四年级奥数数论整除性质的应用A级学生版

1、 整除性质的应用 知识框架 一、 常见数字的整除判定方法： （1） 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； （2） 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； （3） 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； （4） 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除； （5） 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； （6） 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除. （7） 1001特征(家有三子7、11、13) 77 的余数；一个数除以的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔

2、出数的差除以1111 的余数；一个数除以的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以(1)减去偶数位数字之和所得的从个位往高位数，个位为第位，即为奇数位或者，其奇数位数字之和11 的余数；差除以13()13整大减小一个数除以能被的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差 除；. ）【备注】（以上规律仅在十进制数中成立二、 整除性质 abccca 1 ，性质整除，那么它们的和或差也能被都能被数如果数和数整除即如果cbc(ab) ，那么± abbcacba 2 ，整除，整除即如果又能被数能被数性质也能被整除，那么如果数cbca ，那么 用同样的方法，我们还可以得

3、出： abcabcbca 3 ，那性质也能被如果数或能被数与数整除即如果的积整除，那么baca 么， abcbcab 4 一定能被如果数和数能被数整除，也能被数互质，那么整除，且数性质cbaca(bc)=1bca ，与的乘积整除即如果，那么，且 312412(34)=1(34) 12 ×，那么，且，例如：如果 abambm babmamm05 为非整除，那么，那么也能被如果数能被数整除如果性质（ ；整数） abcdbdac ba 6，能被数整除如果整除，且数能被数也能被性质整除，那么如果数dc acbd ；，那么且 例题精讲 _ 的倍数是 2008【例 1】2a187a?a 整除，那

4、么它的最后两位数是多少？能被】 如105果六位数巩【固1992 中的数是多少？ 能被49整除，20【例 2】 六位数08 整除，那么方框中的和1911六位数11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17在巩【固】 两位数是多少? 整除。这个六位数是多少？各两个，组成一个六位数，使它能被，用数字】【例 3 678168 【巩固】 甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是_ 【例 4】 某个七位数1993能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？ 【巩固】 在523后面写出三个

5、数字，使所得的六位数被7、8、9整除那么这三个数字的和是多少? ，在六位数中，不同的字母表示不同的数字，且满足，【例 5】 ABAABCDEABCDEFABCDABC 已知当 ； 整除7，11，13 则的最小值是 ，依次能被2，35，ABCDEFABCDEFABCDEF ，那么的最大值是_， 取得最大值时ABCDEF6FC?0? abcdefghi的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数可被2有巩【固】 整除，三位数一个九位数 ab abcdefghi整除请问这9可被依此类推，九位数可被3整除，四位数整除，4可被abcabcd 个九位数是多少？ abcdefghi 【例 6】 把若干个自然数

6、1、2、3、连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 【巩固】 把若干个自然数1、2、3、连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 200920092009736，能被11整除，最小值为多少？ 【例 7】 多位数n2009n个 20092009200909能被11整除，那么，的最小值为多少？巩固】 【n2009个n 【例 8】 某个自然数既能写成9个连续自然数的和，还同时可以写成10个连续自然数的和，也能写成11个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？ 【巩固】 有些

7、数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由. 【例 9】 在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个. 【巩固】 用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数? 【例 10】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有多少个？ 【巩固】 在1、2、3、42007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除。 课堂检测 1【随练】个数字，所得到的我在这个是个四位数字。数学老师说：“中先后填入

8、33个四位数，173 个数字的和是多少？3问：数学老师先后填入的”整除。6、11、9依次可被 【随练2】 将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？ 的倍数， 是【随练3如果是】的倍数，是 各代表一个不同的非零数字，11cdabbcdaabcd13bdca 的倍数，那么是 是的倍数， 。 dabcabcd79 【随练4】 为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是1、2就是3在密码中1的数目比2多，2的数目比3多，而且密码能被3和16所整除试问密码是多少？ 家庭作业 a,b,c分别是多少？整除，而且所得的商最小，那么能被36要】【作业1 使 6abc15 【作业2】 各位数码是0、1或2，且能被225 整除的最小自然数是多少？ 【作业3】 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。 【作业4】 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3、5、7、13整除，这个数最大是多少？ n是的倍数的最小正整数n是 。】【作业5 使得1?1063 的数目在密码中2就是7个数字组成，它们不是23密码由】【作业6 为了打开银箱，需要先输入密码， 3和4所整除试求出这个密码多，而且密码能被比3 整除，且各