函数项级数一致收敛性

1、25函数项级数一致收敛性有关问题的讨论函数项级数是微积分的主要内容之一，是数学分析研究的重点.用函数项级数(或函数列)来表示(或定义)一个函数，判断其一致收敛性是关键.从函数项级数一致收敛的定义及性质出发，下面主要讨论函数项级数(或函数列)一致收敛性的判别及其应用.1函数项级数一致收敛的相关定义定义1.11(P31)设函数列Sn(x)是函数项级数un(x)的部分和函数列，若0,存在正n 1整数N()，当n> N()时，不等式Uk(x)k 1S(X) = Sn (X)S(x)<对I上一切x都成立，则称 Un(x)在I上一致收敛于S(x). n 1一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达

2、：定义1.1'2(P67)函数列Sn(x)(或Un(x)在I上一致收敛于S(x)n 1lim sup Rn(x) = lim sup S(x) Sn(x)0 ) :' I Rn(x) = S(x) Sn(x)称为函数项级数n x In x IUn (x)的余项. n 1定义1.2函数列Sn(x)在I上非一致收敛于 S(x)00, N 0,n0N ,x0I,使得 Sn0(x0) S(x(o)0.定义1.3 函数列Sn(x)在区间a,b内的任一闭区间上一致收敛时，称 Sn(x)在区间a,b内闭一致收敛.2 一致收敛函数项级数的性质3(P417 430)定理2.1 (逐项取极限)设级

3、数un(x)在x0的某个空心邻域U 0 (x0 )= x : 0 | x x0 |内n 1致收敛，lim un(x) cn.则Cn收敛，且(1)limUn(x) = lim Un (x) = Cnx xox x.r n 1n 10n 1定理2.2(连续性)若Un(x)在区间I上连续(n 1,2, ), Un(x)在I上一致收敛，则S(x)n 1Un(x)在I上连续. n 1定理2.2'若Un(x)在(a,b)内连续(n 1,2, ),u0(x)在(a, b)内闭一致收敛，则S(x)n 1Un (x)在(a, b)内连续.n 1定理2.3 (逐项求导)若级数un(x)区间I上满足以下三条

4、:n 1(1)级数Un(x)在I上收敛(或验证在I上至少有一个收敛点)；n 1(2) un(x)在I上有连续导数(n 1,2,);(3) un(x)在I上一致收敛(或在I的任一内闭区间上一致收敛 ),则 un(x)区间I上可微,n 1n 1且可逐项求导，即在I上有d ,、 d一 Un(x)=7Un(x)(2)定理2.4 (逐项求积分)dx n 1n 1 dx若级数un(x)的各项连续，并且此级数在a,b上一致收敛，则有n 1Un(x)dx1ba Un(x)dx n 1(3)b一般地，若当n 时，Rn(x)dx0,则上式为真.a3 一致收敛性的判断判别一致收敛的方法有多种，下面将分别进行介绍和讨

5、论.3.1 利用一致收敛的定义通常称定义1.1为“ N法”，定义1.2为“确界法”，从中还可以得到一种更简便的方法“放大法”：0,使得 S(X) Sn(X)n ,(x I),且 n 时，n 0 ,贝U n时，Sn(X)在I上一致收敛于S(X).例1讨论级数un(x) X(X2 X)/ 3(Xx2)在下列区间的一致收敛性.(2)0 X解令SnnUk(x)1则 S(x)lim Sn(x) nX1.1；(1)当 0S(x)0.0,若 Sn(X)S(x) = Xnlnl，取In 2ln1,则当 ln2n N时,X 0,1均有2Sn(X)S(x) = Sn (x) 01,因此Un(x)在0, 上一致收敛

6、于零.n 121.(2)万法1取0,使0°，不论n多大，只要取2111Sn( S(-r) = 1nl2%2一因此，Un(x)在0,1上收敛而非一致收敛.n 1方法2 R(X) |Sn(x) S(X)X 1;1.故sup0 X 1Rn(x) 1 .因此，Un(x)在0,1上非一致收敛.n 1注意在(1)中找N的方法与技巧，对Sn(x) S(x)适当放大时,应使N与X无关,只与有关.fn(x)在任 n 1 1 i 一 例2设fn(x)1 f(x , n 1,2,，其中f(x)为连续函数，证明序列何有限I区间a,b上一致收敛.证记fn(x)的极限函数为F(x),则x 1x 一F(x) li

7、m fn(x)fdt in f(t)dtnxx _i 0 n (0 i 1;i 0,1, ,n 1).由于f(x)在a,b 1上连续，故在a,b 1上一致连续，即0,0 ,使对于x',x'' a,b 1,只要当 x' x'' 时，就有 f(x') f(x").取 N 1 1,则当1f(x ni (xn1N- iii且xa,b 1, x - - a,b 1 innn0,1, ,n 1 .于_1一ii一iF(x)fn(x)-f(x-)f(x-)i0 nnnn因此fn(x)在a,b上一致收敛于f(x).例3试证：n( 1)2在(，)内

8、一致收敛.n 1 n x证易知 x (),当n充分大时，2 n 2单调减且趋于0.故该级数为莱布尼茨型n x级数.则有Rn(x)22(n 1) x(n所以级数3.2柯西准则判断一致收敛性5 (P31)内一致收敛.定理3.2 (一致收敛的柯西准则)函数项级数un(x)(部分和函数列Sn(x)在I上一致收敛n 1的充分必要条件为：0,总存在正整数 N = N(),使n N时，不等式Un i(X) Un 2(x)Un p(x) <( Sn p (x) Sn(x) < )对任意的正整数 p和I上任意的x都成立.1时得到函数项级数一致收敛的必要条件.推论un(x)在数集I上一致收敛函数列un

9、(x)在I上一致收敛于零，即n 10,当n N时，x I都有Un (x)Un(X)为a,b上的可导函数列，且在a,b上uk (x)C , C是不依赖与x和n的正数.证明:un (x)在a,b上收敛，则必为一致收敛.1区间段的中点.b a0 ,取m充分大，将a,b m等分，使得m.顺次以Xi,X2,?m表示各小4C由已知得,Un(xi)收敛n 10, Ni Ni ,x ,n Ni 时，有n PUk(xi)k n 1令 N max N1, N2,Nm,则x a,b(不妨设x位于第i个小区间段，i 1,2, ,m ),n PUk (x)k n 1uk(x)1x n pxj*出puk (xi)”(t)

10、dt2C x原命题得证.注意：在证明过程中对阿贝尔变换.uk(x)进行变形时，有一个重要方法可利用k n 13.3判别函数项级数一致收敛性的常用方法判别函数项级数一致收敛性除根据定义和柯西准则外，还可以根据级数各项的特性来判别，常 用以下判别法.3.3.1 Weierstrass 判别法定理3.3.1 (Weierstrass判别法)1 (P32)设函数项级数un(x)定义在数集I上， Mn为收敛的正项级数，若对一切x I ,有un(x)Mn, n 1,2,则函数项级数un(x)在I上一致收敛.n 1求优级数的方法有多种，主其中 Mn称为un(x)的优级数，因此该定理也称为优级数判别法.n 1

11、n 1要有以下方法：(1)观察法;例5证明:cos nxn时一致收敛.提示:cosnx2- n工可证.n(2)找出Un(x)的最大值法;提示:(3)证明nxn(1 x)2在0,1上一致收敛.1求出通项Un(x)的最大值点(求导法)，x利用已知不等式法;讨论n11nx5 2n x在区间解当x时，1n ,时.n 2上的一致收敛性.52n2x ,于日ZE,nx5 2n x.又因1 一 一】收敛，故级数 3n 1 、52n2nxn11V ()上一致收敛.(4)利用某些已知公式进行变形，等等.例8证明 x2en 1nx在(0,)内一致收敛.证利用泰勒公式,nxe2 2 n x nx 2(xR).从而nx

12、2x2 2. n x1 nx 22x22n x2(x一，一 2(0,)内一致收敛.而级数彳一致收敛，因此由优级数判别法可知原级数在n 1 n3.3.2 Abel判别法和Dirichlet判别法对级数Un(X),若 叫 X =an(X)bn(X).定理3.3.2( Abel判别法)1 (P33)设(1) an x在区间I上一致收敛； n 1(2)对于每一个X I , bn(x)是单调的；(3) bn(X)在I上一致有界，即对一切 x I和n N ,存在正数M ,使得bn(X)M ,则级数 un(X)在I上一致收敛. n 1定理 3.3.3 ( Dirichlet 判别法)1 (P34)设n(1)

13、 an x的部分和函数列 Sn(x) ak(x) (n 1,2,)在I上一致有界； n 1k 1(2)对于每一个X I , bn(x)是单调的；(3)在I上，bn(x) 0, (n )，则级数un(x)在I上一致收敛.n 1(1) n讨论4=)在区间0 Xn 1 . n(n x)上的一致收敛性.n(1). n(n x)=.由于(收敛，且与x无关，故它对( Xn 1 n1 nx而言是1 ，一 一 *致收敛的.而；对于每一个X (0,别法可知原级数在(0,)上一致收敛.)都是单调递增且有界:n(n 1) 一 (1)、例10 讨论 在区间X 10上的一致收敛性.n13/n2 ex2,记 bn(x)3

14、n2 exnk(k 1)(1) 2k 13(n 1)20(x 10), 11,故bn（X）单调下降.又由于 -=:3n2 ex 3n2故bn（X）单调一致地趋于零.因此,Dirichlet判别法知，级数在10,10上一致收敛.界:例11 证明n证原级数=因为(11nx2nxsin nx在（1,1）内一致收敛.2sin kx"sinnx1 x.其中1，一对任意n1 x1，（,1）关于n单调，且一致有2(11x)xnxn-sin nx .x k 2sin k2sin-sinkx12x k 2sin kcos(k11、.1、，)x cos(k )x1 cos- x2/x、cos( nx -

15、) 22sini.一 xsin 一21sin 一4(X1(Vn1,2,)n所以k 1,1sin kx在（一，1）内一致有界.2n x2xF,x x1 (2,1）关于n单减,nxn 1 nxnxL2-1 x x所以(1 x)xn1 x，1，一， 一一在（1,1）上单减一致收敛于0.由Dirichlet判别法可知，级数(1 x)xn .在-sin nx 在 n1 1 x1（1,1）内一致收敛.2一 一，1，一则由Abel判别法可知原级数在（1,1）上一致收敛.3.3.3 Dini 定理.又un(x)在a,bn 13 (P407)定理 3.3.4(Dini 定理)设 Un(x) 0,在a,b上连续，

16、n 1,2,上收敛于连续函数 f(x),则un(x)在a,b上一致收敛于f(x).n 1证(反证法)若un(x)在a,b上非一致收敛，则 0 0,使得 N N , no N, x a,b,有n 1Rn0(x)0 .取 N 1 ,知 ni 1 ,xi a,b使 Rn1(xi)0 ,令 N r 知 1 n1，x2 a,b,使Rn2 (x2)0 ,如此下去，我们得到 n的子序列n1 n2nk使得Rnk (xk)0(k 1,2, )(1)利用致密性原理，在有界数列 xk里，存在收敛子列xk.x0 a,b (j )，因Rn(x)单减(关于n),所以 m N ,当nk m时，有Rm%)Rnk%)0(因式(

17、1)由于Rm(x)f (x) Sm(x)连续，所以j时，对Rm(xkj)0取极限，知%(%)0 , (mN),与un(x)在a,b上收敛矛盾.证毕.n 1注意：Dini定理在和函数便于求得的情况下应用比较方便.一 .1例12 证明函数列fn(x) 一1, (n 1,2,)在区间0,1上一致收敛.en (1 -)nn证当n理可知函数列时，(1 -)nex,且(1 -)n(n 1,2,),ex 都在0,1上连续，故由 Dini 定nn(1 x)n在0,1上一致收敛于ex,由于n1xen(1 x)nnxnx nxen (1)1 enx(1ex) en (1 x)nnx(1 -)nexen1n1ex

18、(1 -)n en 1 在0,1上一致U敛于 0(n ). n又一-n(n 1,2 )在0,1上连续,1 exen1 -n因此，在0,1上，当n 时，原函数列一致收敛于3.4 一致有界与等度连续定义3.4.1fn(X)在I上一致有界，是指：M0,对一切 x I ,都有 fn(x) M (n 1,2,)成立.例133(P410)设fn(x)在区间0,1上一致有界，试证存在一个子序列，在0,1的一切有理点收敛.证 我们知道0,1的全体有理点可以排成一个数列an .因fn(x) 一致有界，故 fn(a1)是有界数列.由致密性原理知其中存在收敛的子序列.为了便于叙述，记此收敛的子序列为f1,n(a1)

19、,于是f1m (x)fn(x)在x仇处收敛.同理，因f1,n(a2)是有界数列，又必存在收敛子列f2,n(a2) .即f2,n(x)3(刈，fz,n(x)在x a1，a2处都收敛.如此不断地进行下去，不断地在子序列里取子序列，使fk,n(x)在 x a1,a2, ,ak处收敛，于是得到一串子序列：f1,1(x), f1,2(x), f1,3(x), , f1,n(x),f2,1(x), f2,2(x), f2,3(x), f2,n(x),f3,1(x), f3,2(x), f3,3(x), f3,n(x),fn,1(x), fn,2(x), fn,3(x), fn,n(x),最后能用上表对角线

20、元素组成一个子序列fn,n(x),即f1,1(x), f2,2 (x), f3,3 (x), fn,n(x),易知此序列在点ai(i 1,2,)上收敛.事实上，a(i 1,2,)，已知上面的子序列中第i个子序列在ai处收敛，而fi,i(x), fi 1,i 1(x) 是第i个子序列的子序列，故 fn,n(x)在ai点上收敛.由此 知 fn,n(x)在 a1,a2,an,上收敛.定义3.4.2 设 是区间I上定义的函数族，上的函数在I上等度连续，是指：0,0,当 xb x2I 且 x1一x2时有 f(x)f(x2)( f ).特别，I上定义的函数序列fn(x),在I上等度连续，是指：0,0,当x

21、1，x2IXiX2时有 |fn(Xl) fn(X2)(nN).试证：若在例14设函数序列fn(x)在区间a,b上等度连续的，且有fn(x) 0,n 1,2,a,b上有 fn(x) f (x) (n证因fn等度连续,),则在a,b上有 fn(x) f (x) (n ).0,0 ,当 x1，X2I 且 x1 x2时有 fn (xi) fn(x2) 一取极限可得f(x1) f (x2).此即表明f (x)在I上一致连续，从而f(x)连续.由Dini 定理知，在a,b上，fn(x) f(x)(n ).4函数项级数非一致收敛的判断这里也给出几种巧证函数项级数非一致收敛的方法，这些方法为一些教科书所忽视，

22、但对判别 函数项级数非一致收敛却十分有用.4.1 利用定义法判别 (见例1用“ N法”)4.2 利用柯西准则法判别由函数项级数一致收敛的柯西准则，可以得到以下命题.命题4.2.1 un X在区间I上非一致收敛0 0, N N , n N, x I, p N ,n 1有n pUk(x)0.k n 1(证明略)特别，当n 时，若通项un在区间|上非一致收敛于0 ,则函数项级数un x在区间I上非一致收敛.根据函数列一致收敛的概念，又有以下命题.命题4.2.2若函数项级数un(x)在区间I上逐点收敛，且在区间I中存在一点列Xn ,使n 1lim un(xn) 0,则函数项级数un(x)区间I上非一致

23、收敛.(证明略)n 1例15证明级数sn工在x 0的邻域内非一致收敛.n 1 nn p <分析要证片段sin kxk n 10 (某个事先给定的正数)n ,又在,上恒有4 2sin x sin ,则只要使kx4,-2,就有2nsin kx .sin k n 1 k42nIsin-. 24为此，取x xn因为n 1 k2n ,所以一(n4k 2n4n4nk 一,一.贝 U4n 4 2，有2n sin kxnk n 1 k2nSin(k 4n)k2nsin 4 k1 .一 sin 一24因此可取04(证明略)例16证明:(1-)n 在(0, n)上非一致收敛.证因为时，易知(1 x)nn所以

24、对任意x(0,)，当n,、一 1时，通项一n(1-)n非一致收敛于 n所以原级数在(0,)非一致收敛.17讨论级数2n sinn 113nx在(0,)上的一致收敛性.显然原级数在(0,)上逐点收敛，取2n3T(0,) , n 1,2,u n( xn )n 12 sin n 1(n2n),故原级数在(0,)上非一致收敛.4.3利用一致收敛函数列的性质判别8( P36 37)致收敛函数列的性质：设各项连续的函数列Sn(x)在区间上一致收敛于S(x),则对任何以Xo(X0 I)为极限的数列 xn，都有limSn(x) nS(x。) .由上性质可得如下命题:命题4.3.1若连续的函数项级数un(x)(

25、记Sn(x)n 1nuk(x)在区间Ik 1上逐点收敛于S(x),且Xo I ,XnI： limXn Xo有limSn(Xn) S(%),则函数项级数Un(x)在区间I上非一nnn 1致收敛于S(x).(证明略)例18讨论函数项级数SinnX(p 0,1)在0,上的一致收敛性.n 1 np'上逐点收敛，设其和函数为S(x),则解 由Dirichlet判别法易知该级数在区间0,-什1，S(0) 0 .取 Xn 0, (n 1,2,)，则 Xn 0(n)，而nUk(Xn) k 1.k sin 一 n kpkkn sin- n sinn n k 1 k k 1 n.k sinnn所以 lim

26、uk(xn)n k 1lim 1 n sin Kn n k 1 n1osin xdx 0 S(0) .故原级数在0,上非一致收敛.4.4利用和函数的连续性质及端点发散性判别命题4.4.1若连续函数项级数Un(X)在区间n 1I上逐点收敛于和函数 S(x),且x0 I , S(x)在X。处不连续，则函数项级数Un(x)在区间I上非一致收敛于S(X) .(证明略)n 1命题4.4.29(P63)若函数项级数un(x)在区间(a,b(或(a,)上逐点收敛，但在左端点n 1X a处发散，n N , Un(x)在左端点x a (右)连续，则函数项级数 4(x)在区间(a,bn 1(或(a,)上非一致收敛

27、.证用反证法.假设函数项级数un(x)在区间(a,b(或(a,)上一致收敛.即n 10, N N , n N, X (a,b或(a,)，有 Un1(x) Un 2 (x)5 p(x)又因n N , un(x)在左端点x a (右)连续，令x a (或a ),对上式两端取极限，得Un 1 (a) Un 2(a) Un p(a)则级数收敛，与已知矛盾，故函数项级数un（x）在区间（a,b（或（a,）上非一致收敛.n 1例19 讨论函数项级数 ne nx在区间为（0,）上的一致收敛性. n 1解易知函数项级数 ne nx在区间（0,n 1）上逐点收敛，且每一项都在 x 0处连续，而函数项级数 ne

28、nx在x 0处发散，故该函数项级数在（0,）上非一致收敛.n 1该题还可利用其它方法判别，但相比较而言此方法更为简便.例20 讨论 (1 n 0x）xn在区间0 x 1上的一致收敛性.解Sn(x)(1 x)xkk 0n(1 x)xkk 0于是S(x) lim&(x)n10x1;0x1._1.1取0,使00,不论n多么大，只要取x 广,就有2n 12c , 1、1、Sn(n 12) S(n12)因此，级数（1 x）xn在0,1上收敛而非一致收敛.n 05综合应用例21 4 （P368）证明级数x2（1）n-尹在任何有界区间a,b上一致收敛.n 1Zn2证 x a,b,(n 1x21)n Rn(x)*3n2c2e为莱布尼兹型级数，故收敛（证明略），且余项1 一.、.i.i、0 (n)(c max a, b ), n 1lim sup Rn(x)0 .n x a,bx2-所以级数 （1）ne产在a,b上一致收敛.n