二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方.

1、第八章二次型这一理论二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题,.本章主要介绍二次在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用 型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题§ 8.1二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出:2 2ax bxy cy dx ey f 0(1.1)要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做：首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消

2、去xy项，通常的坐标变换公式为x x cosy siny x siny cos(1.2)从线性空间与线性变换的角度看，(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换，使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便，只考虑二次齐次多项式.定义8.1.1 设f是数域P上的n元二次齐次多项式：2f(X1,X2,L ,Xn) aux,242X1X2 L2X12a22X22423X2X3 L2a2nX2XnI2L an 1,n 1Xn 1(1.3)22an 1,n xn 1

3、xnann 人称为数域P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R，则称f为实二次型；如果数域P为复数域C，则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即f (X1,X2,L ,Xn) Chxj d2X22 LdnXn2称为标准形式的二次型，简称为标准形.说明：在这个定义中，非平方项系数用2aj主要是为了以后矩阵表示的方便例8.1.2下列多项式都是二次型f(x,y) x2 3xy 3y2f(x, y,z) 2x2 2xy 3xz y2 4yz 罷Z下列多项式都不是二次型f (X, y) x2 3xy 3y2 2x 1f (X, y, z) 2x3 2xy 4yz 3z2 1定义 8.1.

4、3 设 xi,X2,L ,Xn；yi, y2丄,yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式X1Ch%ey?lq/nX2(21%lC2nynl llXnCn2y2lCnnyn的一个(1.4)称为由X1,X2丄,Xn到y1, y2丄,yn线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式0,那么线性替换(1.4)就称为非退化的.在研究二次型时，矩阵是一个有力工具，因此我们先把二次型用矩阵来表示令 aijaji,则有 2ajXiXj aXjajjXjXj,于是(1.3)式可以改写为2f(X1,X2丄,Xn) *11X142为X2 L2 1821X2X1 822X2la1nX1Xna2nX2XnII2Lan1X

5、nX1an2XnX2 La.nX.X1(a11X1 a12X2 LamXn)X2 (*21X1822X2 LLXn(an1X,an2X2 La2nXn)annXn)(X,X2,L ,Xn)(Xi,X2,L，Xn)anX1 a12X2la1nXna21X1a22X2la2nXnlamX,an2X2lannXna11a12La1nX1a21a22la2nX2LLllMan1an2lannXnXia11a21记a 21la12a22lan1an2Lllla1na2nlann则二次型可记为xt Ax,XX2MXn(1.5)其中A是对称矩阵.称(1.5)式为二次型的矩阵形式例 8.1.4 二次型 f (

6、x, y,z) 2x2 2xy 3xz y2 4yz J3z2 的矩阵形式为f (x, y, z) (x,y,z)132X2 y品z说明：任给一个二次型就唯一地确定一个对称矩阵.反之，任给一个对称矩阵可唯一地确定一个二次型.因此，二次型与对称矩阵之间有着一一对应的关系.把对称矩阵 A称为二次型f的矩阵，也把f称为对称矩阵A的二次型.称对称矩阵A的秩为二次型的秩.例8.1.5给定对称矩阵则其对应的二次型为：f (X1,X2, X3, X4) X,24x1x22X36x1X46X2X32x2x4 3x| 4x42作线性替换XCy，其中c11CI2LC1ny021C22LC2ny2C,yLLLLMC

7、n1Cn2LCnnyn对于二次型f xtAx ,f xT Ax (Cy)T A(Cy) yTCT ACyyT(CTAC)yB CTAC，则有 BT (CTAC )T CTAT(CT)T CTAC B ,即 B 是对称矩阵.这对称矩阵B同样定义了一个二次型.于是，线性替换将二次型化为二次型定义8.1.6设A,B是数域P上的n阶方阵，如果有数域P上的n阶可逆矩阵C，使得CtAC B则称矩阵A与B合同，记作A ; B.合同是矩阵之间的一个关系.易知，合同关系具有：(1)反身性：即A与A合同，因为A EtAE ；2(C 1)tbc 1；B c/ AC 1 和.这样，我们就对称性：即若A与B合同，则B与

8、A合同，因为由B CtAC ,即得传递性：即若A与B合同，B与C合同，则A与C合同，C C2TBC2,即得 C C2TBC2 (C1C2)T A(C1C2).说明：经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的 把二次型的变换通过矩阵表示出来 ，为以后的讨论提供了有力的工具 .另外，在二次型变换时，我们总是要求所作的线性替换是非退化的 ， 因为这样我们可以把所得的二次型还原 定理 8.1.7 若 A 与 B 合同,则 rankA rankB .证明：因为A与B合同，所以存在n阶可逆矩阵C ,使得C T AC B由于可逆矩阵乘以矩阵两边不改变矩阵的秩，故rankA rankB .说

9、明：这个定理给我们化二次型为标准形提供了保证这样，若B是对角矩阵，则非退化的线性替换X Cy就把二次型化为了标准形 因此，把二次型化为标准形的问题其实质是：对于对称矩阵A ,寻找可逆矩阵C，使得CtAC B为对角矩阵§8.2 化二次型为标准形现在来讨论用非退化的线性替换化简二次型的问题，即只含有平1 配方法 定理 8.2.1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准形 方项 .证明 ： 对变量的个数 n 作数学归纳法 .2对于 n 1，二次型就是 f （X1）a11X12 ， 显然已经是平方项了 现假定对 n 1元的二次型 ，定理的结论成立 .再设 f （x1，x

10、2，L ，xn ）i1naij XiXj (aijaji )j1分三种情形来讨论 ：aii（i 1,2丄，n）中至少有一个不为零，例如 a110 ， 这时f(X1，X2，L ，Xn) a11X12a11X12a11(x1a11(x1n2a1j X1Xjj2n12a11 a1 j Xj )j2na111a1jXj)2j2na1j X1Xjj2nnaij Xi Xj2j2na111(a1jXj )j2nnbij XiXji2j2ai1 xi x1nnaijXiXji2j2aij XiXjj2n这里i2nbij XiXjj2na11 (a1j Xj )j2i2naijXiXjj2是一个关于X2, X

11、3丄,Xn的二次型令这是一个非退化线性替换 ,它使n由归纳法假定 ， 对i2能使它变成平方和于是非退化线性替换y1x11 a11 a1j xj2y2LLx2Lynxnx1y1a111a1 j yj2x2LLy2Lxnynf (x1,x2,L ,xn)2 a11y1nnbij yi yj2 j 2nbijyiyj 有非退化的线性替换 j2z2c22 y2c23y3Lc2nynz3c32 y2c33y3Lc3nynLLLzncn2 y2cn3y3Lcnnynd2z22 d3z32 L2 nzn就使 f (x1,x2,L ,xn) 变成z1y1z2c22 y2c23 y3Lc2nyLLLzncn2

12、y2cn3y3Lcnnyxn)2 a11z1d2z22d3z3nnf (x1,x2,L ,dnzn即变成平方和了 .根据归纳法原理 ,定理得证 . 所有aii(i 1,2,L , n)都等于零，但是至少有一个 的 0( j2,3丄，n),不失普遍性，设a12 0.令x1z1 z2x2z1 z2x3LLz3Lxnzn它是非退化线性变换 ,且使f (x1,x2,L ,xn) 2a12x1x22a12 ( z12a12 z1z2 )( z1 z2) L22a12z2 L2这时，上式右端是Zi,Z2丄,Z的二次型，且Z1的系数不为零，属于第一种情况，定理成立. aiiai2Lain0,由对称性知 a2

13、ia3i L a.i 0nn根据归纳法假定 ,它能用非退化线这时 f (x1, x2,L ,Xn)SijXjXj 是 n 1 元的二次型,i2j2性替换变成平方和 . 证毕 .例 8.2.2 用配方法化二次型f(x1,x2,x3) x12 2x222x1x22x1x3 6x2x3为标准形 ,并写出所用的非退化线性替换解 : 由定理的证明过程 ,令y1x1 x2 x3x1y1 y2 y3y2x2x2y2y3x3x3y32得: f(x1,x2,x3) y12 y2上式右端除第一项外已不再含y1 , 继续配方 ,令z1z2y1y2 2y3 ,y1y2z1z2 2z3z3y3y3z32得：f (Xi,

14、X2,X3) Zi2 z2所有的非退化线性替换为例8.2.3 用配方法化二次型XiX2X3f (Xi,X2,X3,X4) 2X1X2为标准形，并写出所用的非退化性替换解：由定理的证明过程，令Xi代入原二次型得：f (Xi,X2,X3, X4)这时yi2项不为零，于是f(Xi,X2,X3,X4)(2y122(y12y32y4)2(%11y31 2 尹4)2( y11 “31 2 二 y4)2y222y22于是，f (Xi,X2,X3, X4)Z1 Z2 Z3Z2 2z3Z3X1X3X2X3X42yi22y1y32炖4)1 2 4y31 2741 21y31(y3yiyiy3y42y22¥

15、;3¥4丫3丫4y4)2x1x4 X2X3 X2X4 2x3x4y2y22yiy32yiy42丫3丫42丫3丫42y222 y3y42Z122z222其中Z4的系数为零，故没有写出2y4Z1y11尹3Z2y2Z3y3y4Z4y4212Z3为求非退化线性替换，我们可将第二个替换代入第一个替换中，得XiZiZ22Z3iZX2ZiZ2Z3Z42X3Z3Z4X4Z4说明：在用配方法化二次型为标准形时，必须保证线性替换是非退化的.有时,我们在配方过程中会遇到看似简单的方法，但得到的结果未必正确.如若令则 f(Xi,X2,X3)f (Xi，X2，X3)X2)2(Xi2 2 22x12x2 2x3

16、 2x1x2 2x1x3 2x2x3X3)2(Xi(X2X3)2yiXiy2y3XiX2X3X32 yi2y22y3 .的乘积，即C RPzL Pm EPRL Pm(2.2)然而，所以，此处所作的线性替换是退化的,于是最后的结果并不是所求的2初等变换法由于二次型与对称矩阵对应,所以能用非退化线性替换化标准形的过程也可以用矩阵的方法做到，由§ 8.i我们知道，矩阵合同可以将矩阵化为对角阵.于是，定理8.2.i可以用矩阵的语言描述出来定理8.2.4数域P上任意一个对称矩阵A都合同于一对角矩阵D.即存在可逆矩阵C ,使dictac dd2(2.i)dn现在我们就根据定理8.2.4,讨论用矩

17、阵的初等变换来求定理8.2.4中的可逆矩阵C及对角矩阵D.由前面的知识，我们知道，可逆矩阵C可以表示为有限个初等矩阵Pi, P2,L ,Pm将 (2.2) 式代入 (2.1)式, 得PmT L P2TP1TAP1P2L Pm D(2.3)(2.3)式表明,对对称矩阵 A施行m次初等行变换及相同的m次初等列变换,A就变为这种利用矩阵的初等变换求可逆矩阵了对角矩阵D.而(2.2)式表明对单位矩阵E施行上述的初等列变换,E就变为可逆矩阵C .C及对角矩阵 D,使得A与D合同的方法称为 初等变换法 . 具体做法 : 对以 n 阶对称矩阵A和n阶单位矩阵E做成的2nn 矩阵进行初等变换对A施行初等行变换

18、对2n n矩阵施行相同的初等列变换则 C T AC D .例 8.2.5 已知对称矩阵A1用初等变换法求可逆矩阵C 及对角矩阵D, 使得 A 与 D 合同 .解:r2c2( 1)r1( 1)c1r3c3( 1)r1( 1)c1r3c3( 2)r2( 2)c2所求可逆矩阵C 及对角矩阵D 为:且 C T AC D .例 8.2.6 已知二次型f (x1,x2,x3)2x1x22x1x36x2x3用初等变换法将其化为标准形，并求非退化的线性替换解：二次型对应的矩阵为于是有，r2C2r2C2（尹（扣22121203C30122121203C34”24)C20丄20丄2120故非退化线性替换为X1X2

19、X312丄"20y1y2y3这样，二次型化为2y1222y6y3§ 8.3惯性定理我们知道，二次型与对称矩阵对应，并且对称矩阵可以合同化为对角矩阵.又因为合同不改变矩阵的秩，这样一来，任意一个对称矩阵合同的对角矩阵对角线上不为零的元素的个数是不变的，就是矩阵的秩.因此，在一个二次型的标准形中，系数不为零的项的个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.至于标准形中的系数，就不是唯一确定的比如在例8.2.6中，我们还可以进一步，令Z1 V2y1，z2则二次型化为fzj z22 z32.这说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关F面只就

20、实数域和复数域的情形来进一步讨论唯一性的问题设对称矩阵A的秩为r,则由定理824知，存在可逆矩阵C，使得矩阵A合同于对角矩阵D,即dictac ddr,di 0,i1,2,L ,r即此时原二次型化为2f (X1,X2,L , Xn) d1X1在这些不为零的dj中,假设d10, d2(1)在实数域内，我们令yiyp 12 2d2X2d3X3何X1,y2J dp 1Xp 1, yp 2drXr2(3.1)0,L ,dp 0;d p10,dp 20,L ,dr0 ,这样'd2 X2 ,L,ypJ庙Xp,dp 2Xp 2,L,yr厂d?Xr则(3.1)式变为：f(x,x2,L ,Xn)yj 鸟

21、22 2yp yp 12yp2Lyr2这就是说对称矩阵A合同于下列对角矩阵：,其中有P个1, rP 个 1,n r个0.(2)在复数域内，我们令y1则(3.1)式变为：f (XhX2丄,xn)斬X, y22y1y2辰X2,L ,yr 7d?XrLyr2这就是说对称矩阵 A合同于下列对角矩阵：2定义 8.3.1实二次型的规范形 .定理 8.3.2 (则必有,其中有r个1.在实数域内 , 称 f(x1,x2,L ,xn)2y122y22规范形 ; 在复数域内 , 称 f (x1,x2,L ,xn)惯性定理 ) 设2y122z1f (x1,x2,L y22 L z22 L,xn)2yp22zq2是一

22、个2y2p 12zq2q.证明 : 用反证法 . 设 p q, 由前面知识知 ,2y122z12y222z2Lyp22zq2y2p 12zq 1又设By,xx1y1其中x2M,yy2Mxnyn于是，z C 1By.令1B因为 p q ,齐次线性方程组2y12yp22y22y2p22y2p 2 L yr2 为2yr 为复二次型的n 元实二次型 ,且 f 可化为两个规范形 :y2p 2L2zq22y2p 22zqCz,z2L2Lz1z2Mzn2yr2 ,2zr2yr22zr(3.2)c11c12Lc1nc21c22Lc2nLLLLcn1cn2Lcnnc11y1c12y2Lc1n ync21y1c2

23、2 y2Lc2nynLLLcn1y1cn2y2Lcnn ynz1z2znc11y1c12y2Lc1nyn0c21y1c22 y2Lc2nyn0LLLcq1y1cq2y2Lcqn yn0yP 10LLLyn 0必有非零解(n个未知数,n (P q)个方程式). 令其中一个非零解为y1 a1，y2 a2，L ，yPaP,yP 10,L , yn把这组解代入 (3.2)式中的上式 ， 得到:2 2 2 2y12y22 L yP2y2P 1 Lz2Lzq0，故(3.2)式中的下式为2 2 2 2 2z1z2Lzqzq 1 Lzr但这时 z12yr22a122a222aP22zq2 12zr这样就得出了

24、矛盾 .同理可证 P q 也不可能 .于是 P q.证毕.说明 : 这个定理表明了实二次型的规范形是唯一的定义 8.3.3 在实二次型的规范形f(x1，x2，L ，xn)2y12y22yP22 2 2yP 1 yP 2Lyr中，则称r是该二次型的秩，P是它的正惯性指数,q r P 是 负惯性指数 , sP q 称为f 的 符号差 .推论 8.3.4 两个实二次型合同当且仅当它们有相同的秩和正惯性指数 定理835设f(x1,X2丄,xn)是一个n元复二次型，则f经过适当的非退化线性替换可以 化为规范形 ，且规范形是唯一的 .推论 8.3.6 两个复二次型合同当且仅当它们有相同的秩§8.

25、4 正定二次型在实二次型中 ，正定二次型占有特殊的地位. 所以本节主要介绍实二次型，并讨论它们的正定性 .定义8.4.1设f (Xi,X2,L ,Xn) xTAx是一个n元实二次型,如果对任意n维列向量x 0都有 :(1) f 0，则称 f 为正定二次型 ，并称实对称矩阵 A 为正定矩阵 ;(2) f 0，则称 f 为负定二次型 ，并称实对称矩阵 A 为负定矩阵 ;(3) f 0，则称 f 为半正定二次型 ，并称实对称矩阵 A 为半正定矩阵 ;(4) f 0,则称 f 为半负定二次型 ,并称实对称矩阵 A 为半负定矩阵 ;(5) f 既不满足 (3) ,又不满足 (4) ,则称 f 为不定二次

26、型 ,并称实对称矩阵 A 为不定矩阵 .例 8.4.2 已知 A 和 B 都是 n 阶正定矩阵 , 证明 A B 也是正定矩阵 .证明 :因为a和B都是n阶正定矩阵，所以AA，BTB , 于是(A B)T AT BT A BB 也是对称矩阵 .又任意x 0，有 xTAx 0，xTBx 0，从而xT(A B)x xTAx xTBx 0即xT(A B)x是正定二次型，故a B是正定矩阵.定理843 n元实二次型f(Xi,X2丄，Xn) xtAx正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 n.证明 :设n元实二次型f(Xi,X2丄,xn) xtAx经过非退化线性替换 x Cy化为标准形n2di yi2i

27、1充分性已知 di 0(i 1,2,L , n) ,对于任意 x 0有 y C 1x 0,故n2di yi20i1必要性用反证法假设有某个dt0,当取y t (0丄,1,L ,0)T时，有 X C t 0,此时fxTAxtTCTAC tdt 0这与已知f 为正定二次型矛盾 . 故 di 0(i 1,2,L ,n).证毕.推论 8.4.4实对称矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为正数 .推论 8.4.5实对称矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是A 合同于单位矩阵 E .推论 8.4.6实对称矩阵 A 为正定矩阵的必要条件是 detA 0.证明 : 因为A 为正定矩阵 ,由推论 8

28、.4.5,A 合同于单位矩阵 E , 所以有可逆矩阵 C 使C T EC C TC两边取行列式 ,有detA det(CTC)T2detCTdetC (detC)2 0.所以我们下说明 : 从定义可以看出 ,如果我们根据定义来判断二次型的正定性是比较麻烦的面给出一个方便判断的结论 定义 8.4.7 子式a11ai2Laiia21a22La2i,(i1,2,L ,n)LLLLai1a 2Laiii称为矩阵A (aij)nn的顺序主子式.定理8.4.8 n元实二次型f(x1,X2丄,Xn)xtAx正定的充分必要条件是矩阵的顺序主子式全大于零.n证明：f (X1, X2,L , Xn) XTAxi

29、1naij Xi Xj必要性.已知二次型f是正定的.令fk(Xi,X2,L ,Xk)kaijXiXj(k1,2,L ,n)j 1则对任意的列向量(捲，2丄,Xk)T 0,有fk(Xi,X2,L ,Xk)f(Xi,X2,L ,Xk,0,L ,0)0 (k 1,2,L , n)从而fk(X1,X2,L ,Xk)是k元正定二次型.由上面的推论8.4.6知,充分性.已知1 a11注意到a11a11a12La1ka21a22La2kLLLLak1ak2Lakkk0,(k 1,2,L ,n)k 0(k 1,2,L ,n).对阶数f是正定的.假设论断对n0,将f关于X1配方，得n作数学归纳法1元二次型成立.

30、2.当 n 1 时，f311X1 ,由以下来证n元二次型的情形.(a11X1312 X2a112a1nXn)nbijXiXji 2 j 2其中bijaija1ia1 ja11(i, j 2,3,L ,n)由 aij aji知bij bji.如果能证明n 1兀实次型bjXjXj是正定的，则由定义知f也是正定的.根据行列式性质，得a12Laik从而a11a12La1ka21a22La2kLLLLak1ak2Lakkrikai1 1a11i 2,3,L ,na110Lbk2由归纳假设知nb22Mbk21元实二次型i例8.4.9判断下列二次型的正定性二次型f的矩阵为因为所以f是正定的.b2nMbkk0

31、(kb2kLbkkaii2,3,L ,n)bijXXj是正定的.证毕.2X24X1X28X1X3 4X2X35245 210,32122 14251 5 0, 21 0.例8.4.10 试求t的取值范围，使下列二次型为正定二次型f X12 4x224 x32 3x42解：二次型对应的矩阵为矩阵A的顺序主子式为b2nMbkk2tXiX2 2x1x3 4X2X3；(k 2,3,L , n)1i11 1 0, 21t11 t 4 t2, 3t42t 11244(t 1)(t 2),12(t1)(t2)为了使A正定,必须有：0(i123,4)即有t20，(t 1)(t 2)0解得 2 t 1.最后，我

32、们注意到正、负定二次型的关系，于是有下面的结论.定理8.4.11n元实二次型f（x1，X2，L，Xn） xtAx负定的充分必要条件是下列条件之一成(1)f的负惯性指数为n ；A的特征值全为负数；A合同于 E;A的各阶顺序主子式负正相间，即奇数阶顺序主子式为负数，偶数阶顺序主子式为正数定理8.4.12 n元实二次型f（X1，X2，L，Xn） xtAx半正定的充分必要条件是下列条件之一成(1)f的正惯性指数与秩相等；A的特征值全为非负数；A合同于 Er 0，其中r为矩阵A的秩；0 0存在实矩阵C使得A CTC;A的各阶主子式都非负，其中主子式就是指行指标与列指标相同的子式说明：仅有顺序主子式非负是

33、不能保证半正定性的.如2f(X1,X2)X2(为，X2)0X11 X2就是一个反例.习题八（A）1.证明：秩等于r的对称矩阵等于r个秩为1的对称矩阵之和.2.设i1，i2，L，in是1，2，L，n的一个排列，则下面两个对角阵i2合同。in3. 若可逆矩阵 A 和 B 合同，求证：A 1和 B1 也合同 .4. 用配方法把下列二次型化成标准形4x1x2 2x1x3 2x2x3 ；22x1 2x1x2 2x2 4x2x34x32；x12 x22 2x1x2 4x1x32x2x3 2x2x42x3x4；x1x2 x1x3 x1x4 x2x3x2x4 x3x45. 用初等变换法把下列二次型化为标准形，

34、并求可逆矩阵C.(3)(4)3(x12x12 x1x1x222x22x23x32x2x32x33x322x1x2x1x42x4 ) 2x1x2 2x1x4 2x2x34x1x42x1x34x2x42x2x4 2x3x4 ；2x1x3 2x2x3 ；8x2x3;6x3x46. 设A是一个n阶矩阵，证明（1）a是反对称矩阵当且仅当对于任一个n维向量X，有 XTAX 0 ;2）如果 A 是对称矩阵，且对任一个 n 维向量 X 有 XTAX 0，那么 A 0.7. 如果把实 n 阶矩阵按照合同分类，即两个实 n 阶矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？8. 证明： 一个秩大于 1的实二次型可以分解为两个实系数的一次多项式之积的充分必要条件是它的秩等于 2 且符号差等于零9.设n阶实对称矩阵 A是正定的，P是n阶实可逆矩阵，证明:PT AP 也是正定矩阵 .10.设a是n阶实对称矩阵，证明：a是正定的当且仅当存在n 阶实可逆矩阵 P ，使得A PTP.11. 设 A 是一个正定矩阵，证明：1）对于任意正实数 k ， kA 是正定矩阵；（2）对于任意正整数k ， Ak 是正定矩阵；1*（3）a 是正定矩阵；（4）a的伴随矩阵 A也是正定矩阵.12. 判别下列二次型是否正定：1 ) 5x12 8x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3 ；2