从Fourier级数到Fourier变换.

1、从Fourier级数到Fourier变换一、级数产生的实际需求：引例：一根单位长的木棍，每日截去一半，现在来看逐日所截下的长度。 如：十日内累计共截下的长度111s10 21 22 23 L一般地，n日内累计共截下的长度1111sn TT T2 73 L Tn2 2 221歹，如此无限地继续下去，累计共截下的长度表示为1 111S2飞LL21 22232n因为这根木棍总也截不完，所以截下来的累计长度就是无穷个数相加的和。 我们无法把无穷个数加起来，时，和数丄虽然 但是按照近代极限的观点，逐日所截下的累计长度就等于当n2的极限，即lim sn lim(1nn对于这类无穷多个数的求和问题，有下面的

2、定义: 定义1设给定一个数列UiU2 U3U1U2U3 LUn L称为无穷级数,简称级数,记作Un，即Un， L，则表达式Unn 1U1 U2 U3Un其中，第n项Un称为级数的一般项 简称数项级数；Un是函数的级数称为函数项级数。或通项。(5.1)Un是常数的级数称为常数项级数，级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位, 这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常 用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如 用幕级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。二、FoUrier级数的特点和性质性质1局部性定理函数f(x)的F

3、ourier级数在x点的收敛和发散情况，只和f(x)在这一点的充分邻近区域的值有关。 性质2可积和绝对可积函数的Fourier系数an ,bn趋向于零，即1lim f (x) cos nxdx 0 , n1lim f (x)sinnxdx 0 on性质3积分* 10nlim1 0.2n 1Sinu(u)2 3 4 5du , c - u 2sin-21、. 2n -)sin u.2n 1sinu(u)¥du的收敛情况相同，即2u这里(u)(- 2sinu 2(u) f(x1-udu 0 o2u) f (x u) 2s o从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。 它能将满

4、足一定条比如近代原子件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里自然界的许多现象都具有周期性或重复性，因此用周期函数来逼近它们就极具意义.例如，心脏的跳动、肺的运动、给我们居室提供动力的电流、电子信号技术中常见的方 波、锯齿形波和三角波以及由空气分子的周期性振动产生的声波等等都属于周期现象，它们的合成与分解都大量用到三角级数三、从Fourier级数到Fourier变换 傅里叶级数针对的是周期函数，傅里叶变换针对的是非周期函数，本质上都是一 种把信号表示成复正选信号的叠加， 都有相似的特性，因为两种傅里叶表示都利 用了复正选信号，这些特性提供了一种透彻了解时域和频域信号

5、表示的特征的方 法。四、Fourier变换的应用众所周知，Fourier级数作为较Taylor级数复杂的一类特殊的函数项级数，是继 Taylor级数之后，形成了在理论上以及在许多应用方面，如在电学、力学、声学、 热力学等物理学及工程技术中，都极为重要的函数项级数，它同Taylor级数一样 是研究函数的一个有力工具。弦振动方程的初边值问题的Fourier方法 考察波动方程的初边值问题：2 2u 2 ut 0: u（X）,0:ul :u2 f(X,t) Xf (X)00利用叠加原理,2()t 0：Ui上述初边值问题可以分解为下面两个初边值问题:2aTXu12u22at2(X), tX 0和 X l

6、 :u1（X）0: u22u2V f(x,t) Xu20 0tl : u20a而且显然有u u1 u2.对于问题（），应用Fourier方法可以得到通解为u(x,t)(Akcos-at Bksiin kk 1lllA2 ' ,、. kAk7 0 ( )sin r d其中丨丨Bk2 ik0 ( )sin d k a 0l这就是用Fourier级数表示的初边值问题（）的解。叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。傅立叶变换属于调和分析的内容。"分析"二字，可以解释为深入的研究。从字面 上来看，"分析"二字，实际就是"

7、条分缕析"而已。它通过对函数的"条分缕析" 来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看， "分析主义"和"还原主义"， 就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。 在数学领域，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具， 但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一 定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合

8、的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！ 奇妙 的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让 人不得不感叹造物的神奇：1.傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；2.傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化 为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质， 从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；4.著名的卷积定理指出：傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算 ， 从而