傅里叶变换的基本性质.

1、傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常 需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。、线性傅里叶变换是一种线性运算。若/】热（2） 灿）用（2）就（0+奶曲心少）+ &玛（Jtu） （3-55）其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数F（祸。") = %) = - +罰)由式（3-55）得F（肿2 如卜；讥1 + ；从即（幼二A 2叭珂+1X Z2222 ja?二、对

2、称性t3-5e)证明因为了（f）二E宙2祇一。二r F（j珈3為J将上式中变量少换为x，积分结果不变，即再将t用皿代之，上述关系依然成立，即2(0 = fJ-CD最后再将x用t代替，则得 所以 证毕若了是一个偶函数，即/（-4 =几），相应有/（-也）二畑），则式（3-56）F3 T 2別打）成为C3-57)可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置 换的关系，其幅度之比为常数 2咒。式中的-e表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如:F(jf) = 1 2才(曲)=2jze5(cu)例3-7若信号的傅里叶变换为< r /2flj > r <2解

3、 将用U切）中的曲换成t,并考虑为曲的实函数，有心= F(g如*|E20|s| > r/2该信号的傅里叶变换由式（3-54）可知为根据对称性呻0 2祇一闻f (5 = 4(罟)再将jf （-眄中的-田换成t，则得了。）为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。三、折叠性/(订台 F(血的实函数I/G）加虚函数四、尺度变换性jg 3 -0） 5次大于零的丈常敎）C 3-59）& a证明因a0，由 M咖匸皿令，则乂 =加，代入前式，可得Qw二严沁空丄（岸）7a a a证毕函数,（加）表示了沿时间轴压缩（或时间尺度扩展）a倍，而 吃则表示序U）沿频率轴扩展（或频率尺度压缩）a倍。该性质

4、反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。卩 |f| < r/4例3-8已知 1°艸"2，求频谱函数。m）=解前面已讨论了i <r/2耳的频谱函数，且根据尺度变换性，信号/比00）的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半, 因此其频谱函数巩妙气鲨）亡沁中两种信号的波形及频谱函数如图 3-21所示。-rZ 207 2切T團 3-31五、时移性(3-60)此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。”旳创Fr/2*加它表明若在时域/平移时间环，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。E0 < / <

5、 r例3-9求.0 心小的频谱函数巩叭解：根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有列严）=氏场（¥>拖"六、频移性f（/）严*科血年亦 t3-Sl）证明治宀曲卜匚 北沪 叫“匚/©严必二呛（少干吧）证毕频移性说明若信号了乘以£3，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以宀,这就使频谱中的每条谱线都必须平移®0 ,亦即整个频谱相应地搬移了吧 位置。频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等 过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移实现原理是将信号/乘以所谓 载频信号8'吗'或'必4孑，

6、即/©fly 一扌札/（曲+叫）+丙L/g-码J汕/W sb 珂r同丿+£1)-厅/0-0)七、时域微分性企FW 审月（严）（3-02）证明:因为/（0=r占0哦丹册m 氏'一0"=丄P /窗0确N乜a两边对t求导数，得竝2宀所以>砂的)dl证毕解：因为犯）01由时域微分性F(a = O谢同理，可推出 dt例3-10求7（f）=茁®的频谱函数鬥血）。例3-11图3-22所示信号/（f）为三角形函数求其频谱函数巩血）。解：将/微分两次后，得到图3-22（c）所示函数，其表达式为101/'(f)二一占(H + t)-占 G) + -占Q

7、-t)TTT由微分性MGsw恥扣+宀=2COE £Ur 所以T（Jm）立傅里叶变换的基本性质（二）八、频域微分性例 3-12解：因为5）今3彎学d（B求7© =力（f）的频谱函数陀闻。根据频域微分性九、时域积分性（3-63）八）今矶皿）了0妙今聖迪 +讶咖3» 皿(3-64)例3-13根据哄） 1和积分性求/©二D（f）的频谱函数。，根据时域积分性例3-14求图3-23所示信号的频谱函数巩阿。丄小/'co =-巴£十丁/ 2)-厅 - t/2)解：/()对£求两次微分后，得書芯八f) Ip® _JL严皿二；3血(竺)

8、rTT 2由时域积分性/=r sin( )-hjrxO(Qj) = sin() =)/(j)二 f 了'W必VpTco 2roj 22sin(号) +疵/O)占)=JZ迓flj) +-t/2 0r/2l/r1A-t/Z C r/2S3 - 33十、频域积分性111怦亍斯叭)+严注严皿C3-65)/©例3-15已知_ sm(7)丁，求F(J叭解：因为-电sin(/)=丄&尹一g")1) - ?(£p + T> = j疋帛(aj + I) 占-1) 2/2j根据频域积分性G 丄丿圧 00+1） 一 占 b -1）计口®+U 巩由-1）1

9、、时域卷积定理若7! W 0耳（网弭f耳（肿）则心E53证明:月心W 7 ©=r r川讪（f诂严必=JI9一 0齐r如-计'几= J-®久码二也（J阿£少3处二耳0少）片10皿）证毕J0J0'fa例3-16图3-24（a）所示的三角形函数严-I41 - £r0<r> r可看做为两个如图3 24（b）所示门函数 谱函数只“）。卷积。试利用时域卷积定理求其频解:(a)-Til 0r/2/© = 口卫）2川）一 r所以A例3-17 一个信号几）的希伯特变换了是/和恳的卷积，即A11严 fM解:因为2 2兀 S卽(一 =sg

10、nC (D)则对称性jt一-J £gn(由)由时域卷积定理/（f） = /（户一-严妙仙）兀冋 皿11/r-T 0-l/r(b)国 3 -33（1/吟書0(c)傅里叶变换的基本性质（三）十二、频域卷积定理3 ® F耳(少)A W f耳0皿)农2亍纬行&尸咛、适）2C3-075川,）乙（/）尺心2胡耳仃切）例3-18利用频域卷积定理求/© =力©的傅里叶变换巩阿0解:因为由对称性Jt « 2圧石（-曲）=-2-ffS （少所以根据频域卷积定理 和ZU©，有序匕少）=一27才（05）卜 弦巩呦 +丄2您严$ 3）+ S （心）*

11、= JTlS（O?） + 3 3 * （）_£UF（jm）二严片何-（）十三、帕塞瓦尔定理3-SS）/1 （01码（肿）弭W尽g2忙F（3-69）可推广若小）为实函数，则匸肌心丄匚用（何賤（3-70）若皿邓）为实函数，则40川0#川岡=Fj 五）（S-Tl例3-19求匸曲（沁。解：因Q-12&i（剧2m 辿砂由由帕塞瓦尔定理可得血）（咖由=-GJgK2十四、奇偶性若咖沁' =戟町+空，则当/）为实函数时，则R（简=R（£ii）JV（少） = -X（-田）（3-72）片（0）=|戸（丿血=S（a炉 O）=-评（一 G）若y®为实偶函数，即/（ = /

12、（-£），则（3-73）若了®为实奇函数，即了© =-八7，则列丿二承的应珂二0（虚奇函数）（3-74）当几）为虚函数，即几2必时，则F（血=巩-）评二-职（-Q）卫（妙=一丘（一劲X二忍一）（3 巧）傅里叶变换的性质表格性质名称时域频域1.线性码（丿劲+迅（问）2.对称性F32吋（一田）3.折叠性/H）4.尺度变换性y（M）浪丿巴） 口fl5.时移性几±心6.频移性”；（由干珂）7.时域微分卅(购y8.频域微分9.时域积分f /（砧必F （间+询:陀的10.频域积分£-FS必J *11.时域卷积川也嗨（2）12.频域卷积/CM®巧（

13、？眄*旳0呵2陋13.帕塞瓦尔定理周期信号的傅里叶变换周期信号虽然不满足绝对可积的条件，但其傅里叶变换是存在的。由于周期 信号频谱是离散的，所以它的傅里叶变换必然也是离散的， 而且是由一系列冲激 信号组成。下面先讨论几种常见的周期信号的傅里叶变换，然后再讨论一般周期 信号的傅里叶变换。、复指数信号的傅里叶变换对于复指数信号i©二严M gJg(3-765因为1Zr乱0?），由频移性复指数信号是表示一个单位长度的相量以固定的角频率CO0随时间旋转，经傅里叶变换后，其频谱为集中于珂，强度为加 的冲激。这说明信号时间特性的 相移对应于频域中的频率转移。、余弦、正弦信号的傅里叶变换对于余弦信号

14、71 & = cos 阳=£-00 <00其频谱函数毋=曲一町+ 2忒0? +碍） 2=%）十凤£«+吗）&-7 7)对于正弦信号討y _ /a (0 = sin 珂22-ca<ca矶"押呵_2吨+诃(3-7 S)它们的波形及其频谱如图3-25所示。三、单位冲激序列务的傅里叶变换若信号zw为单位冲激序列，即/(f) =(f) = E &£ - kY)（3-7B）3-eoj则其傅里叶级数展开式为对其进行傅里叶变换，并利用线性和频移性得1E0Wf (jflj)=亍工 2拓罠flj并0) =幷G) (3-31)式中

15、4茅。可见，时域周期为T的单位冲激序列，其傅里叶变换也是周期冲激序列，而频域周期为G，冲激强度相等，均为G。周期单位冲激序列波形、傅里叶系数讯与频谱函数Fg如图3-26所示。建）-2T-T0 T2T t0)IpmiL-2Q-nO Q2G » 如何四、一般周期信号的傅里叶变换对于一般周期为T的周期信号了，其指数型傅里叶级数展开式为式中。二茅F冷以心叫对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到与时间艺无关，可得= £ £ 2陌罠£U MR =缶 y抡G) (3-82)JI"TDK"Cl式（3-82）表明，一般周期信号的傅里叶变

16、换（频谱函数）是由无穷多个冲激函数 组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率起。（阳=0±1上2,）处，其强度为相应 傅里叶级数系数讯的2兀倍。可见，周期信号的频谱是离散的。但由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念, 因此周期信号/的傅里叶变换 巩何 不同于傅里叶系数瓦，它不是有限值, 而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范围（即谐频点）取得了无穷大的频谱值。例3-20图3-27（a）表示一周期为了，脉冲宽度为厂，幅度为1的周期性矩 形脉冲信号，记为冷。试求其频谱函数。-7-r/2 0 必 T3怦a上a 3 - 27ii*解 由式(3-26)可知，图3-27(a)所示周期性矩形脉冲信号 代戶

17、恥)的傅 里叶系数为代入式(3-82),二 ©=学 E £贰弩g!丄 2乙10 2 £111( 5=y占®- Q(3-83)可见，周期矩形脉冲信号耳的傅里叶变换由位于=处的冲激函数所组成，其在m =处的强度为图3-27(b)给出了 F =情况下的频谱图 周期信号的频谱周期信号的频谱一个周期信号了，只要满足狄里赫利条件，则可分解为一系列谐波分量之 和。其各次谐波分量可以是正弦函数或余弦函数，也可以是指数函数。不同的周 期信号，其展开式组成情况也不尽相同。 在实际工作中，为了表征不同信号的谐 波组成情况，时常画出周期信号各次谐波的分布图形，这种图形称为信号的

18、频谱， 它是信号频域表示的一种方式。描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱，描述各次谐波相位与频率关系的图形称为相位频谱。根据周期信号展成傅里叶级数的不同形式又分为单 边频谱和双边频谱。1单边频谱若周期信号了的傅里叶级数展开式为式(3-15)，即/（0 = 4 + S0 8筋O + 似）3-21）M-L则对应的振幅频谱&和相位频谱田*称为单边频谱。例3-3求图3-4所示周期矩形信号了的单边频谱图。由/W波形可知，八)为偶函数，其傅里叶系数4(皿1知=亍必=-叫二土曲边二沁也yffl =也+Z佥漠ex =丄+S 2诚COE沁2£-14】_!因此150.106 单边振幅频谱

19、如图3-5所示。0.45:0.32-4r -r/zOr/Z4'、S 4 4)n2Q3Q耘Q6O7G图3 -52双边频谱若周期信号/的傅里叶级数展开式为式(3-17)，即(3-25)B则频谱称为双边频谱。耳! I与总O所描述的振幅频谱以及Ei的相位监血兀-'与曲所描述的相位例3-4画出图3-4所示矩形周期信号/的双边频谱图形。解 由式(3-18)和图3-4可知巧二d兔1 = 0 22F垃= 0 155罠厂dO右斤;斗=0 耳$ =-0.045 片士虚=0.053和严加氏的双边频谱图如图3-6所示。:i 丁絆炸.I ',*'何島*3Q -QO Q 3QA arcta

20、n打-5Q -3Q -Q fi 3Q, 5Q从上例频谱图上可以看出，单边振幅频谱是指& =2网1与正附值的关系，双边振幅频谱是指0"与正负九值的关系。应注意,所以将双边振幅频谱1刁=卜翅围绕纵轴将负用一边对折到摧一边，并将振幅相加，便得到单边振幅&频 谱。当兀为实数，且/各谐波分量的相位为零或±n图形比较简单时，也可将振幅频谱和相位频谱合在一幅图中。比如，例3-4中/W的频谱可用氏与科G3-7所示。关系图形反映，如图0.25-7Q-5Q* :1 i4u-3Q II:：；-5Q 7Q -Q 0 Q ah i ； 3- 73周期信号频谱的特点图3-7反映了周期矩

21、形信号了频谱的一些性质，实际上它也是所有周期信 号频谱的普遍性质，这就是：(1) 离散性。指频谱由频率离散而不连续的谱线组成，这种频谱称为离散频 谱或线谱。C =(2) 谐波性。指各次谐波分量的频率都是基波频率F的整数倍，而且相邻谐波的频率间隔是均匀的，即谱线在频率轴上的位置是 O的整数倍。(3)收敛性。指谱线幅度随ETra而衰减到零。因此这种频谱具有收敛性或衰减性.周期信号的有效频谱宽度在周期信号的频谱分析中，周期矩形脉冲信号的频谱具有典型的意义，得到 广泛的应用。下面以图3-8所示的周期矩形脉冲信号为例，进一步研究其频谱宽 度与脉冲宽度之间的图3-8关系。-T -r/20r/2 T田？ 8

22、图3-8所示信号/的脉冲宽度为丁，脉冲幅度为超，重复周期为T，重复若将了展开为式(3-17)傅里叶级数，则由式(3-18)可得F =丄k聞g =竺E兰兰)(S-26)冲 T T yijT 01在这里瓦为实数。因此一般把振幅频谱和相位频谱合画在一幅图中，如图3-9所示。-7Q-5Q?:*4*-3 -0 0 Q 3Q由此图可以看出:G二空(1)周期矩形脉冲信号的频谱是离散的，两谱线间隔为F。(2)直流分量、基波及各次谐波分量的大小正比于脉幅遐和脉宽T，反比于sm K周期厂，其变化受包络线丁的牵制。2儒忙r 4 4,、2申尺0 = 02 = ±1,12 J£D =(3) 当 書时

23、，谱线的包络线过零点。因此匸 称为零分量频率。(4)周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，它可分解为无限多个频率分量，但其主要能量集中在第一个零分量频率之内。因此通常把丁这段频率范围称为矩形信号的有效频谱宽度或信号的占有频带，记作（3-27；）显然，有效频谱宽度丘只与脉冲宽度丁有关，而且成反比关系。有效频谱宽 度是研究信号与系统频率特性的重要内容， 要使信号通过线性系统不失真，就要 求系统本身所具有的频率特性必须与信号的频宽相适应。对于一般周期信号，同样也可得到离散频谱，也存在零分量频率和信号的占 有频带。周期信号频谱与周期T的关系F面仍以图3-8所示的周期矩形信号为例进行分析。因为所以在脉冲宽度

24、保持不变的情况下，若增大周期则可以看出:(1)Q 二离散谱线的间隔F将变小，即谱线变密。各谱线的幅度将变小，包络线变化缓慢，即振幅收敛速度变慢。由于r不变，故零分量频率位置不变，信号有效频谱宽度亦不变。图3-10给出了脉冲宽度相同而周期厂不同的周期矩形脉冲信号的频谱。由 图可见，这时频谱包络线的零点所在位置不变， 而当周期于增大时，频谱线变密, 即在信号占有频带内谐波分量增多，同时振幅减小。当周期无限增大时，/®变 为非周期信号，相邻谱线间隔趋近于零。相应振幅趋于无穷小量，从而周期信号 的离散频谱过渡到非周期信号的连续频谱，这将在下一节中讨论。7=2r I > I I I I

25、27 -7 d T 27 R 聲AI £72-2jr/r ar = 4r-7aErfT*3G -2Q -Q 0 Q 2Q 3Q* 2;r/rT忧w如果保持周期矩形信号的周期T不变，而改变脉冲宽度,则可知此时谱线2用（B 间隔不变。若减小，则信号频谱中的第一个零分量频率T增大，即信号的频谱宽度增大，同时出现零分量频率的次数减小，相邻两个零分量频率间所含 的谐波分量增大。并且各次谐波的振幅减小，即振幅收敛速度变慢。若增大,则反之。四、周期信号的功率谱周期信号了©的平均功率可定义为在1G电阻上消耗的平均功率，即周期信号了的平均功率可以用式（3-28）在时域进行计算，也可以在频域进

26、行计算。若/的指数型傅里叶级数展开式为则将此式代入式（3-28），并利用瓦的有关性质，可得30-29)2与冲G的关系称为周期信号的功该式称为帕塞瓦尔（Parseval）定理。它表明周期信号的平均功率完全可以在 频域用瓦加以确定。实际上它反映周期信号在时域的平均功率等于频域中的直 流功率分量和各次谐波平均功率分量之和。 率频谱，简称为功率谱。显然，周期信号的功率谱也是离散谱。例3-5试求图3-8所示周期矩形脉冲信号了©在有效频谱宽度内，谐波分量 所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。设解因为巧二25说5作出频谱和功率谱图，如图3-11所示。第一个零分量频率为二亜二4血T所以在信号

27、频谱宽度内，包含一个直流分量和四个谐波分量。1/5*T :-T : ti 32兀16?r 0167r327r + *:t:* 亠48兀 J_> iD1/2:5*叩；-4眈 T :32兀16?r0167r 32yr + *图 3-111 fZ/a丄 *尸=上严阳=02琢周期信号的平均功率为丁5在有效频谱宽度内信号的平均功率为耳=1对+勿对+1对+1球+1时2 £+£曲G”时卑+弗（¥）= 0-閭翊 0.1806=0.9F 0.2从上式可以看出，在所给出的周期矩形脉冲情况下，包含在有效频谱宽度内 的信号平均功率约占整个信号平均功率的 90%非周期信号的频谱非周期

28、信号的频谱函数对于周期信号/，已知它可表示为式中VC：严叫(3-31)耳e竺-冬寸妙Ci /将式(3-31)改写为当信号/ W的周期尸趋于无限大时，由上节讨论可知谱线间隔趋于无穷小,谱线密集成为连续频谱，离散变量变为连续变量，即TTgGT 畑总GT田此时记FU田)=严 耳7'= C4严泓(3-33)用0呦称为频谱密度函数，简称频谱函数，其意义为单位频率上的谐波幅度。巩临为田的复函数，可写作其中I FO少）1代表非周期信号中各频率分量幅值的相对大小，辐角 代阿则代 表相应各频率分量的相位。由于SO = 9溼应可得Sje-2兀所以式（3-30）在严Too时为f（f） = r 巩血严血二丄胡

29、m（3-34）'-0 2 更2応 'f该式表明，一个非周期信号可以看做是无限多个幅度无限小的复指数谐波之和, d迪而其中每一个分量的复数振幅为2唐。、傅里叶变换式（3-33）和式（3-34）是一对很重要的变换式，现重写如下:FO田）=畑-叫（3-35）J/« =二诚泗為2用小前者是由信号的时间函数变换成频率函数,称为傅里叶正变换式，有时记为后者是由信号的频率函数变换为时间函数,称为傅里叶反变换式。有时记为如果上述变换中的自变量不用角频率 少而用频率/，则由于 "2对，可写为<-CDL（3-3S）频谱密度函数FUa）是一复变函数，可以写为片0由）二同a

30、=尺（»+丿産）式中10）|和比成）分别为尺（阿的模和相位，丘（呦和血）分别为巩阿的实 部和虚部。傅里叶反变换式也可写成恥咕O甘如£1>伽）严叫£側叫绷曲血亠罠创畑+J f 圖陀哪口血+阳d>=/. （0+龙C）可见一个非周期信号了也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量，也可 以分解为t的复变函数。若/®是实函数，贝W也）1和&皿）分别是co的偶函数 和奇函数，并且y () = f F(ty)匚0 5血十召(血阳心3-3S)三、傅里叶变换的存在条件前面根据周期信号的傅里叶级数导出了傅里叶变换。而从理论上讲，傅里叶 变换也应满足一定条件

31、才能存在。傅里叶变换存在的必要和充分条件的证明需要 较多的数学基础理论，在此仅对其充分条件加以讨论。如果信号"。满足绝对可积条件，即曲 era (3-39)则其傅里叶变换只伽存在，并满足反变换式。所有能量信号都能满足上述绝对 可积条件。这一条件是傅里叶变换存在充分条件而不是必要条件。一些不满足绝sm at对可积条件的函数也可有傅里叶变换，例如抽样函数；：厂，阶跃函数卩(f)，符 号函数和周期函数等。F面说明为什么式(3-39)成立时，/和巩Jd) 定存在。因为要使巩皿)存在必须满足弘斫匸几)宀必2 式(3-40)中的被积函数 伽F是变量艺的函数，它可正可负。但如果取绝对值再 进行积分

32、，则必有匸/严恥匸/严* =匚艸又,穴Ji ,故匸皿严恥匸口咖£(3-11)由式(3-41)可知，如果几皆：则匸/如ig)必然存在。四、典型信号的频谱函数1单边指数信号单边指数信号X ©的表达式为O 0(3-42)2 <0代入式(3-33)得J金（3-43）幅度频谱为戸心胡"品牛心了，相位频谱为arctaii 一a。可见幅度频谱和相位频谱函数分别是频率也的偶函数和奇函数。单边指数信号/1®波形，幅度谱热伽 和相位谱3（心）如图3-12所示。册）0S 3 - 121/df2偶双边指数信号偶双边指数信号人（°的表达式为加）二戶I-00 <

33、;/ <00 Ct >0（3-44）其频谱函数为巧（购=工宀+1宀叫=（3-45）肉0也）1二故幅度频谱2h爲a品，相位频谱d （少）八。伽波形和幅度频谱肉（皿）1如图3-13所示。奇双边指数信号对于奇双边指数信号上 D O 0(3-46)2>0其频谱函数也伽）=-亡如+f尹严=P故31=2 fl?1Qa +flj血<0in>0其波形和幅度频谱如图3-14所示。f少(D罔 3-154符号函数信号符号函数或正负号函数以'別记，其表示式为/k (£) = sgn(i)= + "1i > 0-1Z<0(3-43)显然，这种信号不满

34、足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。对奇双边指数 信号K(Q=|-T F a>0日七/ >0当0时，有国仲）=沖,故符号函数的频谱函数(3-4S)尸4 0 出)| = E (妙=*其波形和幅度频谱如图3-15所示。单位直流信号对于单位直流信号，其表达式为咒=1 -M <£ <M (3-&0)可见该信号也不满足绝对可积条件，但可利用上述无/f）取极限，可求得其傅里 叶变换。即去（）=叫/1（匸）=叫厂国=qtOqttO（3嗨fs）七怎显然，这表明耳g 为一个冲激强度为2兀，出现在=0的冲激函数，即耳0曲)=2更肉£)(3-51)其波形和频谱如

35、图3-16所示。6单位阶跃信号对于单位阶跃信号 九（£）= 口®，可利用/1（f）求其傅里叶变换，即U « =兀2 to 71W =toffTO0TD故耳饷啷严皿二忸兀訂忸并尹諾莎Inn°_ =冗凤眄利用”仏=+少2，有(3-52)其波形和频谱如图3-17所示。屈3 - 1百S3 - 177单位冲激信号联d)单位冲激信号的时域表示式为死)=|5(必=1耳(g) = WQ) = 1其傅里叶变换式为0-53)1，它均匀分布于整个频率范围。其可见，单位冲激信号的频谱函数是常数 波形和频谱如图3-18所示。A码(7少)(1)08矩形脉冲信号矩形脉冲信号©

36、;的表达式为Ein（ 耳廿印）二允民-泗曲二&匸2其频谱函数并有IDT2CFrOw) =St洱”0U守<0-r/2(>rZ2A砂做）E其波形和频谱如图3-19所示。可以看出，矩形脉冲信号在时域中处于有限g （）范围内，而其频谱却以'2规律变化，分布于无限宽的频率范围内，但其主2疝要能量处于丁范围。所以，通常认为这种信号的占有频带为 曳=加"或巧=1"。表3-2列出 了常用信号的傅里叶变换。表3-2常用信号的傅里叶变换时间函数/傅立叶变换F （阿单边指数信号i（£2 hg o > 0Ig + joj)偶双边指数信号2口 ©

37、cP奇双边指数信号符号函数呂gn(0 = “+1 r > 0-1 t <0直流信号/(f) = 5-00 </ <00单位阶跃信号单位冲激信号1 £>0gg。.<0"（也）+ El炎忙=1几）=矩形脉冲信号E k| <r<2"0|£| r/2邮如2）三角脉冲信号非正弦周期函数展开成傅里叶级数周期信号是定义在（-3词区间，每隔一定时间丁，按相同规律重复变化的信 号。一般表示为f©二代+尬0炖=Q土毗闻（3- 式中，T为该信号的重复周期，其倒数称为该信号的频率，记为或角频率对于非正弦周期函数，根据定理

38、3-1，可以用在区间Gq/d中巧内完备的正交 函数集来表示。下面讨论几种不同形式的表示式。二角函数表示式由上节讨论可知，三角函数集肚畀血用W2在区间皿 +G内为完备正交函数集。根据定理3-1，对于周期为于的一类信号（函数）中任一个信号加）都可以精确地表示为山上购沁的线性组合，即对于代K+T卄9QU/(t) = + 工ccs/tQ 卓 sin席Ct)(3-13)2B_1由式（3-10），得Lj Lj U 2 -72 -72 一丁加sill艸匚滋(3-M)/(f)必式(3-13)称为周期信号了的三角型傅里叶级数展开式。从数学上讲，当周期信 号丁满足狄里赫利条件时才可展开为傅里叶级数。 但在电子、通

39、信、控制等工 程技术中的周期信号一般都能满足这个条件，故以后一般不再特别注明此条件。若将式(3-13)中同频率项加以合并，还可写成另一种形式，即比较式(3-13)和式(3-15)，可看出傅里叶级数中各量之间有如下关系: _JJ_J nr4二J口；十厅A唱二-arctan 叫=4匚"埔2 右E =-A轧口帆4旦勺2式(3-15)称为周期信号了。)的余弦型傅里叶级数展开式。式(3-13)和式(3-15)表明，任何周期信号，只要满足狄里赫利条件，都可以分 解为许多频率成整数倍关系的正(余)弦信号的线性组合。在式(3-13)中，呦是直流成分;听53単Gf称为基波分量，T为基波频率;耳eQ，沁

40、""称n次谐波分量。直流分量的大小，基波分量和各次谐波的 振幅、相位取决于周期信号了的波形。从式(3-14)和式(3-16)可知，各分量的 振幅口”，&和相位是烈G的函数，并有:4,耳是左的偶函数，即乞是总G的奇函数，即例3-2图3-3所示锯齿波，求其三角型傅里叶级数展开式。由图3-3可知，该信号"。在一个周期区间(-n , n内，有周期Z = 2jr由式(3-14)，得务二 00,12)常22b* 二一f f £in =- gf 占= (-1广"一故该信号了。)的三角型傅里叶级数展开式为f (f) = 2(£in Qz- s

41、ill 2Q + sin 3Ck+ -)指数形式因为复指数函数集 严 go,士啓)在区间(2d+门内也是一个完备的T -正交函数集，其中 0 ,因此，根据定理3-1，对于任意周期为r的信号/(j)， 可在区间(如心+T)内表示为9网的线性组合。即(3-17M- «-0蛋马专比八)沖(5)式中氏由式(3-10)可求得为丄式(3-17)称为周期信号的指数型傅里叶级数展开式。由于*"通常为复 数，所以式(3-17)又称为复系数傅里叶级数展开式。同一个周期信号了，既可以展开成式(3-13)所示的三角型傅里叶级数式, 也可以展成式(3-17)所示的指数型傅里叶级数式，所以二者之间必有

42、确定的关 系。因为22(33/总)=+为仙我co3?3 电Sin科Q0代入式(3-13)，得27=y另牛(严+尹=1吃轨严 J 沖2兀圧严£K./S-1Btd所以評血)二¥少"12耳=托2(S-19)2 宓 +兀» =卫二 7一2-在周期信号展开式（3-17）中表示成复频率为3±厲±2°±加的指数函 数之和。虽然由于引用而出现了角频率-mG，但这并不表示实际上存在负频 率，而只是将第n项谐波分量写成了两个指数项而出现的一种数学形式。 事实上, 总网斥M釦必然成对出现，且都振荡在幵上，它们的和给出了一个振荡频率为?5

43、0的时间实函数，即生2加+企汀九.尹4 =如（曲S +啊）周期信号的对称性与傅里叶系数的关系要把已知周期信号了展开为傅里叶级数，如果y（f）为实函数，且它的波形 满足某种对称性，则在其傅里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示 式也变得比较简单。周期信号的对称关系主要有两种：一种是整个周期相对于纵 坐标轴的对称关系，这取决于周期信号是偶函数还是奇函数， 也就是展开式中是 否含有正弦项或余弦项；另一种是整个周期前后的对称关系，这将决定傅里叶级 数展开式中是否含有偶次项或奇次项。下面简单说明函数的对称性与傅里叶系数 的关系。1偶函数若周期信号/波形相对于纵轴是对称的，即满足AO = /（&#

44、163;（3-20）则是偶函数，其傅里叶级数展开式中只含直流分量和余弦分量，即丸=0，（円= 0,12）4严耳务二L j cos胚吐2奇函数若周期信号/波形相对于纵坐标是反对称的，即满足丙)T(£(3-21)此时Hf）称为奇函数，其傅里叶级数展开式中只含有正弦项，即盘04仏瓦二一sin 肚出3奇谐函数若周期信号了波形沿时间轴平移半个周期后与原波形相对于时间轴像对 称，即满足(3-22)则/W称为奇谐函数或半波对称函数。这类函数的傅里叶级数展开式中只含有正 弦和余弦项的奇次谐波分量。4偶谐函数若周期信号了波形沿时间轴平移半个周期后与原波形完全重叠，即满足（3-23）则为偶谐函数或半周期

45、重叠函数，其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦 波的偶次谐波分量。熟悉并掌握了周期信号的奇、偶和奇谐、偶谐等性质后，对于一些波形所包 含的谐波分量常可以作出迅速判断，并使傅里叶级数系数的计算得到一定简化。表3-1给出了周期信号波形的各种对称情况、性质，以及对应的傅里叶系数 an和bn的计算公式。表3-1周期信号的对称性与傅里叶系数的关系函数/性质口 0也*0）偶函数/©=心只有直 流分量 和余弦 项2厂H4严吟0奇函数几）=-川-0只有正 弦项00奇谐函数T/"） = -川£ 士亍）只有奇 次谐波 分量0（n为奇数）4 rni£ /（»FB&l

46、t;nOr）（i（n为奇数）偶谐函数T ZG） = /G±）只有偶 次谐波 分量4 44（n为偶数）（n为偶数）四、傅里叶级数的性质9若Sf" ，则/的傅里叶级数展开式具有以下性质（证明略）:vG（1）/G）=IK 严«九叫）=工回严叫尹nvQ/w = 2：隘门严世0陨vO严q）= 2X>cF即肝fl-HOCd） /©cosQ=迟fl列 + 垃"前口iH-却2(5) f(f) sin a M 工1应 E 网ti-7 马用完备正交函数集表示信号正交矢量在平面空间中，两个矢量正交是指两个矢量相互垂直。如图3-1(a)所示的直1 和是正交的，它

47、们之间的锐夹角为 90°显然，平面空间两个矢量正交的条 件是A| = 0C3-L)这样，可将一个平面中任意矢量 A ,在直角坐标系中分解为两个正交矢量的 集合"曲2甩 (3-2)同理，对一个三维空间中的矢量 A必须用三维的正交矢量集 表示，如图3-1(b)所示。有其中A1,直：，直审相互正交。在三维空间中 宀是一个完备的正交矢量集，而二维正交矢量集则在此情况下是不完备的。依次类推，在n维空间中，只有n个正交矢量A1，直2 ,止3 ,，A.构成 的正交矢量集才是完备的，也就是说，在n维空间中的任 矢量曲，必须用n维正交矢量集来表示，即A二q爲+CA +隔為+【+ 0厶虽然n维

48、矢量空间并不存在于客观世界，但是这种概念有许多应用。例如, n个独立变量的一个线性方程，可看做 n维坐标系中n个分量组成的矢量。正交函数与正交函数集正交矢量分解的概念，可推广应用于信号分析，信号常以时间函数来表示， 故信号的分解，也就是时间函数的分解。仿照矢量正交概念，也可定义函数的正 交。设川勺和/卫）是定义在山血）区间上的两个实变函数（信号），若在山七）区Jtj龍 #2©戲=0©吒）间上有 则称和了,。在&厶）内正交。若血©，从）,.X（0定义在区间（厶上，并且在山上J，内有杯皿加哪:(3-6)则/1在01心）内称为正交函数集，其中i, r=1,2,n

49、; 为一正数。如果(3-?>则称为归一化正交函数集。对于在区间（5上内的复变函数集了准）山）人（切，若满足-nEr=ri则称此复变函数集为正交复变函数集。其中斤®为£©的共轭复变函数。完备的正交函数集如果在正交函数集W（f）/之外，找不到另外一个非零函数与该 函数集（伽 中每一个函数都正交，则称该函数集为完备正交函数集。否则为不 完备正交函数集。对于完备正交函数集，有两个重要定理。定理3-1设航®4©在乩上2）区间内是某一类信号（函数）的完备 正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f（t）都可以精确地表示为厲的线性组合。即/co = Q

50、/i© + % (0 +0+ cmC3-9)式中，G为加权系数，且有(3-10>式(3-9)常称正交展开式，有时也称为欧拉傅里叶公式或广义傅里叶级数，G称为傅里叶级数系数。定理3-2在式(3-9)条件下，有3® dt3 -11式(3-11)可以理解为:的能量等于各个分量的能量之和，即反映能量守恒。定理3-2也称为帕塞瓦尔定理。例3-1 已知余弦函数集cost,cos2t,cosnt(n为整数)(1)证明该函数集在区间(0,2 n内为正交函数集;解:该函数集在区间(0,该函数集在区间(0,(1)因为当i工时2n内是完备正交函数集吗？)内是正交函数集吗？I -广恼沖8曲=

51、丄厂诚S异诚.0'2 i +ri 一广 0rf11備；出仇好£曲£ =卩 Sin 2刑 =戏可见该函数集在区间(0, 2n 内满足式(3-6),故它在区间(0, 2n)内是一个正交函 数集。因为对于非零函数Sint,有当的工L时ofl inZ=0ofi in/ c恥泌亢=0即Sint在区间（0, 2n内与cosnt正交。故函数集cosnt在区间（0, 2n）内不是 完备正交函数集。1 r . 侃 5i 潜.ZTTcosi； COE rtdt = i sin cos -r cos sm 对于任意整数厂，此式并不恒等于零。因此，根据正交函数集的定义，该 函数集cosnt在区间（0，堪吃）内不是正交函数集。由上例可以看到，一个函数集是否正交，与它所在区间有关，在某一区间可 能正交，而在另一区间又可能不正交。另外，在判断函数集正交时，是指函数集 中所有函数应两两正交，不能从一个函数集中的某n个函数相互正交，就判断该 函数集是正交函数集。四、常见的完备正交函数集 三角函数集池垃曲）在区间内，有0 Qt芒沁ff