全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总

1、全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现角平分 线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看 线段垂直平分 线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验线段和差不等式，移 到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线三角形中有中线，延长中线 等中线。、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平 分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一

2、般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考 虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-1，/ AOCh BOC如取OE=OF并连 接DE DF,则有 OEDAA OFD从而为我们证明线 段、角相等创造了条件。例1 .如图12，AB/CD，BE平分/ BCD CE 平分/ BCD点E在AD上,求证：BC=AB+CD例 2.已知：如图 1-3，AB=2ACZ BAD=/ CAD DA=DB 求证 DC! AC例3

3、.已知：如图14，在 ABC中，/ C=2/ B,AD平分/ BAC求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还 要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分 问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短 的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？练习1. 已知在 ABC中，AD平分/ BAC / B=2/C,求证：AB+BD=AC2. 已知：在A ABC 中，/ CAB=/ B，AE 平分/ CAB 交 BC 于 E、 AB=2AC求证：AE=2CE3. 已知：在A ABC中，AB>AC,A为/ BAC的平分线，M为AD上任一点求证：BM-CM>

4、AB-AC4.已知：D是A ABC的/BAC勺外角的平分线AD上的任一点，连接DBDC 求证：BD+CD>AB+AC（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。图2-1例 1 .如图 2-1，已知 AB>AD, Z BACM FAC,CD=BC 求证：/ ADCZ B=180分析：可由C向Z BAD的两边作垂线。近而证Z ADC与 Z B之和为平角。例J2 .如图 2-2，ABC 中，Z A=90 , AB=ACZ ABDZ CBD求证：BC=AB+AD分析：过D作DEL BC于E,则AD=DE=CE则构造

5、出 全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题， 中利用了相当于截取的方法。例3.已知如图2-3， ABC的角平分线BM CN相交于点 P。求证：Z BAC的平分线也经过点P。分析：连接AP,证AP平分Z BAC即可，也就是证P到ABAC的距离相等。练习：1 .如图 24 Z AOPZ BOP=15，PC/OA PDLO女口果 PC=4 贝 U PD=()A4B3C2 D12.已知在Za ABC 中、/ C=90 , AD 平分/ CAB CD=1 .5,DB=25求 AC。3.已知：如图 2-5, / BACK CAD,AB>AP np+ar1AE=2 （AB+AD .求证：/

6、 D+Z B=180。4. 已知：如图26,在正方形ABCD中，E为CD的中点,F为BCB图2-5上的点，Z FAEZ DAE 求证：AF=AD+CF5. 已知：如图 2-7，在 RtA ABC 中，Z ACB=90 ,CD ± AB,垂足为 D, A图2-7E平分Z CAB交CD于F,过F作FH/AB交BC于H。求证CF=BH图3-2（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线， 使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形， 垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高， 以利用中位线的性质与等腰三 角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分

7、线的线段，则延长该线段与角的另一边相 交）。例 1 .已知：如图 3-1 , Z BADZ DAC AB>AC,Ct!AD 于 D, H 是 BC 中点。1求证：DHh （AB-AC2分析：延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证例 2 .已知：如图 3-2 , AB=ACZ BAC=90 , AD 为 Z ABC的平分线，CE! BE.求证：BD=2CE分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线， 可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例3 .已知：如图3-3在A ABC中，AD AE分别/ BAC的内、外角平分线，过n 图 3-3 JL AF,从顶点B作

8、BFAD交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于M>求证：AM二ME分析：由AD AE是/ BAC内外角平分线，可得EA F.而有BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例4 .已知：如图3-4，在 ABC中，AD平分/ BAC AD=AB CMLAD交AD1延长线于M求证：AM= (AB+AC分析：题设中给出了角平分线AD,自然想到以AD为轴作对称变换，作a AB1D关于AD的对称 AED然后只需证DM=EC另外人由求证的结果AMI= (AB+AC，即2AM=AB+AC也可尝试作 ACM关于CM的对称 FCM然后只需证DF=CF即可练习：BAC的平分1. 已知：在AABC中，AB=5

9、AC=3D是BC中点，AE是/线，且CELAE于E,连接DE,求DE2. 已知BE、BF分别是 ABC的/ABC的内角与外角的平分线，AFLBF1于F, AE1 BE于E,连接EF分别交AB AC于M N,求证MN= BC（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而 也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。图4-1例 4 如图 , AB>AC, / 仁/2,求证：AB- AC>BDCD例 5 如图，BC>BA BD 平分/ ABC 且

10、AD=CD 求证：/ A+Z C=18Q如图,AB/ CD AE DE 分别平分 Z BAD 各 Z ADE 求证：AD=AB+GDDC练习：1 .已知，如图，/ C=2/A, AC=2BC求证： ABC是直角三角形2 .已知：如图 , AB=2AC/ 仁/2, DA=DB 求证：DCLAC3 .已知CE人。是A ABC的角平分线，/ B=60。,求证：AC=AE+CD4 .已知：如图在 ABC中，/ A=90。，AB=AC BD是/ ABC的平分线，求证:BC=AB+AD由线段和差想到的辅助线口诀:线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段

11、之和时，一般方法是截长补短法：1'截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于 另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段 等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第 三 边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可 连接两 点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三 角形三边的不等关系证明，如：例1、已知如图: D、EABC内两点，求证:AB+AC>BD+DE+CE.证明：（法一）将DE两边

12、延长分别交AB AC于M N,在A AMN 中，AM+AN>MD+DE+NE；在Za BDM 中，MB+MD>B (2)在Za CEN 中，CN+NE>CE ( 3)由(1) + ( 2) + ( 3)得:MzCDE NAM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE AB+AC>BD+DE+EC（法二：图 1-2）延长BD交AC于F,廷长CE交BF于G在Za ABF和 GFCffiA GDE 中有：AB+AF>BD+DG+G三角形两边之和大于第三边）D E图1 2(1)GF+FOGE+CW 上)(2)DG+GE>D0 同上)(3)由(

13、1) + (2) + (3)得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+>EC二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角 形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定 理：例J如：如图2-1 :已知D ABC内的任一点，求证：/ BDC> / BAC。分析：因为/ BDC与/ BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使/ BDC处于在外角的位置，/ BAC处于在内角的位 置；证法一：延长B

14、D交AC于点E,这时/ BDC®八EDC勺外角， / BDC2 DEC 同理/ DEC2 BAC BDC2 BAC证法二：连接AD并廷长交BC于F,这时/ 8口5是4 ABD的夕卜角，/ BDF2 BAD 同理，/ CDF* CAD BDF+/ CDF* BAD* CAD 即：/ BDC* BAC注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角 位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形,B D图3 1如：例如：如图3-1 ：已知AD ABC的中线，且*仁* 2* 3= * 4,求证：B

15、E+CF>EF。分析要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定 理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知* 1二* 2，/ 3=Z 4,可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN, FN，EF移到同个三角形中。证明：在DN上截取DN=DB连接NE NF,贝U DN=DC在A DBE?3NDE 中：DN=D （辅助线作法）“/仁/2 （已知）- ED=E （公共边） DBEAA NDE （ SASBE=NE （全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF在么EFN中EN+FN>EF三角形两边之和大于第三边） BE+CF>EF注意：当证题有

16、角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全 等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。三、截长补短法作辅助线。例如：已知如图6-1 :在 ABC中,AB>AC/仁/ 2，P为AD上任一点求证：AB-AC>PB-PC分析:要证:AB-AOPB-PC想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边 AB-AC，故可 在AB上截取AN等于AC，得ABAC=BN再连接PN贝U PC=PN又在 PNB中, PB-PNvBN即：AB-AC>PB-PC证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN,在AAPN和/1APC中A

17、N=AC （辅助线作法）/仁Z2 （已知）AP=AP （公共边）ZAPN幻APC （SAS），/PC=PN （全等三角形对应边相等）T在ZBPN中，有PB-PNvBN （三角形两边之差小于第三边）BP-PCvAB-AC证明：（补短法）犬、延长AC至M，使AM=AB，连接PM,C在 MBP 和/AMP 中B无二6 1 MF AB=AM （辅助线作法）/仁Z2 （已知）AP=AP （公共边）z.zABPAzAMP （SAS）-PB二PM （全等三角形对应边相等）又 . 在ZPCM中有：CM>PM-PC （三角形两边之差小于第三边）AB-AOPB-PC。例J1 如AC平分 / BAD CEL

18、AR 且/B+/D=180 ,求证：AE=AD+BE求证：/ ADC# B=18G0例I 2如图，在四边形ABCD中，AC平分/ BAD, CE±AB于E,例3已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC A=108, BD平分ABC求证：BC=AB+DC例4如图，已知RtA ABC中，/ ACB=90 , AD是/ CAB的平分线，DMLAB1于 M,且 AM=MB 求证：CD=2 DB【夯实基础】例J ： ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC方法1：作DE_LAB于E，作DF_LAC于F，证明二次全等方法2：辅助线同上，利用面积方法3：倍长中线AD【方法精讲

19、】常用辅助线添加方法一一倍长中线方式1:延长AD到E, 使 DE=AD , 连接BE方式2:间接倍长【经典例题】E彳乍CFJ_AD于F, 作BE1AD的延K线于连接BE延长 MCgiJ N, 使 DN=MD 连接CDN例1 ： A ABC中, AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边DE交BC于F,且例2：已知在 ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DF=EF，求证：BD=CE方法1：过D作DG/ AE交BC于G,证明 DG1A CEF方法2：过E作EG/ AB交BC的延长线于G,证明AEFG”i方法3：过D作DG_L

20、BC于G,过E作EFUBC的延长线于H证明 A BDGAA ECH例3 :已知在a ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC 于 F,求证：AF=EF提示：倍长AD至G,连接BG,证明ABDGACDA三角形BEG是等腰三角形例4 ：已知：如图，在 ABC中，AB AC , D、E在BC上，且DE=EC过D作DF BA 交 AE 于点 F, DF=AC.求证：AE平分BAC提示：方法1:倍长AE至G,连结DG方法2：倍长FE至H，连结CH例 5：已知 CD=AB，/ BDA= / BAD , AE 是A ABD 的 中线，求证：/ C= / BAE提示：倍长A

21、E至F,连结DF证明 A ABEAA FDE( SAS 进而证明 A ADFAA ADC(SAS【融会贯通】1在四边形ABCD中，AB DC, E为BC边的中点，/ BAE= / EAF , AF与DC的延长线相交于点 F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AE、DF交于G证明 AB=GC AF=GF所以 AB=AF+FC2、如图, AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E，DF平分ADC交AC于F.求第14题图证：BECFEF提示：方法1在DA上截取DG=BD，连结EG、FG证明 BDEAA GDE DCFAA DGF 所以 BE=EG、CF=FG 利用三

22、角形两边之和大于第三边方法2：倍长ED至H，连结CH、FH证明 FH=EF、CH=BE利用三角形两边之和大于第三边3、已知：如图， ABC中， C=90 , CM AB于M , AT平分BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE/AB交BC于E,求证：CT=BE.提示：过T作TN_LAB于N证明 A BTNAA ECD1 .如图，AB/ CD AE DE 分另lj平分/ BAD 各 Z ADE 求证：AD=AB+GD2 .如图， ABC中，/ BAC=90 , AB=AC AE是过A的一条直线，且B, C在AE的异侧，BD1 AE 于 D, CELAE 于 E。求证：BD=DE+CE四、由中点想

23、到的辅助线口诀:三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角 形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三 角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形±即如图1，人口是 ABC的中线，贝U Saabd=sace=j Saabc （因为 ABD与 ACD是等底同高的）例1 .如图2, A ABC中，AD是中线，延长AD至（JE,使DE=ADDF是ADCE的中线。已知A ABC的面积为2,求：A CDF的面积。

24、解：因为AD是A ABC的中线，所以saac= Saab=, X 2=1，又因CD是 A AC E的中线，故 Sacd=Saac=1 1因DF是A CDE的中线，所以sacdeSacde=X仁.。（二八由中点应想到利用三角形的中位线例2 如图3,在四边形ABCD中，AB=CD E、F分另（J是BCAD的中点，BACD的延长线分别交EF的延长线G耳求证：/ BGEM CHE证明：连结BD并取BD的中点为M连结ME MF ME是 BCD勺中位线， ME CD / MEFM CHE MF是 ABD的中位线， MF AB / MFEM BGE AB=CD 二 ME=MF / MEFM MFE从而/ B

25、GEM CHE图3（三）、由中线应想到延长中线例3 .图4，已知 ABC中，AB=5 AC=3连BC上的中线AD=2求BC的长。解：延长 AD 至 U E,使 DE=AD 贝 U AE=2AD=£2=4。在 ACD和 EBD中， AD=EDZ ADCM EDB CD=BD ACDAA EBD 二 AC=BE从而 BE=AC=3在 A ABE 中，因 AW+BE=42+32=25=AB，故/ E=90。， BDJr ； J =厂=.，故 BC=2BD=2 j °例4.如图5,已知 ABC中，AD是/BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证： ABC是等腰三角形。证明：延长

26、AD至（E,使DE=AD仿例3可证： BEDAA CAD故 EB=ACZ E=Z2,又/仁/2, 7 仁/ E,AB=EB从而AB=AC即口 A ABC是等腰三角形（四）、直角三角形斜边中线的性质例5.如图6,已知梯形ABCD中，AB/DC, ACJLBC, ADLBD,求证：AC=BD证明：取AB的中点E,连结DE CE贝U DE CE分别为Rt A ABD Rt A ABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB,因此/ CDEM DCE AB/DC , / CDEM 1,/DCEN2,/仁/2 ,在A ADE和A BCE中， vDE=CE/1=Z2, AE=BE-A ADEA BCE二AD=

27、BC从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例6.如图7, A ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90, BD平分/ ABC交AC于点D, CE垂直于BD交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE证明：延长BA CE交于点F,在A BEF和A BEC中，v/ 仁/ 2 , BE=BE / BEF=/ BEC=90 , A BEFAA BEC EF=EC 从而 CF=2CE又/ 1+/ F=/ 3+/ F=90。,故/ 1 = / 3。在 ABDDA ACF 中，I / 仁/ 3, AB=AC / BAD2 CAF=90 , ABDAA AC

28、F 二 BD=CF 二 BD=2CE注：此例中BE是等腰/A BCF的底边CF的中线。（六）中线延长口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形例一：如图4-1 ：BE+CF>ABC的中线，且/ 1 = / 2，/ 3=/4，求证:EF。证明：廷长ED至M使DM=D，连接CM MR在ABDEffiACDM 中，<BD=C （中点定义）“ /仁/5 （对顶角相等）fED=M （辅助线作法） BDEAA CDM （ SAS又 / 仁/ 2 5 / 3=/ 4 （已知）/ 1 + / 2+/ 3+/ 4=180&#

29、176; （平角的定义）即：/ EDF=90/FDM/ EDF=90在A EDFmMDF 中ED=M （辅助线作法）/ EDF/ FDM （已证）"DF=DF （公共边）A EDFAA MDF （ SAS EF=MF （全等三角形对应边相等） 在 CMF中，CF+CM>Mf三角形两边之和大于第三边） BE+CF>EF上题也可加倍FD,证法同上注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全 等三角形，使题中分散的条件集中。例二：如图5-1 :ABC的中线，求证：AB+AC>2AD分析：要证 AB+AC>2AD 由图想至1J ： AB+BD

30、>AD,AC+CD>A®以有 AB+AC+BD+CD>AD+AD=2A左边比要证结论多BD+CD故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去证明：延长AD至E,使DE=AD连接BE,CEABC的中线（已知） BD=C （中线定义）在A ACDfAA EBD 中BD=C （已证）/仁/2 （对顶角相等）AD=ED辅助线作法） ACDAA EBD （ SASBE=CA （全等三角形对应边相等）一在 ABE中有：AB+BE>AE三角形两边之和大于第三边） AB+AO2AD练习：1如图，AB=6 AC=8 D为BC的中

31、点，求AD的取值范围2 如图，AB=CD E 为 BC 的中点，/ BACK BCA 求证：AD=2AEEC3 如图，AB=ACAD=AEM 为 BE 中点，/ BACK DAE=90。求证：AML DC4,已知 ABC AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD5.已知:如图AD为ABQ3勺中线，AE呻求证:BF=ACBDC1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等常见辅助线的作法有以下几种：B D三角形，利用的思

32、维模式是全等变换中的“旋转” 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的 思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理 或逆定理.4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等， 或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明 这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点 的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.（一

33、）、倍长中线（线段）造全等1：（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3贝忡线AD的取值范围是B D C2：如图， ABC中，E、F分别在ABAC上，DEIDF, D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3：如图， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/ BAE.中考应用（09崇文二模）以ABC的两边AB AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰RtACE，BAD CAE 90,连接DE, M N分别是BG DE的中点探究:AM与DE的位置关系及数量关系.（1）如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是?线段AM与DE的数量关系是（2）将图中的等

34、腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转（OvV90）后,如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理山.（二）、截长补短1 .如图，ABC 中，AB=2AC AD 平分 BAG，且 AD=BD 求证：CDLACAD2：如图，AC/ BD, EA,EB 分另tj平分/ CAB,/ DBA CD 过点 E,求证;AB= AC+BD3：如图,已知在VABC内,BAC 60Cc分别在BC CA上，并且AP, BQ分别是BAC , ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4：如图，在四边形ABCD中，BC> BA,AD=CD, BD平分ABC，求证:AC 180。5:如图在 ABC

35、中,ABAC, / 1=Z 2，P为AD上任意一点，求证；AB-AC> PB-PC中考应用（08海淀一模）如图在四边形/中49宗成庄是仍上一个翻点仝筒铁卜处打配的关系井;夬明你的结诳,I.)解:例题讲解:一、利用转化倍角，构造等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形如图中，若/ ABC=2/ C,如果作BD平分/ ABC，则 DBC是等腰三角形；如图中，若/ ABC=2 / C,如果延长线CB到D，使BD二BA，连结AD，则 ADC是等腰 三角形；如图中，若/ B=2/ ACB，如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作/ ACD=Z

36、 ACB，交BA的延长线于点D，则 DBC是等腰三角形1 如图， ABC 中，AB = AC, BD_LAC 交 AC 于 D.求证：/2、如图 , ABC 中，/ ACB = 2/ B, BC = 2AC.求证：/ A = 90、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形如图中，若AD平分/ BAG , AD/ ECJIJA ACE是等腰三角形；如图中,如图S弹分/如图中DE/则/ ADE是等腰三角形;AD平分/， CE AC,则/ ACE是等腰三角形; 啜出，EF AD,则AAGE是等腰三角形，AB,D F3、如图，/ ABC中，A

37、B=AC,在AC上取点P,过点P作EF_LBC,交BA的延长线于点 E,垂足为点F.求证：.AE=AP.4、如图，/ ABC中, 求证：EF / AB.AD 平分/ BAG, E、F 分另在 BD、AD 上，且 DE = CD,B F ,三、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形若AD 平分/ BAG , AD±DC，则 AEC是等腰三角形D图1BD交BF的延长线5、如图 2,已知等腰 RtA ABC 中 , AB= AC,/ BAG = 90 ° BF 平分/ ABC , CD ±E于 D。求证：BF =

38、 2CD.四：其他方法总结1截长补短法6、如图，已知：正方形ABCD中，/ BAC的平分线交BC于E,求证： AB+BE=AC .2倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。7、如图(7) AD是A ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF .求证：AC=BF8、已知 ABC AD是BC边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边各向外作等腰且角三角 形，如图，求证EF=2ADb3 .平行线法(或平移法)若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt ，有时可作出斜边的中线.9、A ABC 中，/ BAC=60。，/ C=400 AP 平分/ BAC 交 BC 于 P, BQ 平分/ ABC 交 AC 于 Q, 求证：AB+BP=BQ+AQ .P说明：本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD ,构造全等三角形，即“截长补短法”.A图本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：如图（1），过。作OD/ BC交AC于D，则 ADO。/ABO来解决.A如图(2),过。作DE/ BC交AB于D，交AC于E,则A ADO ©A AQO , ABO AEO 来解决. 如图（3）,过P作PD/ BQ交AB的延长线于口，则4 APDAPC来解决. 如图（4）,过P作PD / BQ交AC于D，则a A