并矢及其运算规则

1、T4并矢及其运算规则1.4.1并矢的导出及其表达式（+ A+ A）设有一矢量函数A=/!+/1十儿乙现取它的梯度 "=(冷+却+診6A,94, _,3儿,八=莎”“ +莎” y+h +玄严+鬻必+誓'話+警2+警=瞥+鬻"訓"屠" +丨莎"莎y +药牛可见所得到的这种矢量有3个分量，但每一个分最又都是通常的一个有3个分量的矢量，因 而共有9个分量，这种有9个分a的矢fi称为并矢，它与一个二阶张就等价。并矢是两个矢©的形式组合，这种组合并不帯有任何矢疑运算含意。并矢D定义为D = AB(1-55)式 A称为前项称为后项，它们的相

2、互位宣不能随童改变。并矢本身与矢§函数不同，它没有任何物理解释,但是当并矢作用在另一个矢ft函数上9时,其结果就可以是有意义的。采用并矢符号，并赋于它一定的运算规则，可以使许多物理问题的数学表示式非常简 洁，运算也可以简化。以一个旋转刚体的角动量矩为例。-个质量分布均匀的刚体，当它以角速度3作旋转 (如图1-5所示)时,其中一体积元dV对任意一点0的角动量矩dHo为图1-5体积元对任意一 点o的角动量矩d/fo = r X fidVy V式中卩为质量密度=3Xf因而得总的角动量矩为(1-56)(1-57)(1-58)H严(r X V )pdV对一刚体而言e与尸有关，但3与无关。 根据

3、矢S恒等式4 X X C) = C) - C(4 »)/(, J 厂匕r(r . ct>)fidV因为3与；无关，可以把它提出枳分号外以简化表达式。对上式中第一项可以宜接将3提 岀来，而对第二项则要先把r(r w>写成3("或(”)3的形式，而Or)正是一种并矢的 形式，这样就可以将式<1-57)改写成Hq = q、3hMrrlodVV可将式(1-56)写为式中9=i是一并矢，了称为恒等并矢或单位并矢。在电磁理论中，一个任意的偶极源在一个选定的参考坐标系中有3个分量，而每一个偶 极矩分量在空间中都产生一个具有3个分量的电场和磁场.任意偶扱源所产生的总电磁场

4、 应当是这3个分疑作用的矢量和，此时引入并矢格林函数就可以简洁地表示出任意的偶极 源所产生的电磁场，关于并矢格林函数的具休形式将在第6章6. 5节中介绍.根据式(1-55)的定义，若有两个矢量A = ylA + 4並 +. B =+ Bu + 時;式中松心血和尿鎚，疏分别为前矢绘A和培矢呈所在正交坐标系中的单位矢it，在非 直角坐标系中，这两组单位矢1：不一定相等。将A和B的表示式代入并矢3的定义式 (l-55)n，求得5= AB =应由皿岛 4月启卫2璐+ &皿屈 + AiBzU.ui+ .铁瓦应2曲；+月/岛列+ 民"圍+人2民佥血+ A/禹划=6血】硏 + DhUjU)

5、 + DU3«I + Dg 強屈 + Z>3 业與(1-59)十D前崗+ 2播必；十0皿阖=(DM】+ 込十6心)&； + (D曲 + D就込 + DjWJ »2 + ( DM + D血 + £),3«j)M3-/?,« + 4 电 + 4 函也可以写成 10Q= 胡 + DM + 久闵)+ 呢(2同-DM； + DM)+ «3( Dj 岛 + DM； + £)3点)=a,Di + uM + 心列(1-60)从式59)和式(1-60)可以看出，若把矢傲代数中的标量积法则应用到并矢中来，则有Dj ,Z)3 = 3

6、 ttj£>；=Df Dy H 心3 D在直角坐标系中= U； U? = «； Um =61)因为D工邛,0工列，0工；,所以一个并矢和一个矢疑的标积是不满足交换律的，即 A 3工5A通常称A-S为前标积,5-4为后标积，以示区别。如有一矢量C = Gf + CJ + C,z现取它与并矢D的后标积，即得F= 3 . C = <£>hX + D” + I>3ii)x + (Pui + D折)j+ (DM 十 D+ D,z)zJ - (C,x + C+ C,z)=f DC + DQ + DQf 十(SC + DG + DG”+ (DQi + D

7、»C$)2 = Fji + Fj + Fji由上述结果可知这一标积运算可用矩阵的运算来表示即©Il Dti D|Fz=2)D22 SsGQ3)D32 Dma显然，若取前标积F=C - D则所得结果可用矩阵*示为(卜 62)F；"Qu 21GF；=Diz Dz! D«GQ讥aSC、(1-63) 11 即師斥积的变换矩阵后标积的变换矩阵的转a矩阵。14. 2并矢的运算规則关矢的运算规则如下，(1)并矢的和与差仍为并矢，新并矢的各分畫是原两并矢对应分量的和与差，它符合结 合律与交换律。并矢的数乘(1-64)C方=5c相当于用数c乘以并矢各矩阵元素.(3) 并矢

8、与矢a的标积有前标积与后惊积两种，其运算规则与矩阵运算规则相同，不符 合交换律-(4) 并矢与并矢的标积有单标积与双标积两种。设5和矽为两个并矢它们是则单标积定义为D < b =< A!ff = A(B AM = <A AjAfT仍是一个并矢，并且不符合交换律。双标积的定义是5,5 = 45 : A£ = (A /V)(B B ) 为一个标量，且符合交换律。(5) 并矢与矢绘的叉积有前叉积与后叉积两种。前叉积的定义是C X 万=C X = (C X AB(1-65)(166)Dxc = 4zrxc = Ai.B X C) 两者仍为并矢，且不符合交换律。(6并矢与并矢

9、的叉积有单叉积与双叉枳两种。单叉积的定义是5 X 矽=A8 X 4 B* = AB X 4所得到的称为三矢"双叉积的定义是Sj矽= (4 XX67)(1-68)(1-69)仍为一个并矢(7) 并矢的散度V -3 =(V +(V为一个矢量函数，(8) 并矢的旋度V X 5 = (7 X Dj)x + (1-70)(1-71)仍为一个并矢.(9)并矢的巧= .g-(1-72)仍为一个并矢。1.4 3并矢的几点性质并矢的几点重要性质分述如T：(1>零并矢6对一切非零的向虽C,若式C 6= 0- C = 0成立，则6称为零并矢，其9个分量皆为零。(2>转置并矢若一并矢的矩阵是某原

10、并矢5的相应矩阵的转置矩阵，则称该并矢为原并矢的转亘并矢，以符号0表示。显然<1-73)C 6 = 5c(174)(3对称并矢12 后叉积的定义是对一切非零向量G若有(1-75)c-5 = p c则称3为对称并矢。显然，对称并矢的转置并矢就铮于原并矢。 （4反对称并矢对一切非零矢量C,若有(1-76)则称S为反对称并矢（5）酉并矢若一并矢的矩阵为酉矩阵,其分*组成的行列式值为一，则称其为酉并矢。（6恒等并矢若5为任意非零并矢，且有一个并矢7使等式2） /= /'D=-Z5成立，则？称为恒等并矢。在直角坐标系中恒等并矢（也可称为单位并矢）为J = XX + 芳 + «(1

11、-77)(478)（7）逆并矢若3为任意非零并矢，且有3万=/则称&为方的逆并矢，以表示。在结束本节之前，应当补充说明的是在矢量运算中有许多恒等式，这些恒等式经过适当 变换可以推广到并矢中来以恒等式<1-79)AffXC=BCXACAXS为例,如果式中矢量C换为并矢E,则仍有类似的并矢恒等式。实际上只需先将上式中的矢 量C都移到各项的最后，即4BXC=eAXC = AX3*C再将上式的矢量C分别看成是并矢£的三个分量C. ,G，G 就可得出三个矢fi恒等式A B X-Ci = B A X Cj = A , B CBAXC3 = AXB*C3将上面三式分别乘以单位矢量g/2,亦,得A B X C|Uj = " B AA B X Cz&i = 一 B AA S X C3U3 =