双曲线性质周末作业

1、双曲线性质周末作业一、选择题X2y2、1. 以椭圆 + =1的焦点为焦点，25922XyA. =1612、X22. 已知双曲线2a离心率 e=2的双曲线方程是（2£=114X2B.62y =1厂1)B.直角三角形2 2X y C. =14142 22X JD. - =1412和椭圆y-=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以 m ba、 b、m为边的三角形是（A.锐角三角形3. 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于实半轴长，则其离心率是A.2B.血C. 432¥牙1（0 a b）的半焦距为c，则双曲线的离心率为（4C.钝角三角形D.等腰三角形（

2、D. 3X24.设双曲线一2a直线I的距离为A. 0.5B. 1.52 25.设P是双曲线笃1=1 a29线的左、右焦点，|P F1|=3,A.1 或 5B.6C.26.焦点为（0, 6），且与双曲线c,直线 l 过（a，0）、（ 0，b）两点，已知原点到D.4上一点,双曲线的一条渐近线方程为3X- 2y=0,F1、F2分别是双曲2A .127.与曲线2y162y242X242X92 y49&若2B .丄121共焦点,0 k a，双曲线相同的虚轴9已知双曲线方程为共有（）A. 4条10.已知双曲线C:足上述条件的直线A.1条11.过双曲线12.过双曲线相交于B、则|PF2|等于(C.7

3、2X22X24而与曲线)D.91有相同的渐近线的双曲线方程是（2 2C . L X_ 124122X362 2D.乞丄124122X16X22y-192y2 2 a k b k相同的实轴2y_4B . 3条2x2=1，4l共有(B.2条21，过P过点X2 =1的右焦点22642y91共渐近线的双曲线方程为2X- 11621与双曲线筈aC.相同的渐近线C.2 y b2(1，(1,C.3条F作直线lB . 2条笃1的左顶点b2C,且|AB|=|BC|,则双曲线M:X20）的直线1）作直线交双曲线于A作斜率为1M的离心率是2J 1161有（D.相同的焦点l与双曲线只有一个公共点，则I的条数I，使I与

4、C有且只有一个公共点，则满D.4条A, B两点，若|AB|=4，则这样的直线l的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别第1页（共7页）B. 75第4页(共7页)二、填空题13.经过点M(10,2x14.对于椭圆一1681-),渐近线方程为y=±-x的双曲线方程为332 2 2 士 1和双曲线Z 1有下列命题：979椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点椭圆与双曲线有两个顶点相同双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点：双曲线与椭圆共焦点；其中正确命题的序号是 .15.已知双曲线C: 2x2 y2=2与点P(1 , 2),过P(1 , 2)点的直线I与C有一个交点，贝y I的斜率 k的取值为.16.已知双曲

5、线点，则直线三、解答题17.求一条渐近线方程是2x2 = 1,过P(2, 1)点作一直线交双曲线于 A、B两点，并使P为AB的中3AB的斜率为.3x+4y=0 , 个焦点是(4, 0)的双曲线标准方程， 并求此双曲线的离心率.2 218.求以椭圆 +=164165的顶点为焦点，且一条渐近线的倾斜角为石的双曲线方程.19.双曲线X2 y2 a2|PO |、|P F2|成等比数列a 0的两个焦点分别为 F1, F2, P为双曲线上任意一点，求证：p F1|、(O为坐标原点).20.已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1,0)，点P、Q在双曲线的右支上，点M(m,0)到直线AP的距离为1.(1) 若

6、直线AP的斜率为k，且|k| V3,J3,求实数m的取值范围;3(2) 当m=72+1时， APQ的内心恰好是点 M，求此双曲线的方程.2X2- y2=2 与点 P (1, 2)I的斜率取值范围，使I与C分别有一个交点，两Cl21. 已知双曲线C:(1)求过P(1，2)点的直线 个交占 没有交占I 丿7八、5ri 丿7八、 若Q(1 , 1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.222. 已知双曲线x2-孔=1,过点A(2,1)的直线I与已知双曲线交于P1、P2两点.，求线段P1P2的2中点P的轨迹方程；2223.求与双曲线161有公共焦点，且过点（3湮,2 ）的双曲线方程.42 224.双曲线 与

7、=1（b N*）的两个焦点为Fi、F2, P为双曲线上一点，|OP|<5,4 b|PF2|成等差数列，求此双曲线方程.25.如图，某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路 PA或PB送到庄稼地 ABCD中去，已知 PA=100 m，PB=150 m，/ APB=60。.能否在田地 ABCD中确定 一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA送肥较近；而另一侧的点，沿道路PFi|、|FiF2|、BPB送肥较近？如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程.第4页（共7页）22DBBCCBADBDCA13., x2-9y2=36，即 - ±=1.36417.解析:设双曲线方程为

8、：线方程化为：2 11 1916参考答案14.9x21616y248215. ±2 , ?2,双曲线有一个焦点为 ,双曲线方程为：上二16. 6(4, 0),22- 1144252569162518.分析：已知渐近线方程为bx±3y=0,中心在原点，求双曲线的方程.可设双曲线方程为a2y2=入(入#根据其他条件，确定入的正负.解:椭圆的顶点坐标为(±,0)、(0, ±). 双曲线渐近线方程为x22则可设双曲线方程为 x2- 3y2=k(kM 0)即-Z=1.k k3x±.你 y=0,x248若以(±,O)为焦点，则k+ - =64,得

9、k=48,双曲线方程为3若以(0, ±)为焦点，则一k - k=16，得k= - 12,双曲线方程为319.解设 P x, y则|P Fj72 (xa2|P F1 IPF2I 2(x2 才 |PF1|、|PO|、|P F2I 成等比数列.20.解析:(1)的距离为1,mk k| 1,f 1 m沁m 1 23''2x2a2x2 (x2詡，a2) x2由条件得直线T"痊13(2)可设双曲线方程为 x22y_b2APQ0,416"5双曲b2x2 -2-工=1 ；162y4PF 22-=1.12屁")J2I PO|AP的方程因为点M到直线AP工m

10、Iky2 I PO|2J1古,1(b 0)，由 m(72 1,0), a(1,o).得I AM I V2.又因为M是是APQ的角平分线，且 M到AQ、一象限)，直线PQ的方程为x 22牛 1(b 0)得 b2b2(2 V2,1 V'2)，将其代入 x2的内心，M到AP的距离为1,PQ的距离均为1,因此，kAP迈，直线 AP的方程为y x 1，所以解得点42 19,所求双曲线的方程为 x2V23所以 MAP 45 ,直线AM1，kAQ 1，(不妨设A在第P的坐标为J232TTV 1，即 x2 (272 1)y2 1.21.解：(1)当直线I的斜率不存在时，I的方程为 设直线I的方程为y-

11、2=k(x- 1),代入C的方程，并整理得*()x=1,与曲线C有一个交点.当I的斜率存在时,(2 - k2)x2+2(k2- 2k)x k2+4k- 6=0(i )当2-k2=0,即k=±V|时，方程(*)有一个根，I与C有一个交点(ii)当 2-k2M (即 kM±'2 时Y : 2(k2- 2k): 2-4(2 - k2)( - k2+4k- 6)=16(3 - 2k)3 当20,即3-时，方程(*)有一个实根，I与C有一个交点.Q Q 当>0,即k< 3,又k工 ±9 ，故当kv- aiQ或-血< k<或血< k<

12、; 时，方程(*)有两不22等实根，I与C有两个交点.第7页(共7页)3当< 0，即k>_时，方程(*)无解，I与C无交点.3综上知：当k=±72,或k=_，或k不存在时，I与C只有一个交点;2当禺< k <2，或一J2 < k< J2，或k< 孑2时，I与C有两个父点;3当k > 3时，2假设以Q为中点的弦存在，设为 AB,且A(X1,y1),B(X2,y2),则2x12 y12=2,2x22 y22=2两式相减 得：2(X1 X2)(X1+X2)=(y1 y2)(yi+y2)l与C没有交点.又 T X1+x2=2,y1+y2=2，-

13、 2(x1 X2)=y1 y1, 即 kAB= =2X1 X2但渐近线斜率为±72,结合图形知直线 AB与C无交点，所以假设不正确，即以 存在.Q为中点的弦不222. (1)解法一：设点P1、P2的坐标分别为(X1, y1)、(X2,y2),中点P的坐标为(x,y),则有X12=1,X222y2亍=1,两式相减，得 2(x1+X2)(x1 X2)=(y1+y2)(y1 y2).得空=y1y2y 又由P1、P2、P、A四点共线，得乂=眨X 2X1 X2当 xix2,y0时, 由 xi+X2=2x,yi+y2=2y,X1X2由得 空=_ ,即2X2 y2 4x+y=0.y X 2当X1=

14、x2时，x=2,y=0满足此方程，故中点 P的轨迹方程是 解法二：设点P1、P2、中点P的坐标分别为(X1,y1)、(X2,y2)、2x2 y2 4x+y=0.(x,y),直线I的方程为y=k(x 2)+1,将I方程代入双曲线X2丄=1中，2 2k(2k 1)3 2k22k2 2k(2k 1) ny,2(2k 1) ikv.得(2 k2)x2+2k(2k 1)x+2k2 3=0,则4(2k 1)y1+y2=k(X1+X2)+24k=-k.于是Xi +X2=k2X1 X22y1 y22第9页(共7页)2x2 y2 4x+y=0.P的轨迹方程为I 存在，Q1、Q2 的坐标分别为(X3,y3)、(X

15、4,y4), 同 (1)得 2(X3+X4)(X3 Oy当yMO时，由得k=仝.将其代入，整理得 y为(2, 0)仍满足此方程，故中点 (2)解:假设满足题设条件的直线 X4)=(y3+y4)(y3 y4).2x2 y2 4x+y=0.当I倾斜角为90°时，P点坐标T X3+x4=2,y3+y4=2, y3y4X3X42=2(X3孜4),点分别是A、B ;双曲线C2 :a2古1的一条渐近线方程为 3x 5y=0. 即I'的斜率为y方程组X22.2xy22 I'的直线方程为 y 1=2(x 1)，即y=2x 1.1,无解，与假设矛盾，1满足条件的直线I不存在.17.【解

16、析】法一:2设双曲线方程为青a2爸=1.由题意易求c 2亦，又双曲线过点(32,2 ), b2 (3血 224 1.又 a2 +b2 = (25)2 ,a2 b2-a2=12 , b2=8.故所求双曲线的方程为2y- 1.第7页（共7页）2yVk2法二：设双曲线方程为 2y- 1.816 k将点（32,2 ）代入得k =4，所以双曲线方程为 18. 解: V |PF1|、IF1F2I、IPF2成等差数列， I PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4c. 又 |PF1| |P F2|=2a=4,I PF1|=2c+2,| PF2|=2c 2.根据中线定理有 |P F1|2+| PF2|2=2(| PO|2+|F1O|2)<2(52+c2), (2c+2)2+(2c 2)2<2(52+c2). 8c2+8<50+2c2. c2<