GCT数学第一部分

1、GCT数学串讲主讲人：许琦 试题结构1. 题型：选择2. 题量：25题，每题4分3. 内容：算术、代数、几何、一元微积分、线性代数4. 分值覆盖比例：算术、代数、几何15题（60分）一元微积分、线性代数10题（40分）5. 难易程度：容易题一般题较难题40分40分20分数学解题必知公式第一章 算 术【备考要点】算术部分重点考查的是数的概念和性质，四则运算及运用，比和比例。这部分看似简单，但往往有考生在简单题目上出错，所以在解题过程中要比其它题目更加细心。【解题技巧】（一）必知公式1. 数的概念与性质自然数：0，1，2，整数：，2，1，0，1，2， 分数：将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一

2、份或几份的数叫做分数。 百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，通常用“”来表示。 数的整除：当整数a除以非零整数b，商正好是整数而无余数时，则成 a能被b整除或b能整除a。 倍数，约数：当a能被b整除时，称a是b的倍数，b是a的约数。 素数：只有1和它本身两个约数的数。 合数：除了1和它本身还有其它约数的数； 互质数：公约数只有1的两个数称为互质数。2. 数的四则运算数的加、减、乘、除法运算定律：加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 运算性质：交换性质 结合性质 3. 比和比例比的定义：两个数相除，又称为这两个数的比，即；比的性质：比的前项与后项同乘（除）

3、以同一个非零的数，其比值不变。比例的定义：两个比相等时，称为比例，用字母表示为或比例的性质：（外项积内项积）或（互换外项或内项）（合比定理）（分比定理）【历年真题】【答案】A （分式）【解析】【答案】C （分式）【解析】 等差数列的部分和但是考试的时候解这道题目的时候可以用估计的方法：3已知，则（ ）。Aa>b>cBb>c>aCc>a>bDc>b>a【答案】D （分数）【解析】，由得故a<b<c4的值是（ ）。ABCD【答案】A (分式)【解析】细心观察一下此题很有规律。原式=故A为正确答案5.的值是（ ）。ABCD【答案】D （分式

4、）【解析】分子为；分母是一个首项为20=1，公比为2的等比数列，求和得：。题中原等式=，故应选D。 6（ ）。A10B11C12D13【答案】B （分式）【解析】等差数列求和公式分子=分母=-5+11=6原式=7记不超过10的素数的算术平均数为M，则与M最接近的整数是（ ）A2B3C4D5【答案】C （素数）【解析】不超过10的素数为2，3，5，7；M=，故与M最接近的整数为4。81 000 m的大道两侧从起点开始每隔10 m各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要（ ）。A树200棵，花200盆B树202棵，花200盆C树202棵，花202盆D树200棵，花202盆【答案】B （植树问题

5、）【解析】，则一侧树的棵数为100+1=101，花的盆数为100，故两侧乘以2，故选B。9在一条长3 600 m的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔40 m原已挖好一个坑。现改为每隔60 m立一根电线杆，则需要重新挖坑和填坑的个数分别是（ ）。A50和40B40和50C60和30D30和60【答案】D （植树问题）【解析】每隔40 m挖坑的数为：3 600 ¸40+1=91每隔60 m挖坑的数量为：3 600 ¸60+1=61由于40与60的最小公倍数为120，可知挖重叠的坑的数量为：3 600 ¸120+1=31因此需要重新挖坑的数量为：61-31=30填

6、坑的数量为：91-31=60故选D。10若某单位员工的平均年龄为45岁，男员工的平均年龄为55岁、女员工的平均年龄为40岁，则该单位男、女员工人数之比为( )A. 2：3 B. 3：2C. 1：2 D. 2：1【答案】C （比例问题）【解析】假设男员工人数是，女员工人数是。根据题意可知。所以 。即男、女员工人数之比为。11某工厂月产值3月份比2月份增加10%，4月份比3月份减少10%，那么（ ）。A4月份与2月份产值相等B4月份比2月份产值增加C4月份比2月份产值减少D4月份比2月份产值减少【答案】D （比例问题）【解析】设2月份产量为1，则3月份产量为1.1，4月份产量为0.99，故4月份比

7、2月份产量减少。 12.在实验室密闭容器培育某种细菌，如果该细菌因每天的密度增长1倍，它在20天内密度增长到4百万株/m3，那么该细菌密度增长到百万株/m3时用了( )天A 2 B4 C8 D16【答案】D （比例问题）【解析】假设第一天的细菌密度是，由题意可知第天的细菌密度是。由（百万株），及（百万株），得。 13若某公司有10个股东，他们中任意6个股东所持股份的和都不少于总股份的50，则持股最多的股东所持股份占总股份的最大百分比是( )A25 B30 C 35 D40【答案】A （比例问题）【解析】任意6个股东所持股份的和都不少于总股份的50，每个股东所持股份所持股份都不少于50，所以除最

8、大股东外其余九人所持股份要不少于50，因此最大股东所持的股份最多为。 14图中，大长方形被平行于边的直线分成了9个小长方形其中位于角上的3个小长方形的面积已经标出，则角上第4个小长方形的面积等于（ ）。A22B20C18D11.25【答案】B （比例问题）【解析】上下对应的长方形底边相等，左右对应的长方形侧边相等。则上下或左右长方形面积比相等。即或（x为第4个小长方形的面积），得到x=20，故应选B。15一个容积为10升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出a升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出a升溶液后再用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为49%，则每次的倒出量a为（ ）升

9、。A2.55B3C2.45D4【答案】B （比例问题）【解析】量杯中剩余的酒精量为1049%=10，整理得。解方各得或（舍去），故应选B。16甲、乙两种茶叶以x：y（重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤50元，乙种每斤40元，现甲种茶价格上涨10%，乙种茶价格下降10%后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则x：y等于（ ）。A1：1B5：4C4：5D5：6【答案】C （比例问题）【解析】价格变化前成品价格为元价格变化时成品价格可表示为元浮动前后成品价格保持不变解得5x=4y，得x：y=4：517在一条公路上，汽车A，B，C分别以80、70、50 km/h的速度匀速行驶，汽车A从甲站开向乙站，同

10、时车B， C从乙站出发与车A相向而行开往甲站，途中车A与车B相遇2h后再与车C相遇，那么甲、乙两站相距（ ）。A2 010 kmB2 005 kmC1 690 kmD1 950 km【答案】D （运动问题）【解析】设A，B相遇时所用时间为th，则A，C相遇所用时间（t+2）h，有（70+80）t =（80+50）（t+2）Þ t=13h，因此甲、乙两站距离为（70+80）´13=1 950 km18甲乙两人沿同一路线骑车（匀速）从A区到B区，甲需用30min，乙需用40min。如果乙比甲早出发5min去B区，则甲出发后经（ ）min可以追上乙。A25B20C15D10【答案

11、】C（运动问题）【解析】因为s=vt，所以（当s不变时）。从A区到B区，甲需用30min，乙需用40min，则。乙比甲早出发5min去B区，设甲出发经t分钟可以追上乙，因路程相同，则t=15，故应选C。 19.甲、乙两车分别从A，B两地同时相向开出，甲车的速度是50千米时，乙车的速度是40千米时当甲车驶到A，B两地路程的，再前行50千米时与乙车相遇A，B两地的路程是( )千米 A210 B. 215C. 220 D. 225【答案】D （运动问题）【解析】 20某项工程8个人用35天完成了全工程量的，如果再增加6个人，那么完成剩余的工程还需要的天数是（ ）。A18B35C40D60 【答案】C

12、 （工程问题）【解析】根据题意，设需天完成。则有：故选C。21对任意两个实数a，b，定义两种运算：和算式（57）5和算式（57）7分别等于（ ）。A5和5B5和7C7和7D7和5【答案】B 【解析】 aÅb的结果是a与b中的较大者，aÄb的结果则取较小者，则算式（5Å7）Ä5=5，（5Ä7）Å7=7，故应选B。22A、B、C、D、E五支篮球队相互进行循环赛，现已知A队已赛过4场，B队已赛过3场，C队已赛过2场，D队已赛过1场，则此时E队已赛过（ ）。A1场B2场C3场D4场【答案】B【解析】由于A队赛4场，故A必须与其他四队B、C、D

13、、E都赛；D队已赛1场，D队只与A队赛；B队已赛3场，B队与A、C、E分别赛；C队已赛2场，C队与A、B分别赛。所以E队已赛2场第二章 初等代数  这部分主要考查代数等式和不等式的变换和计算。包括：实数和复数；乘方和开方；代数式的运算和因式分解；方程和不等式的解法；数学归纳法，数列；二项式定理，排列，组合和概率及统计的基本知识等。第一节 数和代数式【备考要点】 数与代数式部分主要考察实数和复数的概念和简单的性质，以及它们的四则运算与运用，来培养数学的运算能力。根据数的概念、公式、原理、法则，进行数、式、方程的正确运算和变形；通过已知条件分析，寻求与设计合理、简捷的运算途径。【解题技巧

14、】（一）必知公式1 实数的运算（1） 乘方与开方（乘积与分式的方根、根式的乘方与化简） ， ， ， .（2） 绝对值的性质 ，.2 复数（1） 基本概念：虚数单位是；对复数的模长是，幅角，其中；它的实部是，虚部是。它的共轭复数是。（2） 基本形式代数形式：，三角形式：，指数形式：（3） 复数的运算及其几何意义加法：，数乘：，乘法：， ，除法：3 代数式（单项式、多项式）（1） 几个常用公式（和与差的平方，和与差的立方，平方差，立方和，立方差等），（2） 简单代数式的因式分解（3） 多项式的除法【历年真题】【答案】A （复数的运算）【解析】，。2.复数z=i+i2+ i3+ i4+ i5+ i6

15、+ i7，则|z+i|=（ ）。A1BCD2【答案】B【解析】复数z =i+i2+i2×i+i2×i2+i2×i2×i+i2×i2×i2+i2×i2×i2×i=i-1-i+1+i-1-i=-1，则，故应选B。3是（ ）。AiBiC1D1【答案】A【解析】因为，所以。复数，故其共轭复数，应选A。4. 若复数则( ). A B5 C4 D2【答案】B【解析】第二节 集合、映射和函数【备考要点】集合、映射和函数主要考察集合的概念，集合的子交并补的性质；函数的概念，及函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的判断和应

16、用；幂函数、指数函数、对数函数的初等性质。以此来培养数学的逻辑推理能力： 对数学问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；能用演绎、归纳和类比进行推理。【解题技巧】（一）必知公式1集合（1）概念空集；集合的表示法：；几个常用的集合：N，Z，Q，R，C。（2）包含关系子集；真子集；两个集合相等的条件且；子集的个数的计算。（3）运算交集、并集、补集、全集、运算律、摩根律：， 2函数（1）概念函数的两个要素是：定义域和对应法则。反函数的概念，若在原函数的图像上，则在它的反函数图像上。（2）简单性质函数的四个性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性的定义和判断的方法。有界性：； 奇偶性：奇函数

17、：， 偶函数：；周期性：。一个关于周期函数的重要的变换：（4） 幂函数、指数函数、对数函数的定义、性质、图像和常用公式。，【历年真题】1集合的子集的个数为（ ）。A18B16C15D14【答案】B【解析】总的组合数为，也即子集数为16个。都出现即为该集合本身，都不出现即为空集Æ。故正确答案为B。2100个学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没有手机的共有（ ）人。A25B15C5D3【答案】D （集合）【解析】88人有手机,其中有手机没电脑的共15人,.则既有手机又有电脑的有88-15=73人.则有电脑没有手机的有76-73=3人

18、.3. 函数y=f(x)是定义在(-，+)上的周期为3的周期函数，图3表示的是该函数在区间-2，1上的图像. 则的值等于( ) A-2 B0 C2 D4【答案】C （周期函数的函数值）【解析】【答案】A （函数的性质）【解析】，。由，解得。5 如图5所示，边长分别为1和2的两个正方形，放在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形设从小正方形开始穿人大正方形到恰好离开大正方形所用的时间为to，大正方形内除去小正方形占有部分之后剩下的面积为S(空白部分)，则表示S与时间t函数关系的大致图像为( ) 【答案】A （函数的图像）【解析】所剩面积的最小值为，利用排除法即知正确选项为A。6

19、. 在直角坐标系中，若直线y=kx与函数y=，的图像恰有3个不同的交点则k的取值范围是( ) A(,0 B(0， C. (，2) D2，+)【答案】A （函数的图像）【解析】7函数（a¹0）与的图像关于（ ）。A直线x-a=0对称B直线x+a=0对称Cx轴对称Dy轴对称【答案】D【解析】令f（x）=x，有得图像如下：所以图像关于y轴对称。故选D。第三节 代数方程和简单的超越方程【备考要点】 代数方程和简单的超越方程主要考察方程的求解，函数性质在方程中的应用。来培养数学的综合解决问题的能力：理解和分析用数学语言所表述的问题，列出方程；综合应用数学的知识和思想方法解出方程。【解题技巧】（

20、一）必知公式1一元一次方程、二元一次方程一元一次方程的形式是 ，其中，它的根为.二元一次方程组的形式是，如果，则方程组有唯一解.2 一元二次方程 一元二次方程的形式是（1） 判别式：（2） 求根公式：（3） 根与系数的关系：，(韦达定理)（4） 二次函数的图像以为对称轴，为顶点的抛物线。3 简单的指数方程和对数方程例如：等，像这样的方程可用换元法化为代数方程来求解。【历年真题】1设p为正数，则=（ ）。ABCD【答案】C （二次方程）【解析】此题看起来很复杂，有未知数存在，但如果我们应用韦达定理问题就简单多了，因为p为正数，故两根之和为负数，故C为正确答案。2若图3中给出的函数y=x2+ax+

21、a的图像与x轴相切，则a=( )A0 B.1 C 2 D4【答案】D （二次方程）【解析】由于的图像与轴相切，所以。由图知，所以。3两个不等的实数a与b，均满足方程x2-3x=1，则的值等于（ ）。A-18B18C36D-36【答案】D（二次方程）【解析】a、b是方程x2-3x-1=0的两个不等实根，由韦达定理得。因，故应选D。本题不必求出a，b，直接利用根与系数的关系更为简便易行。4设二次函数f (x)=ax2+bx+c的对称轴为x=1，其图像过点（2，0），则=（ ）。A3B2C-2D-3【答案】D【解析】因为二次函数的对称轴为，且图象过点（2，0）。所以得到即。又 则，故应选D。5图1直

22、角坐标系xOy中的曲线是二次函数Y=f(x)的图像，则f(x)=( ) A-x2-6x-5 B-x2+6x-5 Cx2+4x-5Dx2-4x-5 【答案】D（二次函数）【解析】显然图像与轴的交点的横坐标为，和，故由二次函数的两点式知道表达式应该为这样就可以得到答案为B。或者直接由开口向上，直接排除AC选项，再找个点代入BD选项就可以得到结果。6100个学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没有手机的共有（ ）人。A25B15C5D3【答案】D （方程组）【解析】设这100个学生中有电脑但没有手机的共有人，既有电脑又有手机的共有人。则由已知得：

23、，解得：=3，=73。故正确答案为D。也可以用集合的方法。7方程的解为（ ）。ABCD【答案】C （方程组）【解析】；又，则有，解得，故应选C。8当x¹-1或x¹-2时，恒成立，则（ ）。Am=-2，n=3Bm=-3，n=2Cm=2，n=-3Dm=3，n=-2【答案】A （方程组）【解析】当x¹-1和x¹-2时，恒成立，即对应系数相等，即，解得，故应选A。9方程x2-2 006=2 007所有实数根的和等于（ ）。A2 006B4C0D-2 006【答案】C （方程）【解析】方法一，直接求解。原方程等价于方程组由得：（舍去），=2 007；由得：=1（舍

24、去），。故应选C。方法二，函数为偶函数，则方程的根关于轴对称且成对出现，故这些根的和为0 。10函数y=ax2+bx+c（a¹0）在0，+¥）上单调增的充分必要条件是（ ）。Aa<0且b0Ba<0且b0Ca>0且b0Da>0且b0【答案】C 【解析】根据二次函数图像性质知，函数y=ax2+bx+c在0，+¥）上是单调增函数的充分必要条件必须满足，故选C。11已知实数x和y满足条件= -1和=1，则x101+y101的值是（ ）。A-1B0C1D2【答案】A【解析】由已知可得：所以x101+y101=-1第四节 不等式【备考要点】 不等式主要

25、考察不等式的解法和不等式的应用。来培养数学的计算能力和综合解决问题的能力。【解题技巧】（一）必知公式1. 不等式的基本性质及基本不等式：算术平均数与几何平均数、绝对值不等式。2. 几种常见的不等式解法绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式等。【历年真题】1某校有若干女生住校，若每间房住4人，则还剩20人未住下，若每间住8人，则仅有一间未满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ ）。A4B5C6D7【答案】C (不等式)【解析】设该校有女生宿舍x间，则共有个女生，本题也可以用代值的方法计算。第五节 数列【备考要点】 数列主要考察数列的概念，等差数列和等比数列的求和及应用。数学

26、归纳法是一种重要的证明关于自然数问题的方法。以此来培养综合解决问题的能力。【解题技巧】（一）必知公式1. 数列的概念数列的形式： 通项为，前n项和为 ，2.等差数列（1） 概念 定义：，通项：，前n项和：（2） 简单性质：中项公式、平均值 ， 3.等比数列（1） 概念定义：，通项：，前n项和：（2） 简单性质：中项公式： 【历年真题】1（ ）。ABCD【答案】C （等比数列、等差数列）【解析】原式=+=，故应选C。2设n为正整数，在1与n+1之间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列，则所插入的n个正数之积等于（ ）。A(1+n) B(1+n)nC(1+n)2nD(1+n)3n【答案】A（等比

27、数列）【解析】设这个数组成的等比数列的公比为，数列记为，则。其中，故。这个数均为正数，则。所插入的n个正数之积即，又，所以。故应选A。3. 若两个正数的等差中项为15，等比中项为12则这两数之差的绝对值等于( ) A18 B10C9 D7【答案】D （等比数列、等差数列）【解析】4. 图4是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字构成规律，图中第八行所有中应填数字的和等于( ) A96 B128 C256D. 312【答案】B【解析】5设，则=（ ）。A2B1C0D-1【答案】B（数列）【解析】Sn=1-2+3-4+（-1）n-1n=S2 004= -1 002S2 005=因此：第六节 排列、组合

28、、二项式定理和古典概率【备考要点】 排列、组合、二项式定理主要是为概率论来服务的，主要考察排列和组合的定义。古典概率是现代概率的基础，主要考察等可能事件概率的计算。以此来培养理解实际问题和解决问题的能力。【解题技巧】（一）必知公式1 加法原理如果完成一件事可以有n类办法，在第i类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。2 乘法原理如果完成一件事需要分成n个步骤，做第i步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。3 排列与排列数（1） 定义：从n个不同的元素中任取m个，按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的一个排列；所有这些排列的个数，称为排列数，记为。（2）

29、 排列数公式：注：阶乘（全排列）4 组合与组合数定义：从n个不同的元素中任取m个并成一个组，称为从n个元素中取出m个元素的一个组合；所有这些组合的个数，称为组合数，记为。（1） 组合数公式：（2） 基本性质：，5 二项式定理6 概率的基本概念样本空间、样本点、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对立事件。7 概率的概念与性质（1） 定义（非负性、规范性、可加性）；（2） 性质:，7几种特殊事件发生的概率（1）等可能事件（古典概型） （2）互不相容事件 对立事件 （3）相互独立事件 （4）独立重复试验 如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试

30、验中这个事件恰好发生k次的概率为【历年真题】1若从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中任意取3个不同的数，则它们能构成公比大于1的等比数列的概率是( )【答案】B （古典概型）【解析】从中任取个不同的数所有取法共有，其中能构成公比大于的等比数列的是；共组。所以要求的概率是。2有两个独立的报警器，当紧急情况发生时，它们发出信号的概率分别是0.95和0.92，则在紧急情况出现时，至少有一个报警器发出信号的概率是（ ）。A0.920B0.935C0.950D0.996【答案】D （事件的独立）【解析】设事件A为“其中一个报警器发出信号”，事件B为“另一个报警器发出信号”，则P(A)=0

31、.95，P(B)=0.92。事件A、B至少有一个发生的对立事件为两个均不发生，此事件的概率为：1-1-P(A)1-P(B)=1-(1-0.95)´(1-0.92)=0.996。故应选D。348支足球队，等分为8组进行初赛，每组中的各队之间都要比赛一场，初赛中比赛的总场数为（ ）。A288B240C120D48【答案】C （排列组合）【解析】48支足球队，等分为8组，则每组6支足球队。每组比赛场数为：。每组要比15场，共有8组，则初赛的场次共有8´15=120场，故应选C。4桌上有中文书6本、英文书6本、俄文书3本。从中任取3本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各1本的概率是（

32、 ）。ABCD【答案】C （古典概型）【解析】从桌上所有的书（共15本）中任取3本的方式有种，3本中每样各一本的取法共有种，则所求概率为。故应选C。5. 甲盒中有200个螺杆，其中A型的有160个；乙盒中有240个螺母，其中A型的有180个从甲乙两盒中各任取一个零件，能配成A型螺栓的概率为( )A B C D【答案】A【解析】 6一批产品的次品率为0.1，逐件检测后放回，在连续三次检测中至少有一件是次品的概率为（ ）。A0.271B0.243C0.1D0.081【答案】A【解析】抽三次正品的概率为0.93=0.729，故至少有一件是次品的概率为1-0.729=0.271。第三章 几何与三角这部

33、分主要考查 三角形、四边形、圆形以及多边形等平面几何图形的角度、周长、面积等计算和运用；长方体、正方体以及圆柱体等各种规范立体图形的表面积和体积的计算和运用；三角学；以及解析几何方面的知识等。第一节 三角学【备考要点】三角学部分重点考查的是三角函数的定义及，常用的三角函数恒等式，反三角函数的定义及性质，熟练掌握特殊角的三角函数值也是很有必要的。【解题技巧】（一） 必知公式1定义（符号、特殊角的三角函数值）2三角函数的图像和性质3常用的三角函数恒等式，（奇变偶不变，符号看象限）4反三角函数，； ，；，； ，5正弦定理和余弦定理（1）正弦定理（2）余弦定理；【历年真题】1. 等腰ABC中

34、，AB=AC=，底边BC>3，则顶角的取值范围是( ) A. (0，) B() C() D. ()【答案】D【解析】2. 在边长为10的正方形ABCD中，若按图5所示嵌入6个边长一样的小正方形，使得P，Q，M，N四个顶点落在大正方形的边上则这六个小正方形的面积之和是( ) A B C D【答案】D【解析】设MN=,则由图可得则【答案】C（三角函数）【解析】第二节 平面几何图形【备考要点】平面几何部分重点考查的是三角形、四边形、圆形以及（正）多边形等平面几何图形的角度、周长、面积等计算和运用；【解题技巧】（一）必知公式1三角形（1）三角形内角之和 三角形外角等于不相邻的两个内角之和。（2）

35、三角形面积公式，其中是边上的高，C是边所夹的角，为三角形的半周长。（3）三角形三边关系：两边之和大于第三边，即 两边之差小于第三边，即（4）几种特殊三角形（直角、等腰、等边）勾股定理：等腰直角三角形的三边之比：2四边形（1）矩形（正方形）矩形两边长为，面积为，周长，对角线长。（2）平行四边形（菱形）平行四边形两边长是，以 为底边的高为，面积为，周长。（3）梯形 上底为，下底为，高为，中位线，面积为。3圆和扇形（1）圆 圆的圆心为O,半径为r，直径为d,则周长为面积是。（2）扇形 扇形OAB中，圆心角为，则AB弧长扇形面积 【历年真题】1在四边形中对角线AC，BD垂直相交于点，若，则四边形的面积

36、为（ ）。A1 080B840C720D540【答案】D （面积）【解析】因为所以故D为正确答案。2一个直圆柱形状的量杯中放有一根长为12cm的细搅棒（搅棒直径不计），当搅棒的下端接触量杯下底时，上端最少可露出杯中边缘2cm，最多能露出4cm，则这个量杯的容积为（ ）cm3。A72pB96pC288pD384p【答案】A【解析】h=12-4=8cm，l=12-2=10cm，则量杯的底面圆直径cm，即r=3cm。量杯的体积为：，故应选A。3如图所示，小半圆的直径EF落在大半圆的直径MN上，大半圆的弦AB与MN平行且与小半圆相切，弦AB=10cm，则图中阴影部分的面积为（ ）cm2。A10B12.

37、5C20D25【答案】B （面积）【解析】设大半圆和小半圆的半径分别为R和r。因为AB/MN，则大半圆圆心到弦AB的距离为AB与MN间的距离，又因为AB与小半圆相切，则这个距离为。得到。阴影部分面积=cm2。故应选B。 4. 如图2，长方形ABCD中，AB=a，BC=b(b>a)若将长方形ABCD绕A点顺时针旋转90°，则线段CD扫过的面积(阴影部分)等于( ) A B C D【答案】B （面积）【解析】实际上把长方形上面的阴影部分移到右侧，恰好跟原来的阴影部分构成一个四分之一圆环，也就是两个圆的中间部分的四分之一。看到这一点，答案就很容易得出是B 。 5如果图2中四边形ABC

38、D顶点的坐标依次为A(-2，2)，B(-1，5)，C(4，3)，D(2，1)，那么四边形ABCD的面积等于( )A16.5 B15 C13.5 D12【答案】C （面积）【解析】如图 6正三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F，G分别是DE，BC的中点已知BD=8厘米，CE=6厘米，则FG=( )厘米【答案】C （三角形三边关系）【解析】法1：取三角形的边长为，这时与重合，点在边上。由，,得 。即。法2：取三角形边长为，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，则，所以，。 7如图，BAF=FEB=EBC=ECD=90°，ABF=30°，BFE=45°，BCE=

39、60°且AB=2CD，则tanCDE=（ ）。ABCD【答案】A （三角形）【解析】在RtABF中，AB =2CD且ÐABF =30°，则；又在RtEBF中，ÐBFE=45°，；在RtBEC中，ÐBCE=60°，；在RtCDE中，故应选A。8ABC中，A:B:C=3:2:7，如果从AB上的一点D做射线l，交AC或BC边于E点，使ADE=60°，且l分ABC所成两部分图形的面积相等，那么（ ）。Al过C点（即E点与C重合）Bl不过C点而与AC相交Cl不过C点而与BC相交Dl不存在【答案】B （三角形）【解析】在ABC

40、中，ÐA:ÐB:ÐC=3:2:7且ÐA+ÐB+ÐC=180°，故有ÐA=´180°=45°，ÐB=´180°=30°，ÐC=´180°=105°。考虑临界位置，即C与E重合，此时由于ÐADE=60°，则ÐACD=75°，ÐDCB=30°，且得到DC=DB。在ACD中，因为75°> 45°，所以AD>DC=DB。SBC

41、D=SABC 。又因ÐADE=60°恒成立，欲使DE分ABC为面积相等的两块，DE应向左下方平移，即射线l不过C点而与AC相交，故应选B。9已知长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平如图所示，则阴影三角形的面积等于（ ）。A8B10C12D14【答案】B【解析】如图所示。根据图形对称性得：因为所以。在ABE中，=，即=解方程得：AE=3。阴影BED的面积ABED= AABD- AABE。故应选B。10如图所示，垂直于地平面竖立着一块半圆形的木板，并使太阳的光线恰与半圆的直径AB垂直，此时半圆板在地面的阴影是半个椭圆面。已知地面上阴影的面积与木板面积之比等于，那

42、么光线与地平面所成的角度是（ ）。A15°B30°C45°D60° 【答案】B【解析】 过线段AB的中点O在木板半圆面内作OCAB交半圆于点C，则OC=。同理在椭圆面内作ODAB交椭圆于点D，连接CD。OD是椭圆的半长轴，长度设为，且D点是C点的投影点，则CD平行于光线，即ODC为光线与地平面所成的角。因为ABOC，ABOD，所以COD为两面夹角，又木板面垂直于地面，则COD=90°。半圆面积为，半椭圆的面积为，因为，则。在RtCOD中，ODC=30°，故应选B。11过点P（0，2）作圆x2+y2=1的切线PA、PB，A、B是两个切点

43、，则AB所在直线的方程为（ ）。ABCD【答案】D【解析】如右图所示，=1，=2，ÐAOP=60°，=。12如图，正方形ABCD的面积为1，E和F分别是AB和BC的中心，则图中阴影部分面积为（ ）。ABCD【答案】C【解析】因E、F分别为AB、BC的中点，所以DE和DF交AC于M，N等分AC，故SAMD=SDMN=SDNC（等底等高），SAMD+SDNC=SBEF+S梯形MNEF=S阴影=第三节 平面解析几何【备考要点】平面解析几何部分重点考查的是平面直线方程，直线之间的位置关系及点到直线的距离，常见圆锥曲线，如椭圆，抛物线和双曲线的方程及性质。【解题技巧】（一） 必知公式

44、一、平面直线1直线方程点斜式：；斜截式：；截距式：；一般式：2两条直线的位置关系（相交、平行、垂直、夹角）：； ：3点到直线的距离：，点到的距离为二、圆锥曲线1圆：到一定点距离相等的点的集合方程：2椭圆（1）定义：到两点距离之和为一常数的点的集合。（2）方程：，其中， 为焦点；（3）离心率：（4）准线： 3双曲线（1）定义：到两点距离之差为一常数的点的集合。（2）方程：， 为焦点；（3）离心率：（4）渐近线：（5）准线： 4抛物线（1）定义：到一定点与到一定直线的距离相等的点的集合。（2）方程：，焦点为， （3）离心率：（4）准线：【历年真题】1如果图1中给出了平面直角坐标系中直线l:y=ax

45、+b的图像，那么坐标为(a，b)的点在( ).A.第1象限 B第象限 C.第象限 D.第象限【答案】B （直线）【解析】由图可知，所以，所以所以坐标为的点在第象限。【答案】D （双曲线）【解析】由图可知，切线的斜率为。故。解得。3P (a，b)是第一象限内的矩形ABCD（含边界）中的一个动点，A，B，C，D的坐标如图所示，则的最大值与最小值依次是（ ）。A，B，C，D，【答案】A （斜率）【解析】的值相当于线段OP所在直线的斜率。在第一象限内此斜率随着倾斜角的增大而增大。因此从右图中可以看出：当P点与A点重合时，OP斜率最大，即；当P点与C点重合时，OP斜率最小，即。故应选A。4在平面上给定线

46、段AB=2，在上的动点C，使得A，B，C恰为一个三角形的3个顶点，且线段AC与BC的长是不等的两个正整数，则动点C所有可能的位置必定在某（ ）上。A抛物线B椭圆C双曲线D直线【答案】C【解析】因为A、B、C恰为三角形的3个顶点，所以。又线段AC与BC的长是不等的两个正整数，则是一个正整数且它的值小于2，所以，=2，符合双曲线的定义，故动点C必在某双曲线上，即应选C。5. 设双曲线=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2若P是该双曲线右支上异于顶点的一点则以线段PF2为直径的圆与以该双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是( ) A外离 B相交C外切 D内切【答案】C （双曲线）【解析】双曲线性质：