度，即可推出BF的长度，当B与F重合时，根据直角三角形的相关性质，即可推出OF 的长度，即可推出BF的长度；【小题2】连接0B,由己知条件推出 OEB2 OFC,即可推出OE=OF：【小题3】过点P做PM_LAB, PN_LBC,结合图形推出 PNF PME, APM- PNC, 继而推出PM： PN=PE： PF, PM： PN=AP： PC,根据已知条件即可推出PA： AC=PE： PF=1：4.5 .在平面直角坐标系中，0为原点，点八（3, 0）,点8 （0. 4）,把ABO绕点A顺时 针旋转，得A&O，点8,。旋转后的对应点为&,

16、 O.（1）如图1,当旋转角为90。时，求8&的长；（2）如图2,当旋转角为120。时，求点O）的坐标：（3）在（2）的条件下，边08上的一点P旋转后的对应点为匕 当O'P+47取得最小值【答案】（1） 572 ： （2） 01（-,至）：（3） P'（,至）. 2255【解析】【分析】（1）先求出A8.利用旋转判断出ABB，是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）先判断出NH4/=60。，利用含30度角的直角三角形的性质求出AH, OH,即可得出结论：(3)先确定出直线0匕的解析式，进而确定出点P的坐标，再利用含30度角的直角三角 形的性质即可得出结论.【详解】(1)

17、9： A (3, 0) , B (0, 4) , ：. 04=3, 08=4, /. AB=59 由旋转知,8A=82,N84夕二90°, .488是等腰直角三角形，88'=JJa8=5夜；(2)如图 2,过点 0,作 O'HLx 轴于 H,由旋转知，(X4=OA=3, N 040=120。，13 广9. Z 班0'=60°, Z HO'A=30 ：. AH=-AO'=-9 0H=百4巾，_ , /. OH=OAAH=-,2222(3)由旋转知,AP=AP ：.OlP-AP'=OlPAP,如图3,作A关于y轴的对称点C,连接O

18、'C 交y轴于P，O'P+4P=O'P+CP=O'C,此时，O'P+AP的值最小.点C与点4关于v轴对称，C ( -3, 0). 0,(2,3g), .直线OC的解析式为 正令x=0,片士叵，,.P (0, 2 2555），.二 OP=OP=NI ,作 P,D上O,H 于 D. 55Z 8'0Z=N 80=90°, Z AOH=30°,Z OP'O'=30°,96万27O'H+P'D=, P15（27 65/3 、（,）55P'D=Co'D=一,DH=O'H -

19、 0lD= - 105【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三 角形的性质，构造出直角三角形是解答本题的关键.6.如图1,菱形ABCD, AB = 4，NADC = 120',连接对角线AC、BD交于点0, (1)如图2,将aAOD沿DB平移，使点D与点0重合，求平移后的aABO与菱形ABCD 重合部分的面积.(2)如图3,将A'BO绕点0逆时针旋转交AB于点E',交BC于点F,求证：BE' + BF=2：求出四边形OE'BF的面积.DDD【答案】（1），文2）证明见解析【解析】【分析】先判断出4ABD是等

20、边三角形，进而判断出 EOB是等边三角形，即可得出结论:先判断出合 OBF,再利用等式的性质即可得出结论；借助的结论即可得出结论.【详解】（】）.四边形为菱形，NADC = 120、，NADO = 60 .NABD为等边三角形，/. NDAO = 30，NABO = 60，ADA9, Z A'OB=60°.hEOB为等边三角形，边长OB = 2,，重合部分的面积: 与4s4（2）在图3中，取AB中点E,由(1)知I, Z EOB=60% N E，OF=60。, /. Z EOE'=Z BOF,又 TEO = BO, ?. Z OEE,=Z OBF=60°,

21、a oeeQ OBF,/. EE'=BF,Z. BE'+BF=BE'+EE'=BE=2：由知，在旋转过程中始终有 OEEQ OBF,Sa oee,=Sa obf，【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较 强，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.7.如图 1, 48C 中，CA=CB, Z ACB=90 直线/经过点 C, AFJJ 于点 F, 8EJL/于点 E (1)求证： ACF CBE；(2)将直线旋转到如图2所示位置，点。是48的中点，连接DE.若48=40，Z CBE=30°,求 0E

22、的长.【答案】（1）答案见解析；（2）五+«【解析】试题分析：（1）根据垂直的定义得到N8EC=/4CB=90。，根据全等三角形的性质得到 NEBC=NG4F,即可得到结论：（2）连接CD, DF,证得ABCmAACF,根据全等三角形的性质得到8E=CF, CE=AF,证得 OEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF=JIdE，EF=CE+BE,进而得 到DE的长.试题解析:解：（1） ,/ BE±CE9 ：. Z BEC=N 4cB=90°,，EBC+N BCE=N BCE+N ACF=90' N E8C=Z CAF,于点 F， /. Z

23、AFC=90ZAFC = NBEC = 90°在a BCE 与 ACF 中，/ NEBC = /ACF , Aca & CBE （AAS）：BC = AC（2）如图 2,连接 CD, DF. / BE±CE.，N 8EC=N 4CB=90°,，EBC+N BCE=N BCE+N ACF=90' N E8C=Z CAF,于点 F， /. Z AFC=90ZAFC = ZBEC = 90°在a BCE 与4 C4F 中，,/ZEBC = ZAC F, /. BCE空 CAF （AAS）；BC = AC：.BE=CF. 点。是 48 的中点，C

24、D=BD, N CD8=90。，/. Z CBD=Z ACD=45C9 而Z EBC=N CAF, ：. Z EBD=A DCF.在仆 BDE 与仆 CDF 中，T <BE = CF/EBD = ZFCD ,BD = CF. BDE a CDF (SAS) , Z EDB=N FDC, DE=DF. : Z 8DE+N CD£=90°,/. Z FDC+Z CDE=90% 即N EDF=90°,， EOF 是等腰直角三角形，J. EF= DE,二 EF=CE+CF=CE+BE. '： CA=CB, Z ACB=90 AB=A 叵，：.BC=4.又:

25、N CBE=30°.CE=-BC=2, BE=小 CE=2 小,：.EF=CE+BE=2+2 73 » C公军一交 二立 +瓜 2y/2点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形 斜边上的中线的性质，证得 8CE空 4CF是解题的关键.8.在aAOB中，C, D分别是OA, OB边上的点，将 OCD绕点O顺时针旋转到 OCD. （1）如图1,若NAOB=90。，OA=OB, C, D分别为OA, 0B的中点，证明：AU=BD ACUBD'；（2）如图2,若 AOB为任意三角形且N AOB=8, CDII AB, AC与BD咬于点E

26、,猜想 naeb二。是否成立？请说明理由.【答案】（1）证明见解析：（2）成立，理由见解析【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得出OC=OU, OD=OD Z AOC=Z BOD证出OC=OD由SAS证明 AOC经 BODS得出对应边相等即可；由全等三角形的性质得出N OAU=N OBA,又由对顶角相等和三角形内角和定理得出 Z BEA=90%即可得出结论;（2）由旋转的性质得出OC=OU, OD=ODS Z AOC=Z BOD%由平行线得出比例式,得出2 = 曳，证明 AOC： BODZ,得出N OAC=N OBD，再由对顶角相OA OB 0Dl OB等和三角形内角和定理即可得出N AEB=

27、0.试题解析：(1)证明： OCD旋转到 OCD,?. OC=OC OD=OD Z AOC=Z BOD / OA=OB, C、D 为 OA、OB 的中点，/. OC=OD, . OC=ODOA = OB41。'二乙BOD, tV在4 AOCflA BOD'中，0C =0D, . AOCQ BODZ (SAS), , AC'=BD'：延长AU交BD吁E,交BO于F,如图1所示： AOC金 BOD',/. Z OAC=Z OBD又NAFONBFE, Z OAC+Z AFO=90°,/. Z OBD'+N BFE=90°,Z BEA

28、=90°, ACXBD"；(2)解：NAEB二。成立，理由如下：如图2所示：,/ OCD 旋转到 OCD,/. OC=OC OD=OD Z AOC=Z BODCD II AB,OC OD 怎一次0Cl OD1万一诲OC' OA ,而一曲又N AOC=Z BOD，J AOC's BODSZ OAC=Z OBDS又N AFO=Z BFE,Z AEB=Z AOB=0.图1考点：相似三角形的判定与性质：全等三角形的判定与性质：旋转的性质.9.如图，是边长为4c也的等边三角形，边在射线上，且Q4 = 6cm,点 Z）从点。出发，沿。M的方向以Ic优/s的速度运动，当0

29、不与点/重合是，将A4C。 绕点C逆时针方向旋转60°得到MCE，连接Z）E.（1）求证：ACDE是等边三角形：（2）当6<£<10时，的必QE周长是否存在最小值？若存在，求出以少后的最小周长：若不存在，请说明理由.（3）当点。在射线OAf上运动时，是否存在以5为顶点的三角形是直角三角形?若存在，求出此时P的值：若不存在，请说明理由.【答案】（1）详见解析：（2）存在，2招+4； （3）当t=2或14s时，以D、E、B为顶 点的三角形是直角三角形.【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得到N DCE=60。，DC=EC,即可得到结论：（2）当6VtV10 时，由旋

30、转的性质得到BE=AD,于是得到Gdbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形 的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD_LAB时， BDE的周长最小，于是得到结 论：（3）存在，当点D与点B重合时，D, B, E不能构成三角形，当04<6时， 由旋转的性质得到N ABE=60。，NBDEV60。，求得N BED=90。，根据等边三角形的性质得到 N DEB=60°,求得NCEB=300,求得 OD=OA - DA=6 - 4=2,于是得到 t=2+l=2s：当 6VtV 10s时，此时不存在:当t>10s时,由旋转的性质得到仕DBE=60。,求得N

31、BDE>60。， 于是得到t=14-rl=14s.试题解析：（1）证明：.将 ACD绕点C逆时针方向旋转60。得到 BCE,Z DCE=60°, DC=EC,/. a CDE是等边三角形;（2）存在，当6Vt<10时，由旋转的性质得，BE=AD./. CA dbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE ,由（1）知， CDE是等边三角形，, DE=CD,Ca dbe=CD+4,由垂线段最短可知，当CD_LAB时，4BDE的周长最小，此时，CD=2招cm,， BDE 的最小周长=CD+4=2 J5+4：（3）存在，.当点D与点B重合时，D, B, E不能构成三角形，厂.当点D与点B重合时，不符合题意，当0q6时，由旋转可知，Z ABE=60% Z BDE<60", Z BED=90°,由（1）可知， CDE是等边三角形， Z DEB=60",/. Z CEB=30% Z CEB=Z CD A, Z CDA=30°, / Z CAB=60°,/. Z ACD=Z ADC=30", , DA=CA=4,OD=OA - DA=6 - 4=29t=2-rl=2s：当 6cte10s 时，由N DBE=120°>90°,.1.此时不存在：当t>10s时，