大一上学期(第一学期)高数期末考试题汇总

1、2+ 22(C) X-1 (D) x + 2.4小题，每小题4分，共16分)已知cosx是f(x)的一个原函数，X则f(x) cosxdx =X大一上学期高数期末考试一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1 设 f ( X)= cos x( X + |sin x|),贝U 在(A) f'(0)=2( B)厂(0)/ (C)(0)=0( D) f(x)不可导.设a(x)=°, P(x)=3 Sgx，则当 XT 1 时()2. 1+x(A) "(X)与卩(X)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B)a(X)与P (X)是等价无穷小；(D)0(X)是比a(X

2、)(C) d(X)是比P(x)高阶的无穷小； 高阶的无穷小.X3. 若F (X八Jo(2t X)f (t)dt，其中f(x)在区间上(-1,1)二阶可导且f'(x)>0，则().(A) 函数F(x)必在x=o处取得极大值；(B) 函数F(x)必在x=0处取得极小值；(C) 函数F(x)在X = 0处没有极值，但点(0, F(0)为曲线八F(x)的 拐点；(D) 函数F(x)在x=0处没有极值，点(0，F(0)也不是曲线y二F(x) 的拐点。14 设 f (X)是连续函数，且f(X)= X + 2 J0 f (t)dt ,贝y f(X)=(A) 2( B)二、填空题(本大题有25.

3、lim (1 + 3x)sin x =XT06.7.lim 巴(cos2 工 + cos2 | + cos2 n 兀)= n Y nnnn2 x2 arcsin x +1f,dx =1/rx8.远.三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 设函数y = y(x)由方程ex+y+sinxy今y (0)十r 1 - x7求f厂dx.x( 1 + X )I xe,X < 0设f (x) = (rv2x - X ,0cx<11g(x) = Jf(xt)dt0x+y9.10.11.确定，求y(X)以及f(x)xli12. 设函数f(x)连续，0，且7数.求g(x)并讨论g(x)在x

4、=o处的连续性.1. y(i)=-13. 求微分方程xy+2y=xlnx满足9的解.且曲线上任 y轴、直线四、解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线 八y(x) (x 2°)，过点(0,1), 一点M(xo，yo)处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、 x =xo所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)x的切线，该切线与曲线y=lnx及xD.15. 过坐标原点作曲线y = ln轴围成平面图形求D绕直线x = e旋转一周所得旋转(1)求D的面积A ; (2)体的体积V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16. 设函数f(x)在b

5、，1】上连续且单调递减，证明对任意的q壬0,1,q1Jf (x) dx>qjf (x) dx00兀f f (X)d X = 017.设函数f(X)在际上连续，且0兀f f ( X)cosX dx = 00.证明：在(0")内至少存在两个不同的点XF (X)= f f (X)dXS，使 f(mf(j)"(提示：设()0 ()解答一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1、D 2、A3、C 4、C5.填空题(本大题有4小题，1 COSX 2 亠.6. 2 X '.7.每小题4分，共16分)兀8.39.解答题(本大题有5小题，每小题 解：方程两边求导8

6、分，共40分)eX"(1 + y') +cos(xy)( xy + y) = 0 e + xcos(xy)X = 0, y = 0 y (0) = -110. 解：u=x7 7x6dx=du1 r (1 -U)1 r 12原式=fdu =_ (_ )du7 u(1 + u) 7 u u +11= 7(ln |u|-2ln |u+1|) +c1 2tln|x7|-ln|1 +x7|+C11. 解：【：f(x)dx=【'dx + rVTdx=Jxd(-)+ J0 Jl -(X-1)2dX=-xe e 二 + Jjcos2 日d&(令x T =sin日) "

7、;2兀3=-2e3 -1412.解：由 f(0) =0，知 g(o)=0。Xxf (x) - J f (u)dug'(x) =02XXJf(u)dug'(0) = lim 2=lim(XHO)f(x) A27 X7 2xXxf (x) - J f (u)du凹 gg =吗X二A A2" 2 , g'(x)在x = o处连续。x1xjjf(u)du(XH 0)g(x) = Jf(xt)dt =-0史异y=lnx13.解：dx x fdx直dxy =e x (Je x Inxdx + C)= -xInx-x + Cx391 1 1 y(1) = ，C =0 y =

8、 -xlnx x939四、解答题（本大题10分）X14.解：由已知且八2Joydx + y，将此方程关于x求导得y、2y + y'特征方程：r2-r-2=0解出特征根：r-1,X2 X其通解为y二C1e +C2e代入初始条件y（o）=y'（o）=1，得2 一 y = e故所求曲线方程为：y 34e心，C22x1=3五、解答题（本大题10分）15.解：（1）根据题意，先设切点为（xo，lnxo），切线方程：1y-In Xo =（X -Xo）xo1 y = - X 由于切线过原点，解出xo=e,从而切线方程为：e1y1A = J(e -ey)dy=-e-1则平面图形面积 02Vp

9、= 1兀 e2（2）三角形绕直线X = e 一周所得圆锥体体积记为 V1，则3曲线yinx与X轴及直线X = e所围成的图形绕直线X = e 一周所得 旋转体体积为V21V2 = J;i（e-ey）2dy0D 绕直线X兀2V =V1 -V2 = (5e2 -12e + 3)6(本大题有2小题，每小题4分，共12分)q1qq1J f(X)dXq J f(x)dx= Jf (x) d xq( Jf (x) d x + J f (x)dx)000六、证明题e旋转一周所得旋转体的体积16.证明：q=(1 -q) J f(X)d X -q J f (x)dx0q50, qgEq,1=q(1 -q) f(©i) -q(1-q) f (鑰)故有：q1J f (x) d X U f (x) dx00f 此）3f（3）> 017,证：构造辅助函数: 连续，在（0,引上可导。兀证毕。xF(x)= f f (t)dt ,0<x< 兀0。其满足在0,刃上F'(x)= f(x)，且 F(0)=F(兀)=0兀兀兀0 = J f (x)cosxdx = JcosxdF (x) = F ( x)cosx| + f sinx F (x)dx 由题设，有 000 0，兀fF (x)sinx