例谈_平移_对称_旋转_在几何证明中的应用

1、例谈 平移、对称、旋转”在几何证明中的应用655505云南省曲靖市富源县大河镇第一中学秦会龙平移、对称、旋转是初中几何中的三大变换，通过不 同的变换，能把条件相对集中，使图中的各种关系明朗 化，以促进思维方法和解题能力的提高.本文笔者以例题的形式说明平移、对称、旋转在几何证明中的应用，供读者参考.1平移在几何证明中的应用平移能把分散的线段或角相对集中起来，从而使已 知条件集中在一个基本图形中，或且经过平移产生新的 图形,而使问题得以转化.例1七条直线两两相交，所得的角至少有一个角 小于26?.试证明.分析在平面上取一点P,将已知七条直线均平移 过点P,成为交于P点的七条直线，则14个角的和为3

2、60?,不妨设为a 1, a14 ,它们都和某两条直线交角的一个相等.因此，只需证明它们中至少有一个小于 26?.因为a1+ a14 =360?，则必有一个角360?14 26?.原命题得证.例2已知在 ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点，求证:DE / BC,DE=1 21 lUlBC.证明将 ADE沿AB方向平移，得到 DBF,连接FC.? DBFA ADE,?BF=DE,BF / DE,DF=AE,DF / AE .?AE=EC,?DF=EC,DF / EC,?四边形DFCE是平行四边形,?FC=DE,FC/ DE.即过 F 点有 BF/ DE,FC/ DE.?BF和FC在同一条

3、直线上，?点 F 在边 BC 上，且 BF=FC=DE,BC / DE .即 DE/ BC,DE=BC.2对称在几何证明中的应用对称包括轴对称和中心对称，对称变换可以使条件相对集中，也可以构成新的图 形.在图形中有角平分线、等腰三角形、正方形、菱形、中点等时就有了对称变换 的基础，有时需添加辅助线以创造这个条件例3在ABC中,点D是边AB的中点,E和F分别是边AC,BC上的点，求证: DEF的面积不超过 ADE与 BDF的面积之和.分析为把 ADE与 BDF相对集中，利用中点这个条件，采用中心对称的方法把它们相对集中起来 作 ABC关于D为对称中心的对称图形 BAC,延长ED交BC于M,连接M

4、F,即可达到集中的目的.证明作 ABC关于D为对称中心的对称图形 BAC,则 ABCBAC,?/ CBA= / CAB,延长 ED 交 BC于 M,连接 MF,?BD=AD, / MDB= / EDA, / MBD= / EAD,? BMD 尢 AED,?MD=DE,?S MDF=S DFE?S四边形BFDM=S DBM+S DBF MDF=S DFE故 DEF的面积不超过 ADE与 BDF的面积之和.3旋转在几何证明中的应用旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件相对集中诸条件的综合与推演.13解题研究用面积法高效解题225411江苏省泰兴市黄桥初级中学李印用面积法解题是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法.所谓高效解题是走解题的直线距离” 说白了，就是将转化的环节减少一些，少走弯路.高效解题”一方面是对 有效解 题”低效解题”、零效解题”、负效解题”的减少和摈弃 另一方面更是对高效率解 题、高效果解题、高效益解题的理念实践与理想实现.有时我们选用面积法进行问 题转化，能恰到好处地达到这一目的.1利用面积公式与菱形的性质进行转化例1如图1,把矩形OABC放置在直角坐标系中ChinaAll rights reserved- Publishing H 酸碍