大数定理与中心极限定理典型题解

1、第四章 大数定理与中心极限定理典型题解1. 计算器在进行时，将每个加数舍入，最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布，将1500个数相加，问误差总和的绝对 值超过15的概率是多少?解 设第k个加数的舍入误差为 Xk(k =1,2,1500),已知Xk在(-0.5,0.5)11500上服从均匀分布，故知E(Xk) =0,D(Xk)=丄.记X =送Xk，由中心极限定理,12心当n充分时有近似公式P匸芒0笄<x黑(X)，于是Px a15=1-Px 兰 15=1-P15<X 兰1515-15-0"F叭215=1 -2-1=丹(1.342) =

2、21-0.9099= 0.1802.即误差总和的绝对值超过15的概率近似地为0.1802 .2. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现在从这批木柱 中地取100根，求其中至少有30根短于3m的概率.解 以X记被抽取的100根木柱长度短于3m的根数，则X b(100,0.2).于是由中心极限定理得PX >30 = P30 <X 30100X0.2 ” X100X0.2乂100咒0.2、=P -丈<丁100".2天0.87100.0.87100.0.8不 不30 20不=昨）（一）=1 （2.5）V16= 1-0.9938= 0.0062.3. 将一枚

3、硬币投掷49次，（I ）求至多出现28次正面的概率；（II ）求出现20-25次正面的概率.解 以X表示49次投掷中出现正面的次数，则有 Xb(49,%).(I )由中心极限定理得128 -49x 2 ) =e(1) =0.8413 ； 1 1X X 2 2(II )由中心极限定理得1 12544-20-49咒-19= 0.5557-0.0985 = 0.4572.P20 <X <25Q(4.某厂有同号机器100台，且独立工作，在一段时间内每台正常工作的概 率为0.8 .求正常工作的机器超过85台的概率.解 设匕为100台中正常工作的机器数，则 匕-B(100,0.8)，且np =

4、eE =80,np q =D 匕=16 .由中心极限定理可得所求概率为Kt0 80 t 8085 80P© >85 =1 -P0<85 =1 -P<<444Z(1.25)-(20) =0.1056.5.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重 50kg，标准差5kg .若用最大载重量5t的汽车承运最多可以装多少箱才能保障 不超载的概率大于0.977 .解 设n为每辆车所装的箱数,引(i =1,2,，n)是装运的第i箱的重量，且E翳=50, D會=25 . n箱的总重量£ = % + £2 +片有 Es = 50n, D

5、 s = 25n，由中心极限定理E近似服从正态分布N(50 n,25n).现求使下面不等式成立的n:P5000 = P沖兰 5°° 520)A 0.9775如查正态分布表得1000 -10n2> 2 ，从而n <98.0199，即最大可以装98箱.6.设一大批产品中一级品率为10%，现从中任取500件，这500件中一件 级品的比例与10%之差的绝对值小于2%的概率.解 设£为所取500件中的一级品数，贝U巴-B(500,0.1)且EE=50, DE=45匕-50 f 10 745 745卩二_0.1 c0.02=P|©-5q c10 = P由

6、中心极限定理得厂 - ' 500肚 2(1.49)1=0.8638.7.设一袋味精的重量是随机变量，平均值 100g,标准差2g.求100袋味精的重量超过10.05kg的概率.解 设EjQ =1,2，100)第i袋味精的重量，100袋的总重量而Eq =100,=4，所以所求概率为.0100X100100x100 / 10050 -100x100、P © >10050 =1 P0 < © <10050 =1 P=< =<=*00咒 27x2<10x2止1 -(2.5) -6(500) =1 -0.99379 =0.00621.&am

7、p;一本200页的书，每页上的错误数服从参数为0.1的泊松分布，求该书的错误数大于15个的概率.解 设©为该书的总错误数，则E©=20，=20,于是所求概率为FU0-202015-20屮沖八珂山兰佝八p.右.茹=1(1.12)-(4.47) =0.8686.9 .某射手打靶，得10分，9分，8分，7分，6分的概率分别为0.5,0.3,0.1,0.05,0.05.现射击100次，求总分多于880分的概率.解 设匕为100次射击的总分数，依题意，eE =915, D© =122.75 根据中 心极限定理得昭880十P0兰皿佝十p晋兰津兰注V122.75 V122.75

8、 V122.75刊-(3.16) =0.9992.10. 一生产过程的次品率为12% ,随机地自这一生产过程生产的产品中取出 120只，求次品不多余15只的概率.解 以X记120只产品中的次品数，贝U X B(120,0.12) 所需求的概率为X -120咒 0.1215120 咒 0.12PX 兰 15 = P P兰 J120x0.12x0.88 J120x0.12x0.8850.17） =0.5675.11.某种难度很大的心脏手术成功率为0.9，对100个病人进行这种手术,以X记手术成功的人数.求P84 <X <95.解依题意有不 95100x0.9不 84-100x0.9P8

9、4 <X <95止(/)-(/)J100X0.9X0.1J100X0.9X0.1= 0(1.67)-(一2) =0.9525 +0.9772 -1 = 0.9297.12.在一零件商店中，其结帐柜台替各顾客服务的时间(以分计)是相互独 立的随机变量，均值为1.5，方差为1.求对100位顾客的总服务时间不多余 2 小时的概率.解 以Xi(i =1,2川1,100)记对第i位顾客的服务时间.按题设需求概率为100100送 iXi100x1.5120100x1.5PS Xi <120 = P<5y尿0X17X1止120-1503) = 0.0013.1013.某种电子元件的寿

10、命服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立，随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率.解 设X为100只元件的寿命之和，则E(X)=200, D(X) =400，则所求概率为PX >180） =1 -P0 兰 X 兰 180=1 -=.*J80M0J4007400J400H (1)(10) =0.8413.14.某工厂有200台同类型的机器，每台机的实际工作时间只占全部工作时 间的75%，各台机器是否工作是相互独立的，求一时刻有144至160台机器正在工作的概率.解 设随机变量丫表示任一时刻正在工作的机器的台数，则丫服从二项分布B(200,0.75).所以所求概率为不 160200X0.75不 144 200X0.75P144 <Y 兰 160止（丁二）J200 X 0.75 X 0.25丁200 咒 0.75 咒 0.25= 6（1.63）-（0.98） =0.7849.15.在次品率为丄的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定6理计算抽取的产品中次品书在 4060之间的概率.解 设X为