71 72解直角三角形

1、透析中考透析中考 本节内容在中考中常以选择题、填空题以及解答题的本节内容在中考中常以选择题、填空题以及解答题的形式出现。在历年的中考中，形式出现。在历年的中考中， 锐角三角函数的概念以及特锐角三角函数的概念以及特殊锐角的三角函数值殊锐角的三角函数值 一直是考试的重点，一直是考试的重点， 利用直角三角形利用直角三角形的知识来解决实际问题的知识来解决实际问题 是历年中考的热点问题。今后将会是历年中考的热点问题。今后将会更加侧重于利用直角三角形的知识解决与生活、生产密切更加侧重于利用直角三角形的知识解决与生活、生产密切相关的实际应用题，主要涉及到测量问题、航海问题等的相关的实际应用题，主要涉及到测量

2、问题、航海问题等的考查。重在考查运用数学知识解决实际问题的能力。本节考查。重在考查运用数学知识解决实际问题的能力。本节在中考中的分值为在中考中的分值为 3-103-10分。分。 考点记要考点记要 1.1.如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，A A、B B、C C所对的边所对的边分别是分别是a a、b b、c c，则，则 (1)(1)角的关系为：角的关系为：A+B=_A+B=_；9090 (2)(2)边的关系为：边的关系为：_a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 ； (3)(3)边与角的关系为：边与角的关系为： aabbsinA=_sinA=_b，cotA=_cotA=_c

3、，cosA=_cosA=_c，tanA=_tanA=_a； 一半一半； (4)30(4)30角所对的直角边等于斜边的角所对的直角边等于斜边的 _(5)(5)直角三角形斜边上的中线等于直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半斜边的一半_ 。 2.2.锐角三角函数的性质：锐角三角函数的性质： 非负非负 (1)(1)所有锐角的三角函数值都是所有锐角的三角函数值都是 _数，即数，即0_sin_10_sin_1， 0_cos_10_cos_1，tan_0tan_0，cot_0cot_0；(是锐角是锐角 ) ) (2)(2)如果如果A+B=90A+B=90，则，则 sinA=cos_sinA=cos_，ta

4、nA=cot_tanA=cot_B B B B ； (3)(3)几个主要公式：几个主要公式： sintan?cot?_1 1 ； 1 1 ；?cos?_ cos?sin? cot? tan?22_cos?； _sin?。 (4)(4)当锐角角度在当锐角角度在0 0-90-90之间变化时，锐角的正弦、正之间变化时，锐角的正弦、正切随角度的增大而切随角度的增大而增大增大_ ；锐角的余弦和余切随角度的增大；锐角的余弦和余切随角度的增大而而减小减小_ 。 3.3.特殊锐角的三角函数值：特殊锐角的三角函数值： 60 1 2 30 45 21 1 330 sinA cosA tanA cotA 12323

5、345 222260 32121333314.4.测量问题中的有关概念：测量问题中的有关概念： (1)(1)仰角：从下向上看，视线与水仰角：从下向上看，视线与水平线的夹角。平线的夹角。 俯角：俯角：_从上向下看，视线与水平线从上向下看，视线与水平线的夹角的夹角。 _(2)(2)坡角：斜坡坡面与水平面的夹坡角：斜坡坡面与水平面的夹角，常用角，常用表示。表示。 坡度坡度( (坡比坡比) )：斜坡坡面的铅垂高度：斜坡坡面的铅垂高度h h与坡面的水平宽度与坡面的水平宽度l l的比值，常用的比值，常用hlhl 。 i i表示，则表示，则i=_i=_由定义可知：坡度就是坡角的由定义可知：坡度就是坡角的 正

6、切正切_ 值，即值，即 。 tantan hlhl ；坡度越大，则坡角越；坡度越大，则坡角越大大i=_=_i=_=_ ，坡面越，坡面越陡陡_考点例解考点例解 1.1.考查勾股定理的应用考查勾股定理的应用 例例1 1 如图，已知如图，已知AB=12AB=12，ABBCABBC于点于点B B，ABADABAD于点于点A A，AD=5AD=5，BC=10BC=10，点，点E E是是CDCD的中点，则的中点，则AEAE的长是的长是_6.5 6.5 。 D D 5 5 A A 解析：解析： 如图，过点如图，过点D D作作DFCBDFCB交交CBCB的延的延长线于点长线于点F F，过点，过点E E作作EG

7、CFEGCF交交DFDFH H E E 于点于点G G，交，交ABAB于点于点H H。 G G 则则BF=AD=5BF=AD=5，DF=AB=12DF=AB=12。 易证易证EGEG是是DCFDCF的中位线，的中位线， F F B B 10 10 C C 1因此，在因此，在RtRtAEHAEH中，中， AH= AH= AB?6,而而EH=EG-GH=7.5-5=2.5EH=EG-GH=7.5-5=2.5 ，2由勾股定理，得由勾股定理，得 AE?AH2?EH2?62?2.52?6.5.11EG=EG= CF ?(10?5)?7.5,22变式训练变式训练 1.1.如图，在如图，在RtRtABCAB

8、C中，中，ACB=90ACB=90，点，点D D是斜边是斜边ABAB的中点，的中点，42E E，若，若DE=2DE=2，CD= CD= 25BEBE的长为的长为_。DEACDEAC，垂足为点，垂足为点，则，则2.2.考查解直角三角形的应用考查解直角三角形的应用 例例2 2 如图所示，为求出河对岸两棵树如图所示，为求出河对岸两棵树 A A、B B间的距离，小坤间的距离，小坤在河岸上选取一点在河岸上选取一点 C C，然后沿垂直于，然后沿垂直于ACAC的直线前进了的直线前进了1212米米到达点到达点D D，测得，测得CDB=90CDB=90。取。取CDCD的中点的中点E E，测得，测得AEC=56A

9、EC=56，BED=67BED=67，求河对岸两树间的距离（提示：，求河对岸两树间的距离（提示：过点过点A A作作AFBDAFBD于点于点F F）。（参考数据：）。（参考数据：sin56sin56 ，4tan56tan56 ，32sin67sin67 ，147515tan67tan67 ）3 解析：解析： 过点过点 A A作作AFBDAFBD于点于点F F，则，则AF=CD=12AF=CD=12米，米，DF=ACDF=AC。 在在RtRtACEACE中，中，tanAEC=tanAEC= ACCEAC=CEAC=CEtanAEC=6tanAEC=6 =9 =93（米）（米）DF=AC=9DF=A

10、C=9（米）（米） 2在在RtRtBDEBDE中，中，tanBED=tanBED= BDDEBD=DEBD=DEtanBED=6tanBED=67 =14 =14（米）（米）BF=BDBF=BD-DF=14-9=5-DF=14-9=5（米）（米）3 AF2?BF2?122?52?13所以，河对岸两树间的距离约为所以，河对岸两树间的距离约为 1313米。米。 AB= AB= （米）（米） 变式训练变式训练 2.2.如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶。在航行到东向西行驶。在航行到 B B处时，发现灯塔处时，发现灯塔A A在我军

11、舰的正北在我军舰的正北方向方向500500米处。当该军舰从米处。当该军舰从 B B处向正西方向行驶到处向正西方向行驶到 C C处时，处时，发现灯塔发现灯塔A A在我军舰的北偏东的在我军舰的北偏东的 6060的方向。求该军舰行的方向。求该军舰行驶的路程。驶的路程。( (计算过程和结果均不取近似值计算过程和结果均不取近似值 ) ) 解：解：由由 题意可知：在题意可知：在ABCABC中，中，C=90C=90，ACB=30ACB=30，AB=500AB=500米。米。 cotACB=cotACB= BCABBC=ABBC=ABcotACB= (cotACB= (米米5003) ) 即该军舰行驶的路程为

12、即该军舰行驶的路程为500 3米。米。 3.3.考查利用两次仰角来测量高度考查利用两次仰角来测量高度 例例3 3 如图，某校综合实践活动小组同学欲测量公园内一棵如图，某校综合实践活动小组同学欲测量公园内一棵树树DEDE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上点的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上点A A处测得树顶端处测得树顶端D D的仰角为的仰角为3030，朝这棵树的方向走到台阶，朝这棵树的方向走到台阶下的点下的点C C处，测得树顶端处，测得树顶端D D的仰角为的仰角为6060。已知点。已知点A A的高度的高度为为2 2米，台阶米，台阶ACAC的坡度为的坡度为1 (1 (即即ABB

13、C=1 )ABBC=1 )，且，且 B B、C C、33E E三点在同一条直线上。请根据以上条件求出树三点在同一条直线上。请根据以上条件求出树 DEDE的高度的高度( (测倾器的高度忽略不计测倾器的高度忽略不计 ) )。 3CE=DEcotDCE=CE=DEcotDCE= x,3(x?2 ) 3 .AF=DFcotDAF=AF=DFcotDAF= AF=BE=BC+CEAF=BE=BC+CE 即即 解，得解，得x=6x=6。 解析：解析： 如图，过点如图，过点A A作作AFDEAFDE于于条件中出现了特条件中出现了特树树则四边形则四边形ABEFABEF为矩形。为矩形。 DEDE的高度为的高度为

14、6 6米。米。 点点F F， 殊角度，往往构殊角度，往往构AF=BEAF=BE，EF=AB=2EF=AB=2米。米。 造包含特殊角度造包含特殊角度AB1.在在RtRtABCABC中，中， ?在内的直角三角在内的直角三角BC3BC= BC= 米。米。 23形，以利用特殊形，以利用特殊设设DE=xDE=x米，则米，则DF=(x-2)DF=(x-2)米。米。 角度；有时需要角度；有时需要CEcot,利用三角函数建利用三角函数建在在RtRtCDECDE中，中， ?DCE?DE立方程求解。立方程求解。 AFcot在在RtRtADFADF中，中， ?DAF?DF.3(x?2 ) 3?2 3?x3变式训练变

15、式训练 3.3.如图，某数学课外活动小组测量电视塔如图，某数学课外活动小组测量电视塔 ABAB的高度，他们的高度，他们借助一个高度为借助一个高度为30m30m的建筑物的建筑物CDCD进行测量，在点进行测量，在点C C处测得塔处测得塔顶顶B B的仰角为的仰角为4545，在点，在点E E处测得处测得B B的仰角为的仰角为3737(B(B、D D、E E三点在一条直线上三点在一条直线上 ) )。求电视塔的高度。求电视塔的高度h h。( (参考数据：参考数据：sin37sin370.60.6，coc37coc370.80.8，tan37tan370.75)0.75) CA=BA=hCA=BA=h。 ABtan,在在RtRtAB