安元杰-第12节解析几何-圆锥曲线汇总

1、西安远东仁民补习学校一对一个性化辅导中心学员辅导教案1学生姓名：安元杰授课时间2016年4月1日（星期五）科目：数学圆锥曲线的方程与性质（1）椭圆概念平面内与两个定点 F1、F2的距离的和等于常数 2a （大于IF1F2I）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若 M为椭圆上任意一点,则有 IMFj 1 + 1 MF2 |=2a。椭圆的标准方程为:2y刍=1 ( a Ab aO) b（焦点在x轴上）2十y或 2a2x+ =1 ( ab > 0 )(焦点在 by轴上）。注：以上方程中a,b的大小a >b aO，其中,222b =a c ；2在x2

2、a2+計1和2x=1两个方程中都有b2a Ab aO的条件，要分清焦点的位置，只要看x2和y2的分母的大小。2x y例如椭圆 一+ =1 （ m > 0, n > 0 , mHn ）当m>n时表示焦点在x轴上的椭圆；当m nmen时表示焦点在y轴上的椭圆。（2）椭圆的性质x2 范围：由标准方程 +a2 y b2=1知|x|Ea , |y戶b，说明椭圆位于直线 x=±a, y = ±b所围成的矩形里;对称性：在曲线方程里,若以-y代替y方程不变，所以若点（x,y）在曲线上时，点（x,-y）也在曲线上，所以曲线关于x轴对称,同理,以-X代替x方程不变，则曲线关

3、于y轴对称。若同时以-X代替x , -y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称 中心叫椭圆的中心;顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令x=0，得y=，贝y Bi（0, -b） , B2（0,b）是椭圆与 y轴的两个交点。同理令y=0得x = ±a，即A（-a,0） , A2（a,0）是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段 AA、BB2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b

4、, a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ;在 Rt也OB2F2 中，0B2=b , OF2 = c ,222999 B2F2 = a，且 OF2 H B2F2 -OB2 ,即 c =a -b ；c离心率：椭圆的焦距与长轴的比 e=叫椭圆的离心率。 ac>0, Oceci，且e越接近i, ca就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之， e越接近于0 , c就越接近于0 ,从而b越接近于a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当 a=b时，c=0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2 + y2 = a2。2.双曲线（1）双曲线的概念IIP F

5、i-PF2|=2a ）。平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（注意：式中是差的绝对值，在0v2avFiF2条件下；PFi- PF2=2a时为双曲线的一支;|P F2-PFi = 2a时为双曲线的另一支（含 Fi的一支）；当2a弓FiF2时，PFi PF2=2a表示两条射线；当2a > F1 F2 时, PFi - PF2 =2a不表示任何图形；两定点Fi, F2叫做双曲线的焦点, FiF2 叫做焦距。（2）双曲线的性质范围：从标准方程2X2a2=i，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线b2X = ±a的外侧。即 X2 >a2,X 3a即双曲线在两

6、条直线 X = ±a的外侧。2 2 对称性：双曲线 刍-占=i关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴,a2 b2西安远东仁民补习学校一对一个性化辅导中心2 2原点是双曲线 x_y才=1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。a b2=1的方程里，对称轴是x,y轴,x 顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线a所以令y =0得X = ±a ,因此双曲线和x轴有两个交点 A （a,0）A2（a,0）,2 2x y他们是双曲线r -十=1的顶点。5令X = 0，没有实根，因此双曲线和 y轴没有交点。，双曲线的顶点分别是实轴的1）注意：双曲线

7、的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点）两个端点。2）实轴：线段A A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。 虚轴：线段B B?叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线， 这两条直线即称为双曲线的渐近线。2 2从图上看，双曲线 笃_1=1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。a2 b2等轴双曲线:1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a=b ；2）等轴双曲线的性质：（1 ）渐近线方程为： y = ±x ； （2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。

8、亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线, 时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征a = b，则等轴双曲线可以设为：X2 -y2 =A（A工0），当几 0时交点在x轴，当几0时焦点在y轴上。x2 y2y2 x2注意一亡与計荷1的区别:三个量a,b,c中a，b不同（互换）c相同，还有焦点所在的 坐标轴也变了。3.抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点 F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线I上）。定点F叫做抛物线的焦点，定直线 I叫做抛物线的准线。方程讨2 =2 px（P ：0）叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标

9、是F （上，0 ），它的准线方程是 x = -2 2（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还 有其他几种形式：y2 =/px，X2 =2 py , X2 =-2 py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:标准方程2y =2px(P >0)2y =-2 px(P>0)2X =2 py(P>0)2X =-2 py(Pa0)图形yfIyX焦点坐标准线方程$0)22(-卫 0)2"ZT2叱）(0-1)范围x>0x<0y >0y <0对称性顶点(0,0)(0,0)

10、(0,0)(0,0)离心率e =1说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线;（3）注意强调P的几何意义：是焦点到准线的距离。四、椭圆、双曲线、抛物线一对一个性化辅导中心西安远东仁民补习学校方程定义轨迹条件图形标准方程椭圆双曲线抛物线参数方程范围中心顶点对称轴焦点焦距离心率1 .到两定点F1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F尸2|)的点的轨迹2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(0<e<1)点集：(M II MF+I MFI=2a, I F 1F2

11、 I < 2a.1. 到两定点F1,F2的距离之差的 绝对值为定值2a(0<2a<|F 1F2I)的点的轨迹2. 与定点和直线的距离之比为 定值e的点的轨迹.(e>1)点集：M II MF I - I MH I .=± 2a, I F2F2 I > 2a.与定点和直线的距离相等的点的轨迹.点集M I I MFI =点M到直线I的距离.2 2xyp + = 1( a > b >0)abX2y2亠=1(a>0,b>0)a b屮=2 pxtx = acosQy =bsi n 日(参数日为离心角)|x = asec0y = bta n 日

12、 (参数日为离心角)2【其器(t为参数)|x|> a ,声 R原点0 (0, 0)原点0( 0, 0)(a,0), ( a,0),(0,b) , (0, b)(a,0), ( a,0)(0,0)x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴；实轴长2a,虚轴长2b.Fi(c,0), F2( c,0)Fi(c,0), F2( c,0)FCP'0)2,ax= ± c2,ax= ±c准线垂直于长轴，且在椭圆外.2c (c= Ja2 -b2 )e =£(0 ce v1)a准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.I2c(c=Ja2 +b2 )e =£(e&g

13、t;1)ax=-卫2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.e=17西安远东仁民补习学校一对一个性化辅导中心(4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:方程焦点焦线对称轴椭圆2 2(x-h) +(y-k) =1 a2b2(± c+h,k)2丄ax= ± +hcx=hy=k2 2(x-h) +(y-k)=1b2a2(h, ± c+k)2丄a,y= ± +k cx=hy=k双曲线(x-h)2(y-k)2 =12.2ab(± c+h,k)2丄a,x= ± +kcx=hy=k(y-k)2(x-h)2 =12 . 2 1 ab(h,

14、± c+h)2,a , y= ± +k cx=hy=k抛物线2(y-k) =2 p(x-h)(上 +h,k)2x=- +h2y=k2(y-k) =-2 p( x-h)(-卫 +h,k)2X+h2y=k2(x-h)=2p( y-k)p(h, -+k)2p y=+k2x=h(x-h) 2=-2p(y-k)(h,-卫 +k)2y= +k2x=h圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程(xA2/aA2)+(yA2/bA2)=1 a>b>0(x2/a2)-(y2/b2)=1 a>O,b>Oy2=2 px p>O范围x-a,ay-b,bx (- s, _a U a

15、,+)y Rx O,+ s) y对称性关于x轴,y轴,原点对称关于x轴,y轴,原点对称关于x轴对称顶点(a,O),(-a,O),(O,b),(O,-b)(a,O),(-a,O)(O,O)焦点(c,O),(-c,O)【其中c2=a2-b2】(c,O),(-c,O)【其中c2=a2+b2】(p /2,O)准线x= ± (a2)/cx= ± (a2)/cx=-p/2渐近线y= ± (b/a)x离心率e=c/a,e (0,1)e=c/a,e (1,+ s)e=1焦半径1 PF11 =a+ex 1 PF2I =a -ex1 PF11 = 1 ex+a II PF21 = 1

16、 ex -a1I PF I =x+ p/2焦准距p=(b2)/cp=(b2)/cP通径(2b2)/a(2b2)/a2p参数方程x=a cos 0y=b sin 0 , 0 为参数x=a sec 0y=b tan 0 , 0 为参数x=2 ptA2 y=2 pt为参数过圆锥曲线上一点(xO x/a2)+(y0 y/b2)=1(xO,yO)的切线方程(xOx/a2)- (yO y/b2)=1yO - y=p(x+xC斜率为k 的切线方程y=kx ±V (a2) (k2)+b2y=kx ±V (a2) (32)-b2y=kx+p/2k圆锥曲线的性质对比9西安远东仁民补习学校一对一

17、个性化辅导中心13圆锥曲线测试题一、选择题：（每题4分，共40分）1 chO是方程ax + y =c表示椭圆或双曲线的（）A -充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件 D 不充分不必要条件2 如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为A . (1, 0)B (2, 0)C.( 3, 0)(-1,0)2 23 直线y = x +1被椭圆x +2y =4所截得的弦的中点坐标是（B (-|,C.q, -3)234 一抛物线形拱桥,当水面离桥顶2m时，水面宽4m,若水面下降1m,则水面宽为（）C. 4.5mD 9m5.已知椭圆2L =1上的一点5P到左焦点的距离是4-，那么点

18、3P到椭圆的右准线的距离是（B.C. 7D.142y9A.长轴长相等26 曲线 X +4 =125与曲线7已知椭圆B.28已知椭圆P是椭圆上一点，且A 1 B229 方程 mx + ny 中的示意图应是10.椭圆等于A. 32x25-k短轴长相等2+ -=1(k < 9 )9-kC.离心率相等的（D.焦距相等的离心率e=410，则m的值为（5B.C的中心在原点，PF1丄x轴, 晅C 22=0 与 mx)22紅+25匝或后3F1,右焦点F2均在x轴上，A为椭圆的右顶点，B为椭圆短轴的端点, PF2/ AB,则此椭圆的离心率等于（）亦25或3左焦点D.1 D35+ ny2 =1 （同|计&q

19、uot;0）的曲线在同一坐标系7y =1上一点M到左焦点9F 4的距离为2, N是M F 4的中点，则2 ONC. 8D.16二填空题（每题4分，共16分）2 2t的取值范围是11. + y =1表示双曲线，则实数4 -t t -12 212 .双曲线 4X y + 64= 0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等13.斜率为1的直线经过抛物线=4x的焦点,且与抛物线相交于A,B两点，则I AB等于14.设x,y R,在直角坐标平面内,I4a (x,y+2),I4b = (x,y 2)，且 aI4+ b = 8，则点M (x , y )的轨迹方程三.解答题2 215已知

20、双曲线与椭圆 一+乂=1共焦点，且以49 24y=±4x为渐近线，求双曲线方程.(10分)3相应于焦点F (C, 0) ( c>0)的准16. 椭圆的中心是原点 0,它的短轴长为 2J2 ,线I与x轴相交于点A , |OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于 P、Q两点. (I)求椭圆的方程及离心率；(n)若0P OQ =0，求直线PQ的方程；(12 分)17. 已知椭圆的中心在原点0,焦点在坐标轴上，直线 y = x +1与该椭圆相交于 P和Q,且0P丄0Q,|PQF0，求椭圆的方程.（12 分）218. 一炮弹在 A处的东偏北60°的某处爆炸，在 A处测到爆炸

21、信号的时间比在B处早4秒，已知A在B的正东方、相距6千米，P为爆炸地点，（该信号的传播速度为每秒1千米）求A、P两地的距离.（10分）西安远东仁民补习学校一对一个性化辅导中心参考答案 一选择题（本大题共 10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案BABBCDBDAC二填空题（本大题共 4小题，每小题4分，16分）11 . t>4 或 t<112. 1713. 8214. L +二=112 16三.解答体15.(10 分)解析:由椭圆2 2设双曲线方程为冷-笃a by2+ =1= c = 5 .24lb ,4=1，则|訂±3I 22la +b =2549

22、a2叫2=9=16故所求双曲线方程为2 2工丄=191616.（12分）解析:（1）由已知由题意，可设椭圆的方程为解得C 氓C,15（n）解：由（1）可得A（3, 0）.设直线2 2 a = A c =2所以椭圆的方程为 二 丄“ 离心率6 2 -2 2PQ 的方程为 y=k(x-3).由方程组！一+红=1,得(3k2 +1)x2 18k2x+27k2 -6=0 依题意 (62 b =k(x _3)心=12(2-3k2) >0，得逅ckc6 .设 P(X1, yj, Q(X2, y2)，则治 + x-， 333k2 +12X1X27k2 -6. 由直线 PQ 的方程得 y1 =k(X1-3), y2 =k(X2-3).于是3k +1y1 y2 = °.由y y2 =k2(人-3)(x2 -3) =k2x1X2 3化 +x2)+9. t OP OQ =o，二 x1x2 +得5k2 =