复变练习册汇总

1、学号:姓名:班级:17第一章复数与复变函数一、选择题1当 "吕时，z100+z75+z50的值等于(A) i(B) -i(C) 1(D) 12.设复数 z满足 arg(z +2) =，arg(z-2)=，那么 z=(36(A) -1+V3i(B) -73+i(C) - , 24.使得z =|z成立的复数z是(+空 i2 2TT则原向量对应的复数3个向量顺时针旋转二，对应的复数为i-73i，3(A) 2(B)l+73i(C)(D) 73 + i(A)不存在的(B)唯一的(C)纯虚数(D)实数5.方程z+2-3i =72所代表的曲线是(A)中心为2 -3i，半径为的圆周(B)中心为-2+

2、3i，半径为2的圆周中心为-2+3i，半径为的圆周(D)中心为2-3i，半径为2的圆周6 .函数f(z) = u(x, y)+iv(x,y)在点z。= x。+ iy。处连续的充要条件是(A) u(x,y)在(xo, yo)处连续(B) v(x,y)在(Xo,yo)处连续(C) u(x,y)和 v(x, y)在(xo, yo)处连续(D) u(x,y) +v(x,y)在(x。，y。)处连续、填空题1.设-(，则I z =2. 设 Z =(2-3i)(-2 + i)，贝U argz =3. 复数富詈黑的指数表示式为4 .方程 z+1 -2i =z-2+i所表示的曲线是连接点的线段的垂直平分线5.

3、jimji+z2 + 2z4)=三、将下列复数化为三角表达式和指数表达式:(1) i(2)-i + 73i四、求下列各式的值:(1) (73-i)5(2) (1 + i)100+ (1-i)100(3)五、解方程：（Z + i）5 = 111六、设复数Z H1，且满足I z | = 1,，试证Re=1 z2七、证明复平面上的直线方程可写成：az + a Z +c = 0,（其中为a工0复常数，c为实常数）八、证明复平面上的圆周方程可写成：zz + az+az + c = 0,(其中a为复常数，c为实常数)1九、函数w =把下列z平面上的曲线映成 w平面中的什么曲线?z十、f(z)=丄(三二2i

4、 z z(2) X2 + y2=4),(zK0)试证当ZT 0时f(z)的极限不存在。学号:姓名:班级:第二章解析函数、判断题(1) 若f(z)在点Z0不连续，则f(z)在点Z0不可导.()若f(Z)在点Z0可导，则f(z)在点Z0解析.()若u, v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f(Z)= U + iv在D内解析.()(4)指数函数ez是以2曲为周期的函数.()(5) sinz在整个复平面上有界.()、选择题1.函数f(z)=x2 +iy2在点z=0处是()(A)解析的(B)可导的(C)不可导的(D)既不解析也不可导2.假设点zo是函数f(z)的奇点，贝U函数f(z)在点Zo处()(A)不

5、可导(B)不解析(C)不连续(D)以上答案都不对3下列函数中，为整个复平面上解析函数的是 ()(A) x2-y22xyi(B) x2+xyi(D) Z(C ) X3 -3xy2 +3x+i(-y3 +3x2y + 3y)4.函数f(z)=zRe(z)在z = 0处的导数(A)等于0(B)等于1 ( C)等于-1(D)不存在三、填空题1 .设 f (z) = cos(2z) + i sin(1)，贝U -= z dz12.复数 Ln( i2)=3. Imln( 3-4i)=4 .方程1 - e=0的全部解为四、证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数(1)若f(Z)也在D内解析；(2) 若

6、f(z)在D内为常数;au + bv = c,其中a,b与c为不全为零点实常数。五、讨论下列函数的解析性:(1)|z|2+2z ( 2)xy+ ix2y (3)ei(cosx + i sinX)六、求ez和Arge七、求下列初等函数的值。（2）sm2i ；(4)(1 + 厅(1) e(呻(3)Ln (-i) In(-3 + 4i)八、解方程:(1) sinz +cosz = 0 ;兀(2)ln(2iz)=2+ i ; (3) cosz=02九、当I, m,n取何值时f（Z）= my3 + nx2 y+ i（ x中Ixy2）在复平面上处处解析?学号:姓名:班级:第三章复变函数的积分判断题lz十1

7、.积分 q dz的值与半径r(r:>0)的大小无关。() z -a2.若在区域D内有f '(z) = g(z)，则在D内g-(z)存在且解析。()<1)的积3.若f (z)在0v|zc1内解析，且沿任何圆周c:|z = r(0分等于零，则f(z)在z=0处解析。()4.设vi,v2在区域D内均为U的共轭调和函数,则必有Vi =V2。()5.解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。(6.以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。二、选择题：1.设c为从原点沿y2 =x至1+i的弧段，贝U J(x + iy2)dz =()c(A)汁(B) -(C)5.一一 i6(D)2.设c为不经过

8、点1与-1的正向简单闭曲线,c(z-1)(z + 1)2dz 为兀i(B)-2都有可能3.设c为正向圆周亦2，则倚dz=(-sin1(B) sin1(C) 2iisin1(D) 2iisin14.设c为正向圆周1"231z cos则qc(1-z)2z 2dz 二()(A)2 兀 i(3cos1 -sin1)(B) 0(C)6兀i cos1(D)-2iisin15.设 f (z)=e©其中zf i)=(-2ii(B) -1(C) 2町(D) 16.设c是从0到1TT-+ -i的直线段,2则积分fzezdz =(A)(B)2(D)7.设v(x,y)在区域D内为u(x,y)的共轭

9、调和函数,则下列函数中为D内解析函数的是()(A) v(x,y) + iu(x,y)(B) v(x,y) -iu(x,y)(C) u( X, y) iv( X, y)(D)便exex三、填空题1.设C为正向圆周|z| = 1，贝U Jgdz =C2 气1j2.设C为正向圆周1=1，则碍护=3sin(73.设 f(z) = q 戸 2dE ,其中 12，则 f "(3) =I鼻亡z4.设c为正向圆周z=3，则 qczLZdz = Iz d5解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的6.若函数u(x,y) =x' +axy2为某一解析函数的虚部，则常数 a =四、利用牛顿-莱布尼兹公式

10、计算下列积分.JI. I 2z (1) re dzTD2打sin zdz(3)1JoZS in zdz五、计算下列复积分，圆周均为正向(1)丄- iz(dz ；Z-；)(z + 2)丄|z*eizz2 +1dz，1zT一(3)z=2(2)(3)dz2,八，2|zA(z+4)I I 2z；dz六、计算积分2兀iadz，其中c为下列正向圆周:Fz(z-1)3七、已知下列各调和函数,试求解析函数f(z)=u + iv(1) u = X2 十 xy- y2, f (i) = T + i , U = 2xy- 2y, f (2 -i，2JI八、设f(z)在|z| cRCR")内解析，且f(0)

11、 =1, f'(0) = 2，试计算积分q (z+irdz并由此得出 Qcos22 f (e旧)d日之值.|z4Z2九、设f(z),g(z)都在简单闭曲线c上及c内解析，且在c上f(Z)= g(z)，证明：在c内也有 f(Z)= g(z)。十、设Ci与C2为两条互不包含，也互不相交的正向简单闭曲线，z21 L 证明：丄J丄 sin zdz + J2眄-ZoCz-Zod J z2当Zo在G内时,sin zo当z0在C2内时。1一、设解析函数f（Z）= U + iv,试证:（1） -U是V的共轭调和函数；（2）i f（Z）也是解析函数。十二、设f（z）在圆环域尺R2内解析,作两圆周:=Ki

12、' z-a=K2;且K K R2'当Z0满足K Zo-aK'试证：柯西积分公式仍成立，其中C = Ki"+ K21516学号:姓名:班级:第四章、选择题：1.设 an1)n +ni (n =1,2,),n +4(A)等于0(B)等于12.下列级数中，条件收敛的级数为 处 1 + 3i n处(3 + 4i)n(A) (V(B) (3 4i) (C)n z12n z!n!3下列级数中，绝对收敛的级数为(处 4i处(_1)ni(A) Z +丄)(B) 2： UL + tnn nn二n 24若幕级数2 Cnzn z0则 liman ()n_(C)等于)绘i nz -心

13、n)c(C) z ,2 Inn(D在Z = 1 + 2i处收敛，那么该级数在(D)不存在(D)Z 台心 Jn + 1)(-1)ninn 二2n性为(A)绝对收敛设幕级数h(B)条件收敛(C)发散(D)不能确定处处 cn 寸n -1 工口 P cnn 41,Z ncnz和 Z zn=0n =0 n + 1Cnzn zQR1,R2,R3，贝U R1,R2,R3之间的关系是()(A) Rt < R2 V R3 ( B) Rt > R2 > R3 ( O Rt = R2的收敛半径分别为< R3(D) R1 = R2 = R3.n兀c sin 6.幕级数S (-)n的收敛半径R

14、=()n二 n 2(A) 1(B) 27幕级数Z上£zn十nzo n+1(C)72(D)+ 比(A) ln(l+z)118.级数+丄+“z z(A) |z|<1在Z<i内的和函数为(B) ln(1-z) (D) In 11 +z+ z + z2中的收敛域是()(B) 0<Z < 1 (C ) 1 <(D)< +oC1In1 一 z(D)不存在的399.函数sinz，在 z誇处的泰勒展开式为()(A)处(-1)nEn+lJZ")兀-2nH1(z<)2(B)P)n兀2n(D)处(一1)n£(2n +1)!(Z"2)J

15、I(zc 母)2Z j(z-)2nn 卫(2n)!2、填空题1.幕级数S (2i)nz2n的收敛半径n =02.设f(z)在区域D内解析，Zo为D内的一点，d为Zo到D的边界上各点的最短距离，那么当Cn =-Zo <d 时，f(Z)=2 Cn(Z-Zo)n 成立，其中n zO3.函数arctanz在z=0处的泰勒展开式为4.设幕级数2 CnZn的收敛半径为R，那么幕级数2 (2n -1)Cnzn 的收n=0n=0敛半径为5.函数 z(zT)在Kz-i 内的洛朗展开式为C - nn=1三、下列级数是否收敛？是否绝对收敛？czn=2 In nn处(3 + 5i ) Z 一 7 n! s zn

16、nT n四、试确定下列幕级数的收敛半径.(1) z (1+i )znn 二0(3) Z enznn=a五、把下列函数展开成Z的幕级数，并指出收敛半径.（1）六、求下列函数展开在指定点Z0处的泰勒展式，并写出展式成立的区域.(z+1)(z+2)，Zo=21(2) -,zo=1z(3)将函数E药在指定的圆域内展开成洛朗级数(1)0c Z-1 <1,(2) 1 C Z-2 <八、如果级数2 cnzn在它的收敛圆的圆周上一点 zo处绝对收敛，证明它n zO在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛.学号:姓名:班级:、选择题:1.函数(A) 1第五章 留数在Z = 2内的奇点个数为(B) 2(C)(D

17、) 412.设函数f以z=a为m级零点，则为函数帀的(B)本性奇点(A)可去奇点(C) m级极点(D)小于m级的极点3设z=0为函数Sin3ZZ的m级极点，那么m =()(A) 2(B) 4(C)3(D) 5c4 .设 f(z)anZnn zQ在彳cR内解析，k为正整数，Ref)，0=()(A) ak(B)k!ak(C) ak U(D)(k-1)!aQ5在下列函数中，Resf(z),0 =0的是(B)f(zSin-z z(A) f(z)=e zrsinz+cosz(C)f(z)=(D)、填空题1设z=0为函数Z2(ez-1)的m级零点，那么m =1 2z2 .函数f(z)=匸二在其孤立奇点z

18、= 0处的留数zResf (z),0 =3 .若Z0(H处)是f(z)的可去奇点或解析点，则Res f (z),zo=13 一4. 积分 sfz ezdz =2三、求下列函数在有限孤立奇点处的留数.Z +1(1)?T2(3) z2 sin1z(4)12z 3(Z2 +1)3(5)丄zsin z四、利用留数计算下列积分(积分曲线均取正向)2ze 2dz(1)h(z 1)ez2dzz=32(z-1)(z+3)2-Vdzsin z/Q、斤sinz(3) 冶#27)五、证明：如果zo是f(z)的m(m>1)级零点，那么zo是f(Z)的m-1级零 点.、求出下列函数在处的留数 z(z+1)4(z4

19、)、求下列各积分之值:(1).严05+3si门严2兀1.Jo Ed日-be.Jo2X ?dx;1 +x2：X dx來X +4x+5学号:姓名:班级:积分变换、填空题1. F1 =(相同，不同)2. 设 Ff (t) = F (w)，则 F (w)与 f (t)有的奇偶性.3. F u(t)=4.函数f (t) = sin3餐(t - t0)的傅立叶变换5.6.Sintcost =7.8. L、综合题I A 0 < t < T1求矩形脉冲函数f(tk,其他的Fourier变换.2.已知f(t)=严Eio, t<0求 Ff( t jf3.求函数 f(t)=sin3t 的 Four

20、ier 变换.4.求函数 f (t )=costsint的 Fourier 变换.5已知某函数的Fourier变换为 F (o =冗+ ©0 )+ X© 叭),求该函数f (t ).6 .求下列函数的Lap lace变换:n t <2)2, nI 2cost, t > 4)f (t ) = tcosatp-p- 27*、设"边鳥"甘：0，求 ： fi5)8*.若 L证明(象函数的微分性质)F(n)(s) = (1 九 tnf(t), Re(s)>c特别地，L tf (t)=-F'(s)，或 f(t)=-1L，LF'(s)

21、1 并利用此结论计算下式：(1) f (G = t f0etsin2tdt，求 F (s).O + 1(2) F (s) = ln，求 f (t).s-1三、利用Laplace变换求解下列方程:1. yS4y'+3y =e=y(0)=y'(0) = 12.八2y' + 2y =2e cos2t,y(0) = y'(0) = 03. yJy= e2t,y(0) =y(0)=厂(0) =0t =e4. !XXy t，x(0) = 0,xW. ly +3x -2y =2e答案第一章复数与复变函数、BAADCC、1,V2; 2,兀 i 、（1）e2160兀arctan8

22、 ； 3， e;(2)2e3;4, -1 + 2i ; 2-i 5 , -1 + 2i-j四、(1) -16(/3 + i); 一251；_ 1施町 k = 0 (3)Tv 4兀-血ej k = 1五、z = e5" - i，(k = 0,1,234)八、略；七、略;八、略九、(1)u2 +v2-，表示一半径为-的圆周。直线：u = -v4十、略第二章解析函数、 B (2)B (3)C A一214二、1. 2sin(2z) -(i/z )cos(1 / z) 2。(k+)兀i 3。一 arctg- 4。一 2kii4 3四、证明：关键证明U,V的一阶偏导数皆为0!五、（1）仅在原点可

23、导，处处不解析（2）在原点可导，处处不解析（3）处处解析六、2ez2 2=ex -y2Argez=2xy + 2"，（ k为任意整数）七、(1)e2(4+iv)2 2(2)2_2 .i(e -e )2(-l + 2kNi2ln( -3 + 4i) = ln 5 +(兀-arcta n4)i3八、解方程：（1）兀“厂九、解：m = 1,n =1 = -3第三章复变函数的积分乂弋 X，天，X，X、DDCBAAB平均值；6,-3三、1， 2加；2， 10兀i ； 3，0； 4， 6兀i ； 5,四、（1）丄（i T）21 1=冗齐.如“-4i（r-e2m-£sh2 叮i(3) s

24、in 1-cosl五、（1），由柯西积分公式如4 + i(2)e（3）在积分曲线内被积函数有两个奇点±i，围绕i, -i分别做两条相互外离的小闭合曲线c1,c2，则由复合闭路原理得：0(4) 卫12六、（1）由柯西积分公式：T ；（2）由高阶导数公式：-2（3）由复合闭路原理J2昭 z(z-13七、由柯西一黎曼方程出发,(1) f(Z)= U + iv = x2 + xy - y211x2 + 2xy + )i,整理后可得：f(z) =(1-i)z22 f(z)=i(z-1)2八、丁+1)2乎2兀dz = 8；ii, Jo cos2冶.第四章级数答案.CCDADBABB；3£

25、;船2"*R(|Z v1) ； 4;22C - n且为绝对收敛.三(1)，级数I:-收敛,心n!C i n(2)级数送是收敛的.为条件收敛.n=2 ln nZ呼发散n=02(4) 级数z收敛，且为绝对收敛.心 n!O A _ *iZ <72，收敛半径为r = V2 .从而幂级数Z 丁z2n'的收敛域为 五(1)(击)2亠小3心叶卄严十叶c11 1 f(z) =1Z-Z2-Z3川lil,|z v1处11(z+ 1)(z +2) _2(芦"XZ"2) Jz"2 <3 .1 1=1_2(z1)创 +(1)2n(z1)2+ili,|z1甜.(

26、3)c4-3z2(1-3i)n 出3n(z-1i)n .七、在0< zT <1内,在1 <z-2 内比1(z-1)(z-2)=2(")(z-2严八. 证明：略第五章留数答案、CCACD、1, 3; 2, -4/3 ; 3, 0; 4, 12 三、(1)函数的有限孤立奇点是z = 0,z=2，且z=0,z = 2均是其1级极点.1ReStf (z)j0-2zReStf (z) ,2 =1 1 e(2)函数的有限孤立奇点是 z=0 , Res,0z函数的有限孤立奇点是z = 0 , ReSz2 sin-,0z函数的有限孤立奇点是z=± ,且Z = ±

27、i是函数的3级极点,Resf (z)j 扌3 i83Resf(z)j-i.8函数的有限孤立奇点是z = k兀，k亡Z .1 Res,0 =0zsin z1 1Res,k兀=(1)k，k H0zsin z四、(1), Jie2z弋1山申z(1ez)sinz dz = 2泊.412z dz =0五、证明：略六(DResz2 -1ez=-sh 12Res4,z(z+1)4(z-4)七、(1)5+3sin 严JI-22兀Ia+cos£"=7a&22(3) F厶 dx = l :厶 dxb 1 +x42 81 +x4e cos2(4)2 c°sxdx=x2 +4x

28、+ 5积分变换答案:、填空题1.2 兀 6(w)2.3.丄jw+ 兀 6(w)4. Sin3t0 ejwt05. 土6. s47. cos2t8.452.3.F f (t )= n 慎© -3 ) 3 认 一1 ) +33(时 +13( +3)4.n 3© + 2)- 3© -2)5.由函数 3(t-t0 )g(t)dt = g(t0 )，易知1 - *f (t )= f F (=co30t2 n亠6. 1)Lf(t)卜 J0 f (tedt"i1-e 2Si丿s +1n2 (Re(s) A 0 )2)ft)"。-bore +5 3(otd 5

29、 + (Re(s)A2)2ts-23)1te-XI 1s(s-14)It cosat =-(s2 +a2t47*、解：二 fi（t严 f2（t） =12I10t co8.(1)簽 2t1L k sin2tdt卜2(3s2 +12S + 13解：令L J 丁9）卜5）丄4y(t) =L= Y(s "=丄(7 +2t)e丄一L、442. y (t )=t et sin t3. y(t)站丫(s) =1e上e+lt4 .方程组的解为JxH)-ey(t ) = e复变函数与积分变换 期末考试试卷（A卷）、选择题（共15分，每小题3分）11.已知z=2+2iA1C.22.| Z + i |习Z

30、 -i |所表示的平面区域为A.单位圆的内部B.下半平面C.上半平D.整个平面3.幕级数(-1)nznn =1n3的收敛半径R=A.B. 2C. 3D.44.Z =0是函数ez 1A.极点B.可去奇点C.本性奇占八、A. ez > 0B. sinz有界C. zn是多值函数D.ez处处解析D零点5. 下列说法正确的是、填空题（共15分，每小题3分）1.复数Z = 2i的二角表示式2.对数Ln（ -1）的主值为3.严z严.（圆周取正向）f4. lim 11 +- n 丿5.f(z) =(z-2) (z-1)3,则 z =1是 f(z)的三、（8分）函数f（z）=3x-2iy在何处可导？何处解

31、析？ 四、（10分）已知u（x, y ）= X3-3xy2为调和函数，求解析函数f（z）=u+iv.且满足条件f（0）=i.五、计算下列积分（圆周均取正向）（每题4分，共12分）i(1)J0(3ez +2z)dz 1-1 COSZz际Rdz;六、（10分）判断下列级数是否收敛？是否绝对收敛？比11）送-心n/ 1 +丄I n丿2提乎;n=0 4七、（10分）1已知f (z)=，求f（z）在zo =2处的泰勒展开式，并指出收敛半径.八、（10分）求函数f（z） =z在有限奇点处的留数.九、（10分）求函数f（t）=2e的拉普拉斯变换.复变函数与积分变换本科期末考试试卷（A 卷)参考答案及评分细则

32、、选择题（共15分,每小题3 分)1.D；2.C；3.A;4.B5.D、填空题（共15 分,每小题3 分)兀1. 2(co +i sin3)；2.兀 i ；3. 0；4. 1;5.347三、解：1、U =3x , V = -2y 则fffa=3, =0, =0, = 2 0 byexby二f（z）没有可导的点，在复平面内处处不解析.（4 分）小2.、小2.3,、LVy=Ux=3x - 3/, V =【(6- y3dy)= x 3- y+c x( 5Vx =6xy+ 戶一Uy c，x(=)023c(x) =C v(x, y) =3x y y +c由于 f(0) =i，得 c=0，f(z) =z3

33、 +i五、解：1、(3ez+2z)dz= 3ez +z2；=3ei-22、z2+17|dz=2兀i (z2 +1)是zTz#=4町3、n cosz1“J dz=2兀i 一 (cosz) /z#= 一兀 cos1i具(z-D2绘(2i)n2)送卅4n由正项级数的比值审敛法知故原级数收敛，且为绝对收敛.七、解:f (z)以Z = -1为奇点/. R =1 -1 -2 |=31 1 1二 f(z)=z+13+(z-2)31+(z-2)/3=苕(期(罟)n,|z2|<33 nz03八、解:f(z)的有限奇点为z=1,z=T。z eResf (z),1lim( 1) f(zlimzReSfZ(九U

34、1Zm(1V1-)-2-4 e九、解:F(s) = J0 fedt七心.2=f= 2*0S +1处 1 fi、六、解：1)2 - M +-si n丿3COC A(1)1： an =送1发散，所以原级数发散 n 4n 2 n49、选择题（共15分，每小题3分）11.已知z=1+h/3贝 y argz =一兀a<3兀B.-3C.JID.- 62.等式 |z + 3|=|z i |所表示的轨迹为A.椭圆B.双曲线C.直线D.圆周3.幕级数F (z j)的收敛圆为A. |z-1| = 1B. |z-1| = 2C. |z|=1D. |z| = 24.z=0是函数f(z)sinz 的z2A.可去奇点B.极点 C.本性奇点D零点5.下列说法正确的是A. ln（-1）没有意义B. COSZ有界C. Vz是多值函数D. z=0的辐角为零、填空题（共15分，每小题3分）1.复数z=l+i的指数表示式2.ez = - i的全部解为3.严z严.（圆周取正向）4. lim 1 + lin_15.z0=2是莎的极点，则f（ 2）=二、（8分）函数f（