双曲线(学生版)

1、选修双曲线3一.双曲线的概念 »Oxy*y1iO1平面内到两定点Fi, F2的距离的和为常平面内到两定点 Fi,F2的距离的差的绝对数（大于|f1F2|）的动点的轨迹叫椭圆。即值为常数（小于FiF?）的动点的轨迹叫双曲MFi|MF22a当2a > 2c时，轨迹是椭圆,当2a < 2c时，轨迹是双曲线当2a =2 c时，轨迹是一条线段IFi F2当2a=2 c时，轨迹是两条射线当2a < 2c时，轨迹不存在当2a > 2c时，轨迹不存在2x焦点在x轴上时：令a2V焦点在x轴上时：令a标准方2焦点在y轴上时：与a2焦点在y轴上时：y2a注：是根据分母的大小来判断焦

2、点在哪一坐注：是根据项的正负来判断焦点所标轴上在的位置2 2 2a c b （符合勾股定理的结构）c2 a2 b2 （符合勾股定理的结构）a,b,c的关系a 最大，c b,c b,c bc最大，可以a b,a b,a b二.双曲线的标准方程及几何性质平面几何性质双曲线焦距与实轴长的比 e竺2ac(ea1),离心率如：x型双曲线形状与 e的关系:2c2a2.2ab2a1ba双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。准线间距=旦,焦渐距=b。c三.直线y kx b与圆锥曲线相交，设两交点分别为A(X1, yj, B(X2,y2)，则直线被椭圆截得的弦长|AB| 斤帆 X2I J(1 k2)(x1 x2)

3、2 4x1x2。四.双曲线的方程与渐近线方程的关系2X(1 )若双曲线方程为a2y_2渐近线方程:2 x 2 a(2)若渐近线方程为yab22Xy2.2ab22Xy2.2ab(3)若某双曲线与已知的双曲线(五.等轴双曲线 比如x 型:双曲线可设为0，焦点在1有公共渐近线,0，焦点在未知型的等轴双曲线常设为x2-y2=它的实轴和虚轴的长都等于2a。这时,1(ab 0)中,2 x 2 a2 y b2x轴上,双曲线可设为x轴上,0，焦点在y轴上).2 2Xy2.2ab0，焦点在y轴上).当a=b,那么双曲线的方程为x2y2=a2.0，焦点在x轴上,0 ,焦点在y轴上).特征矩形为：四条直线x= &#

4、177;,y= a成正方形。等轴双曲线的性质：(1)渐近线方程为：土江；(2)渐近线互相垂直；(3)离心率忘=运。定义:471.若 a RX 5 2 y2 Jxy2表示什么曲线?sin A 3sinC，15，2变式：设尽&是双曲线和220 1的焦点点P是双曲线上的点，若改成：J X 52 y2 Jx 52 y26 ?2 .已知 ABC 的顶点 A0, 4、B 0,4，且 4 sinB则顶点C的轨迹方程是2 23.双曲线- 乞1上一点P到左焦点的距离为169那么该点到右焦点的距离为点P到焦点Fi的距离等于9，求点P到F2的距离。利用标准方程确定参数1.求双曲线25x2 4y2100的实半

5、轴长虚半轴长，焦点坐标焦距离心率2 22 .若方程-匚1k 25 k表示X型双曲线，则k的取值范围是表示y型双曲线，则k的取值范围是表示双曲线，则k的取值范围是3.已知双曲线8kx2 ky2 8的一个焦点为3,0 , k为2 2 2 24.椭圆寻1与双曲线亍七1有相同的焦点，则a的值是5.已知双曲线的焦点分别为（0, 2）、（0,2）,且经过点P（ 3,2），则双曲线的标准方程是变式：与椭圆4X2 9y2 36有相同焦点,且过点3,2的双曲线方程6.等轴双曲线的一个焦点是Fi6,0，则它的标准方程是二.焦点二角形2 2 21.设椭圆自七1和双曲线x3y2 1的公共焦点为Fi、fP是两曲线的一个

6、公共点，则cosFiPF2等于2 22: F1,F2是双曲线 1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，169那么PF2 QF2 PQ的值为变式：设F1、F2是双曲线的两个焦点，且|吋218,过Fi的直线交双曲线的同一支于 M、N两点，若|MN| 10 ,MF2N的周长为48 .则满足条件中的双曲线的标准方程是23.设F1,F2为双曲线-y2 1的两个焦点，点P在双曲线上且满足FiPF2 900，贝J F1PF2的面积是（2 2变式：设f1，f2是双曲线1L 1的两个焦点，点P在双曲线上,且 FiPF2 60°，求 F1PF2 的面积。四. 渐近线方程 1.双曲线3x2 y2 3的渐近线方程是

7、2.双曲线16x2 9y2144的渐近线的方程是3.双曲线的渐近线方程为x 2y 0,焦距为10 , 这双曲线的方程为 4.如果双曲线经过点P(6j3)，渐近线的方程为y ,3则此双曲线的方程为2变式：过点(2伍3),且与双曲线162? 1有相同的渐近线的双曲线方程是五. 离心率问题 1.已知双曲线的中心在原点，焦点Fi,F2在坐标轴上，离心率为42， 且过点(4,局，求此双曲线的方程;22A2.已知双曲线务 占1(a 0,b 0)的离心率e 5，虚半轴长为2 ,a b4求双曲线的方程。2 23.若双曲线筈与1(a 0,b 0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长,a b则双曲线的离心率为4.双曲线的渐近线方程为y |x，则其离心率为2 25.双曲线笃爲1 ( a 0, b 0)的左、右焦点分别是Fi, F2 ,a b过Fi作倾斜角为30。的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴, 则双曲线的离心率为6.已知Fi,F2是双曲线的两个焦点，PQ是过点Fi且垂直于实轴所在直线的双曲线的弦，PF2Q 900，则双曲线的离心率为2 2变式：已知Fi, F2分别是双曲线 笃