131函数的单调性和导数

1、1. 3.1 函数的单调性和导数 课前预习学案 一、预习目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的步骤。 二、预习内容 1利用导数的符号来判断函数单调性: y?f(x)在某个区间可导， 一般地，设函数'0)?f(x)(xy?f ；如果在这个区间内 为这个区间内的，则 '0?(x)f)x?f(y 。 ，则 为这个区间内的如果在这个区间内 x)在此区间上为增函数的什么条件？)0是f(思考：（1）若f '(x 回答： 3 x上是单调递增函数，它的导数恒吗？，在R(提示： fx) ？)是什么函数 ) x0在某个区间内恒成立，f(x（2）

2、若f '( 函数 为)f '(x0，则f (x) 若某个区间内恒有 2利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数f(x)的定义域； (2) 求出函数的导数； (3) 解不等式f ?(x)0，得函数的单调递增区间； 解不等式f ?(x)0，得函数的单调递减区间 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一学习目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系. 2掌握利用导数判断函数单调性的方法. 学习重点：利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性. 二、学习过程 【引 例】 1 23?4xy?x? 1确定

3、函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？ 解答：， 23?x?4xy)?(?,2)(2, 问 1）、为什么上是减函数，在在上是增函数？ ， 解答： 、研究函数的单调区间你有哪些方法？2） 解答：， 23 +7)=2x在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？6x2、确定函数f(x 解答：， 究】 【探 我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。23?x?4xy? 的图象；研究二次函数23?4x?y?x ） 画出二次函数的图象，研究它的单调性。（1 提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？） （2 回答： 我们最近研究的哪个知识（通

4、过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？） （3 观察图像，能得到什么结论 回答： 【新课讲解】 与函数的单调性有什么关系？根据刚才观察的结果进行总结：导数 )xf(y? 一般地，设函数在某个区间可导，'0?f(x)xy?f( ； ，则 为这个区间内的 如果在这个区间内 '0)?f(x)(xy?f 。 为这个区间内的如果在这个区间内 ，则 )在此区间上为增函数的什么条件？f '(x)0是f(x思考：（1）若 回答： 3，在Rx上是单调递增函数，它的导数恒吗？ ( fx)提示：（2）若f '(x) 0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数 ？ 若某个区间内恒有f &

5、#39;(x)0，则f (x)为 函数 结论应用： 由以上结论知：函数的单调性与其 有关，因此我们可以用 去探讨函数的单调 性。下面举例说明： 【例题讲解】 31x?y?,0)?( 例1在上是增函数。求证：、 2 归纳步骤：1、 ；2、 ；3、 。 32+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数6xf(x)=2x. 例2、 确定函数 小结：用导数求函数单调区间的步骤： （1） ； （2） ； （3） 【课堂练习】 1确定下列函数的单调区间 323 xx (2)yx(1)y=39x +24x ?(xf)f(xy?yfx()y的2, 、设的导数是函数y?f(x)的图象最有可能是( ) 图象如图所

6、示, 则 3 课后练习与提高 ?(x?f)?f(x)fy(x)f(x)y的图象画是函数年浙江卷）设（2007的导函数，将和在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） y y y y O O O O x x x x DA CB xlnxf()?x ） ，则（已知函数 )?),?(0(0, 上递增在 A B在上递减 11?,0,0? C在上递减 D在 上递增 ee?2353?x?f(x)x? 函数的单调递增区间是_ 4 函数的单调性和导数教案 1.3.1 一、教材分析 xxIxx，对于任意的两个数，且当以前，我们用定义来判断函数的单调性 2211fxfxfxxx， 对于任意的两个数)(就是区间)，

7、那么函数I时，都有(上的增函数)2211Ixxfxfxfx)就是区间I()上的减函数。( ，且当)时，都有，那么函数(2211在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x)与f(x)的大小并不很容易 如果利用21导数来判断函数的单调性就比较简单。根据课程标准，本节分为四课时，此为第一课时。 二、教学目标 1，知识目标： 1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2）掌握利用导数判断函数单调性的步骤。 2，能力目标： 学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。 3，情感、态度与价值观目标： 在愉悦的学习氛围中，学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊

8、到一般。 三、教学重点难点 教学重点：利用导数判断函数单调性。 教学难点：利用导数判断函数单调性。. 四、教学方法：探究法 五、课时安排：1课时 六、教学过程 【引 例】 23?4xy?x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？1确定函数221?(x?2)y?x?4x?3)?(?,2)(2, 上是减函数，在解：，在上是增函数。23?4xy?x?)?,2)(2,(? 在）1、为什么上是减函数，在上是增函数？问： ）、研究函数的单调区间你有哪些方法？2都是反映函数随自? （函数的图象必须能画出的）（1）观察图象的变化趋势； 变量的变化情况。 （2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的

9、定义）23 x在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？+7、确定函数2f(x)=2x6 ）能画出函数的图象吗？（1（产解决了吗？到哪一步解决不了？能用单调性的定义吗？试一试，提问一个学生：（2） 生认知冲突）【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在23，这就需要我们寻求一个新的方法来解x6)=2xx+7不知道函数的图象的时候，如函数f(23?4xy?x? 的单调区间也不容易。决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数 究】【探 我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。23 的图象吗？6)=2(从函数 问：如何入手？（图象

10、） fxxx+7 5 23x?x?4y? 1、研究二次函数的图象； 学生自己画图研究探索。（1） ） 提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？（2 （开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。（3） 能反映函数的变化规律？提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）4） （ 学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。）（5 ：得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）,2)?( ，即其导数为负；该函数在区间上单调递减，切线斜率小于0)?(2, ，即其导数为正；在区间上单调递增，切线斜率大于0 ；如何理解？，即其导数为

11、0注：切线斜率等于0 就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？ 、先看一次函数图象；2 （验证）3、再看两个我们熟悉的函数图象。3xy? 的图象；观察三次函数（几何画板演示）（1） 观察某个函数的图象。（几何画板演示）（2） 指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导 。数研究函数的单调性（幻灯放映课题） 【新课讲解】、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生4 （幻灯放映）回答。)xy?f( 一般地，设函数在某个区间可导，则函数在该区间内'0x)?f()(xfy? ，则如果在这个区间内为这个区

12、间内的增函数；'0?f(x)fy?(x 如果在这个区间内，则为这个区间内的减函数。'0?x)(f)xf( 若在某个区间内恒有为常函数。，则这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证 明需要用到中值定理，大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。 小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。 结论应用：由以上结论知：函数的单调性与其导数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。 下面举例说明： 【例题讲解】31?xy,0)(? 例1、求证：在上是增函数。 由学生叙述过程老师板书：2''3x2?1)?x

13、?y(,0)?x(? ， 因为， 6 2'0y?0x? ，所以 ，即31x?y?,0)(? 上是增函数。在所以函数31?y?x 注：我们知道上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。在R 、下结论。、求导；2、判断导数符号；3学生归纳步骤：123. 6x在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数f(x)=2x+7例2、 确定函数 由学生叙述过程老师板书：2232x+7)=60 2或x12x0，解得x12x, 令6xx解：f(x)=(26x是增函数(x)(x)0，fx)是增函数;当x(2，+)时，f(x当(，0)时，f(x)0，f. 2 )是减函数. 0，f(xf当x(0，2)时，(x)

14、令6xx120，解得0x2. 学生小结：用导数求函数单调区间的步骤： x)的定义域；） 确定函数f(（1). (x(x)的导数ff（2） 求函数. x的范围就是递增区间x)0解不等式，得（3） 令f( x的范围，就是递减区间x)0解不等式，得令f( 【课堂练习】 1确定下列函数的单调区间332 xy=3x9x+24x (1)y=x(2)2234) x2)(x)=3xx18=(1)解：yxx9x+24=3(+242. 4或x，解得x4)0x令3(x2)(232) ，(x的单调增区间是(4，+)y=x和9x+244 x4)0，解得2令3(x2)(x234) 的单调减区间是(29x，+24=.yxx

15、232x)=331) x3(x+1)(=3(=(2)解：y3xxx1)=1. ，解得1x1)令3(x+1)(x03 1).1，y=3xx的单调增区间是( 1. 或x01)，解得x1令3(x+1)(x 3 +)，1)和(1，y=3xx的单调减区间是(?)(x(?fx)y?fyy?f(x) , 、设2是函数的导数的)xy?f( 则) 的图象最有可能是( 图象如图所示, 小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？ 【课堂小结】, )(=若函数函数导数与单调性的关系1.:yfx在某个区间内可导 7 (x)<0, 则ff(x)为减函数. f如果f(x)>0, 则(x)为增函数

16、;如果 2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意 数形结合在解题中的应用. 3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂. 【课后练习】 ?(xf)yf(x)?f(x)f(x)y?的图象画（2007年浙江卷）设的导函数，将是函数和在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） xln?xf(x) ） 已知函数，则（),?)(0(0, 上递减上递增 A在B在11?,00,? 在上递减上递增C在 D ee?235?x()?x3xf 的单调递增区间是函数_ 【课堂作业】1,2 习题p2.4 课本42 【课后记】本节课是一节新授课，课本所提供的信息很简单，如果直接得出结论，学生也能接受， 可学生只能进行简单的模仿应用。为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课，设计思路如下，以便教会学生会思 、首先研究从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前的方法；考解决问题：1