圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题专题训练

1、第2讲圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题一、选择题2 21.若双曲线拿” 1(a>0, b>0)与直线y=/3x无交点，则离心率e的取值范围是()B.(1,2D.(1 , V5解析 因为双曲线的渐近线为y= ±bx,要使直线 y/3x与双曲线无交点,A. (1,2)C. (1，屈则直线y=晶 应在两渐近线之间，所以有b/3,即bwJ3a,所以b2< 3a2, ac2 a2<3a2,即卩 c2<4a2, e2<4,所以 1 <e<2.答案 B2 22.已知椭圆X4 + 討1(0< b<2),左、右焦点分别为F1, F2,过

2、F1的直线I交椭圆于A, B两点，若|BF2|+ AF2|的最大值为5,则b的值是A. 1b"()C.2解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a = 2;由椭圆的定义，可知|AF2|+ |BF2|D.V3+ AB| = 4a= 8,所以|AB|= 8 （|AF2 | + |BF2|）> 3,由椭圆的性质，可知过椭圆2 b2焦点的弦中，通径最短，即= 3,可求得b2= 3,即b=/3.a答案 D3. （20i4湖北卷）已知Fi, F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共n点，且/ FiPF2= 3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）.C. 3D.2解析 设|PFi

3、匸ri, |PF2|= r2（ri >r2）, |FiF2|= 2c,椭圆长半轴长为 ai，双曲 线实半轴长为a2,椭圆、双曲线的离心率分别为 ei, 62,则（2c）2 = ri + r2,jn2门r2cos 3，得 4c2= r2+ r2 rir2.ri + r2= 2ai, 由ri r2= 282ri = ai + 82,r2 = ai 82,i iai + 82.一+一=ei-Ar2令 g c2 ri+ r2 rir2ri c c 4r2r2 2 r2riri4r2 i 2 3, 厂2 + 4当詈2时，mmax= y.rimax= c4/33，即6+62的最大值为爭.答案 A4.

4、 （2014福建卷）设P, Q分别为圆X2 + （y 6）2 = 2和椭圆i0+i上的点，则P, Q两点间的最大距离是A. 5迈C. 7 + B.倔+V2D./2().解析 设圆的圆心为C,则C(0,6)，半径为r = 72,点 C 到椭圆上的点 Q/iGcos a sin a的距离 |CQ = ViCcos a2+ sin a- 6 246 9sin2 a- 12sin a50-9 sin a+ 3 250= 5羽,2当且仅当sin a=-2时取等号，所以|PQ|W|CQ| + r = 52 +羽=62,即P,Q两点间的最大距离是 6抡，故选D.答案 D二、填空题5.已知双曲线x2-y =

5、1的左顶点为A1,右焦点为F2, P为双曲线右支上一点,则PAi PF2的最小值为解析 由已知得 Ai(- 1,0)，F2(2,0).设 P(x, y)(x> 1),则 PA1 PF2= (- 1-x， y) (2-x，- y) = 4x2-x- 5.令 f(x) = 4x2-x-5,贝U f(x)在1 ,+)上单调递增，所以当x= 1时，函数f(x)取最小值，即PAi PF2取最小值，最小值为一2. 答案 -2226.已知A(1,2), B(- 1,2)，动点P满足AP丄BP.若双曲线号一古=1(a> 0, b> 0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范

6、围是解析 设P(x, y),由题设条件，得动点P的轨迹为(x- 1)(x + 1)+ (y-2)(y-x22)= 0,即X2+ (y-2)2= 1,它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆.又双曲线 孑一*= 1(a>0, b>0)的渐近线方程为 尸±bx,即bx±ay= 0,由题意，可得灵許存> 1,即一> 1,所以 e= Cv2,又 e> 1,故 1<ev2. ca答案(1,2)2 2 2 27.若椭圆拿+ b2= 1(a>b>0)与双曲线拿一器=1的离心率分别为e1, e2,则e©的取值范围为2 b2 .22+ b

7、22解析 可知e2=三厂=1字，e2 = 冷一=1 +号,所以 e1+ e. = 2>2eie2? Oveie2< 1.答案(0,1)8直线3x 4y+4= 0与抛物线x2 = 4y和圆x2+ (y 1)2= 1从左到右的交点依次AB为A, B, C, D，则CB的值为3x 4y+ 4= 0,2解析由2得x2 3x 4= 0,x = 4y,1xA = 1, xd= 4,.yA= 4, yD = 4.直线3x 4y+ 4 = 0恰过抛物线的焦点F(0,1). AF= yA + 1= 4, DF = yD + 1= 5,AB AF 11CD= DF 1= 16.1答案16 三、解答题1

8、9. (2014烟台一模)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于2它的一个顶点恰好是抛物线x2= 8/3y的焦点.(1) 求椭圆C的方程;(2) 已知点P(2,3), Q(2, 3)在椭圆上，点A, B是椭圆上不同的两个动点,且满足/ APQ=/ BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由. 解(1)设椭圆C的方程为肇+ £= 1(a>b>0),则 b= 2©.由a= 1, a2 = c2+b2,得 a = 4,2 2椭圆C的方程为16+ 2= 1.(2)当/APQ=/ BPQ时，PA, PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为k

9、, PA的直线方程为y 3= k(x2),y 3=k X 2 ,由X2y2整理得16+ 12='，(3+ 4k2)x2 + 8(3 2k)kx + 4(3 2k)2 48= 0,8 2k 3 k X1 + 2= 3 + 4k2同理PB的直线方程为y 3= k(x 2),，.口 8k 2k 38k 2k + 3可得 X2+ 2=3+ 4k2= 3+ 4k2，16k2 12 48kX1 +X2=，X1 X2=3+4?，y1 y2k X1 2 +3+ k X2 2 3X1 X2- kAB=X1 X2k X1 + X2 4k_ 1X1 X2= 2,1所以直线AB的斜率为定值-10. (2014

10、湖北黄冈中学等八校联考)如图所示，已知椭圆Ci和抛物线C2有公共焦点F(1,0), Ci的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点 M(4,0)的直线I与抛物线C2分别相交于A, B两点.(1) 写出抛物线C2的标准方程；(2) 求证：以AB为直径的圆过原点;(3) 若坐标原点0关于直线I的对称点P在抛物线C2上，直线I与椭圆C1有 公共点，求椭圆Ci的长轴长的最小值.解(1)设抛物线的标准方程为y2 = 2px(p> 0),由 F(1,0),得 p = 2,- C2： y2= 4x.可设 AB: x= 4+ny,联立 y2= 4x,得 y2 4ny 16= 0.2 2设 A(X1, y1),

11、 B(X2, y2),则 y1y2= 16, X1x2=16, 0AoB= X1x2 + y1y2= 0,即以AB为直径的圆过原点.设P(4t2,4t)，贝U OP的中点(2t2,2t)在直线I上，得 n= ±，又；t<0,2t2 = 4 + 2nt, 4t4?=-n，x= y+ 4.2二 n= 1，直线 I:设椭圆C1: X2+ 2y- . = 1,与直线I: x= y+ 4联立可得:a a I(2a2 1)y2 + 8(a2- 1)y- a4 + 17a2- 16= 0, 由A>0,得a>申4,长轴长最小值为34.11. (2014金丽衢十二校联考)如图，过椭圆

12、L的左顶点A( 3,0)和下顶点B(0, 1)且斜率均为k的两直线li, 12分别交椭圆于C, D，又11交y轴于M , |2 交x轴于N,且CD与MN相交于点P.求椭圆L的标准方程;(i )证明存在实数 入使得AM = OP;(ii )求 |0P|的取值范围.解(1)由椭圆L的左顶点为A( 3,0),下顶点为B(0, 1)可知椭圆L的标准 方程为：x+y2=1.(i )证明由(1)可设直线|1, |2的方程分别为y= k(x+3)和y= kx 1,其中kM0,贝U M(0,3k), N(k, 0).y=k x+3 ,由 x2+消去 x得(1 + 9k2)x2 + 54k2x + 81k2 9= 0.9，3 27k2以上方程必有一根-3,由根与系数的关系可得另一根为 E，故点C的,3 27k26k坐标为(1 + 9k2 , 1 + 9k2).y= kx 1, 由9+宀1消去 x得(1 + 9k2)x2 18kx= 0,解得一根为+詁，故点D的坐标为(匚+先I -+ 9k2,9k2 11 + 9k2)由li与12平行得MlP= t MIN , CP = t CD，然后，进行坐标运算，即可得出点3P的坐标为1+k，3kI 3 3k1 + 3k，而AM =(3,3k