工程力学第8章梁的弯曲应力与强度计算.

1、工程力学8.4提高弯曲强度的措施衆的考曲应力与径度计算8梁的弯曲应力与强度计算8.1梁弯曲时横截面上的正应力8.2弯曲正应力的强度条件梁的剪应力及其强度条件rXFI 川 IjUra-8梁的弯曲应力与强度计算jf 8梁的弯曲应力与强度计算m n ajUr8.1橫截面上有弯矩又有剪力例如：AC和DB段.Fa8.1.1称为横力弯曲（W切弯曲）.横截面上有弯矩没有剪力例如5 ra段。称为纯弯曲.称为纯弯曲.8.1纯弯曲时横截面上的正应力单向受力假设，各纵向纤维之间相互不挤压鲨nt n实验观察变形纵向线（de ”n变为弧线，凹侧 缩短，凸侧伸长橫向线帥皿M/0 :仍保持为直线, 发生了相对转动.仍与弧线

2、垂直.平面假设梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面且与变 形后的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。梁的弯曲应力与强度计算哉面对称紬r 8.1设想梁由平行于釉线的众 务纵向纤维组成，由底部纤维 的伸长连续地逐渐变为顶部纤 维的编短，中间必定有一层纤 维的长度不变.中性层：中间既不伸长也 不缩短的-层纤维.中性轴：中性层与第的横«面的交线，垂直于梁的纵向对称 面.（横截面绕中性轴转动）中性釉垂直于纵向对称面*/8.1变形几何关系：设横«面的对称轴为y轴，向下为 正，中性轴为Z轴（位置未定）.dxV（0 一坨-L方（Q+y）d0= dv = OO = <90 =

3、pilO” _（P+ y）d一/>dO _ y£ = -= *pd0p式a）表明线应变£与它到中性层的距 离成正比-(o)8梁的弯曲应力与强度计算&1皮力8.1皮力M = J Zb dblMy =J wrdA厲=卜必=0<c)My = JmcLA =0M. = J y(T(14 = M<e)rF f三=常*. -I JCU = O p从梁的轴线在中性层内，其长度不变.“(p+y)d0-Qd Spd(9p物理关系=因为纵向纤维之间无正应力，每纤维都是单向拉伸或压缩。当应力小于比例极限时，由胡克定律知rr = Es将(4)代入上式，得、<t =

4、£ ib)P式G)表明横«面上任意一点的正应力GT与该点到中性紬的距离y 成正比。在中性轴上：V = 0.(7 =0.将式fT=£-代入式3),Pf fTil4 = f -<14 = 0 JztJA pnS.=() n 轴(中性轴)通 过«面形心Vb = E丄(b)P将式代入式3），得E£zcr M £ >' 2 dA = 0 V轴为对称轴.必然有人；=（） 将式G）代入式（圧几 得M = 、Q tt4 = f VA-piA'式中1%为梁弯曲后轴线的曲率。 EL称为梁的弯曲刚度.My = J dA = 0

5、他 mJ yerdL4 = M£<1A n Af = f P '=0(d)（0）（自然满足）1 M M p El Uiidiri出& 1 lr«4f4kA人盘皮力I - M由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式！ M V<7工cr=£(b)将弯矩M和坐标y按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力.1点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定 以中性层为界，梁在凸岀的一侧受拉，凹入的一侧受压。只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内.上面的 公式就可适用.8.1.2横力弯曲时橫截面上的正应力&

6、; 1止的耳血力在工程实际中般都是横力弯曲，此时，梁的横«面上不但有正应力还有剪应力.因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大/足以满足工程中的«度要求且梁的跨高比加越大，其误差越小.& 1止的耳金力已知仕liTb f/=6kN/iru 10号槽求最大fe应力和压应力CD作弯矩图Mt = *"2 = 3(KX) N. m(2)由型钢表査得，10号槽钢/二=256cm' b48cm y, =L52cm(3)求最大应力

7、 (3O0(NnO(l52xlLm)-阴25.6xiam"=g = (3()()b5*4,iaX0%L 3屮 MR引用记号則hf2 6-十泌护=?（皿D/2横力弯曲时，弯矩随截面位变化 一般悄况下最大正应 力7唤发生在弯矩大的截面上，且离中性轴S远处即max IK = H：称为弯曲截面模*它与面的几何形状有关，单位为m对于宽为b,高为力的矩形楡面/. bh'八 2 hh'W.=> 一 'dux对于直径为D的圆形截面；.厂/64 Q'8D/232对于内外径分别为D的空心圆截面8.2上;Id：壯盘儡I瓠邊俱韵如果梁的最大工作应力，不超过材料的许用弯曲

8、应力，梁就是安全的.因此，梁弯曲时的正应力强度条件为对于抗拉和抗压强度相等的材料（如炭钢），只要绝对值最大的正应力不超过许用弯曲应力即可.对于抗拉和抗压不等的材料（如铸铁），则最大的拉应力和最 大的压应力分别不超过各自的许用弯曲应力。8.2由匕聶翻JI融監3厂| 耐 It 彩 MSTfiThlMiRfl2 |F2m例：2仙工字钢梁.若b卜IfiOMPa.试求许可荷载厅解：（1）计算支反力No20gNNrn ；j如 N-ni（2）作弯矩图M Z = Fit = - N 11）E,3C3）确定许可荷載J = " S同E" W.3叱 I Izr-lV Ja = -(237xlO-

9、XI60xlO")N = 56.9kN2 2_18.2f 耐 WMBT炖 M例：-矩形«面木热 己初FTOkN, "1,2 nu木材的许用应力 (rT = 10MPa.设梁横截面的高宽比为h/h=2.试选梁的«面尺寸。解；1计算支反力 行=/；,=2.:5P = 25kN2.作弯矩fflM =F«=l3tNm-inm3 .选择截面尺寸F 丿！" R IBftAH截面最危险.该截面bir b2h'2b'= 6 6| 8梁的弯曲应力与强度计算8.2MIran=帀=I3<Z mMZ-竺1.昨卅0:6 6强度条件如竺=，

10、咯叩- <刖W. 2/3一1所以1=0.1216 m = l2L6niiiih = 243 mm最后选用125 X 250mm-的截面I5；1A： T字形截面铸铁架如图.传铁许用拉应力J=3OMPa,许用压 应力aJ=l60MPa.已知中性轴位置y, = 52 inm, 的惯性矩为/产763cm“试校核梁的强度。8.2截面对形心轴z£T ：o4ft 山 AHWI JKlbj右匕拥I腸8瓠般mIf25kNrn4kNmX解：1.计算支反力E=25kN/ = IO.5kN2.绘弯矩图仏 XkN mMc = 2$5kN 迎1soff20M=4kNm3.强度校核曲面；,巧“ = =(gN

11、工£2¥(r m) =273mpu *"cjnu/.763xicr*m叫_(4xlOZm斶xlO讪“问心763xlLn?(裁面：、Mf” (25xiO'Nm)(88xlOm)“ “仆 r if =-763“OF=28.8隔故该梁满足强度*件。<|*?nI丄;删晶I最黑監38.3 转©AAtt友什8.3.1梁的弯曲剪应力1矩形«面梁的弯曲剪应力关于横«面上剪应力的分布规律，作以下两个假设：<1)横截面上各点的剪应力的方 向都平行于剪力尸前(2)剪应力沿面宽度均匀分布.在截面高度h大于宽度b的情况下，以上述假设为基础得

12、到 的解，与精确解相比有足够的准确度.订:;二打人S：r= .f.b力/2-V+28.3 转©AAtt友什* % f «2匚S；珂迸b(屮,)24- J矩形面梁的弯曲剪应力沿截面高度按拋物线规律变化.nny-±£,即横截面上、下边缘各点处：r = ()r丄空_3Fs“皿2肺 2 AJ=0.即中性轴上各点处:B8梁的弯曲应力与强度计算2.工字形面梁的弯曲剪应力腹板上的剪应力2;8.3 »的*血QA農ftil齐伴a0二8梁的弯曲应力与强度计算r =b(rr_y8.3 »的*血总人農ftil齐伴齐帥")+雪'y s= 0

13、和 V = ±2心畋8 8Ouk/7/ bE fBH， MrLh 8& -I 计算结果表明，7, (0.95-0.97)7腹板内的剪应力近似计算公式r =Ml8梁的弯曲应力与强度计算3圆形截面梁的弯曲剪应力横截面上弯曲剪应力分布的假设(1) ah弦上各点的剪应力都汇交于D点;(2)山力弦上各点剪应力的垂直分量5为常fi为肋弦的长度;S为ab弦以上的面积对中性轴2的静矩.8梁的弯曲应力与强度计算8.38.3真ft友条伴"2何孑 sW(F-月34在处，即中性«上各点处:4伦4Er = 7=- =ifnn V m«nX3刃f3A;r(T)5丄;Id：壯

14、昭翊I晶甌俱監38.3 佥力人Aft皮齐什8.3 佥力人Aft皮齐什I上;Id；壯舰I蹈I瓠邊俱4.薄壁圆环形截面梁的弯曲剪应力因为薄a圆环的壁厚f远小于平均半径R.故可以认为剪应力 r沿壁厚均匀分布，方向与圆周相切.最大剪应力仍发生在中性紬上.其值为r =竺g lbS： = (/?+-f«2/?7 3232/_=£(/? +' 42832梁的剪应力强度条件F $ z 一 "般情况，在剪力为大值的截面的中性轴上，出现大剪 应力弯曲剪应力的强度条件 r细长梁的控制因素通常是弯曲正应力。满足弯曲正应力强度条件的梁，一般都能满足剪应力的强度 条件。“行剪应力强度

15、校核必须进行剪应力的强度校核的情况;8.3(1)梁的跨度较短或在支座附近作用较大的载荷：以致梁的弯矩较小.而剪力很大.(2)焊接或接的丄字梁如果腹板较薄而面高度很大.以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值这时.对腹板应进(3)经焊接、钾接或胶合而成的组合梁，一般需对焊缝.柳钉或胶合面进行剪应力强度校核.8.3例：已知，A=5XkN, n=().I5m. /=im,试选择工字钢的型号.(1计算支反力作剪力图和弯矩图I 坨kfI50kN选择工字钢型号h，、M和,7.5x|O'N mr冲C TT-(2)IIIIIIIII 1 |!|III II nil TU¥， 丄¥A*

16、(3)%= 46,9x IO"n? = 46.9cm'8.3真什 ggsoBia瓠血出强 严耐ItT回ST如2却査型钢表，选用W号工字钢，其490cm/.:$： = 839;m M = 45min50x103(4)校核剪应力强度r =»二 八1293MPa> |r3 A" (8.59xIOnH4.5xIO'm)'必须重新选择更大的截面.现以12.6号工字钢进疔试算./ s' = I Q8cm %d =5.Omni_"鲁r隔瓷)需小严Ek因此,要同时满足正应力和剪应力强度条件，应选12.6号工字 JBir例；梁由3根木

17、条胶合而成。”卜IMPd, b卜lOMRu b订=034MPac XIm丁了 O.Sm JF*梁的弯曲应力与强度计算8.3真什解：(1)计算支反力旦o d o©试求许可荷«F_!£JNJI'JIIILI'2F(2)作剪力图和弯矩图-W1/ 1 Mlm i39FFI 佗 Lm = T W, = yx(lm)(3)确定许可荷載尸83 矗“直 Q m “什由弯曲正应力强度条件%如=巴畑1W 3W I 丿F V 3Wjb 3(/加 /6)同 JOlm)(O15m)2(1(bd(rPm _付 "IniIm2x(lm)由弯曲剪应力强度条件E rh =

18、(lxicr p3)(0m)()l5m) =l5.0kN由胶合面上剪应力强度条件jUSSSSElB8.3皮什25；(°讪°5)(o m)(o.w"Pa) 122 X (0 J m )(0-05m )(0.0 5m)= 574kN综上所述，胶合梁的许可荷载为F = 5.74kN上8.4按强度条件设计梁时，主要是根据梁的弯曲正应力强度条件由上式可见，要提高梁的弯曲强度，即降低«大正应力，可以从两个方面来考虔，一是合理安排梁的受力情况，以降低大弯矩的数值；二是采用合理的面形状以提高弯曲面系数W的数值.I «iriiriri'"rff

19、r.ViiVF«fl8.4&4.1合理安»梁的受力«况合理安持作用在梁上的荷可以降低梁的最大弯矩.V J5WPhA/fl叵 F n 食1_£一1于42J|易：7WJ38.4 <*合理布置梁的支座，同样也可以降低梁的最大弯矩仅为原简支梁ft大弯矩值的20%.8梁的弯曲应力与强度计算qiL<rHTr理so8.4 <*£丄丄£在工程实际中，图示的门式起重机的大梁，图示的圆柱形容as,其支#点都略向中间移动，就考虑了降低由荷载和自重所产生的最大弯矩8.48.4.2采用合理的截面形状当弯矩值1定时，横截面上的«大正应力与弯曲截面系数成 反比，即弯曲截面系数W,越大越好.另一方面.横截面面积越 小，梁使用的材料越少，自$越轻，即横面面积儿 越小越好因此，合理的横面形状应该是截