《大学物理》波动

1、 波动波动 (Wave)(Wave) 4.2.1 4.2.1 行波、行波方程行波、行波方程4.2.2 4.2.2 简谐波简谐波4.2.3 4.2.3 物体的弹性形变物体的弹性形变4.2.4 4.2.4 波动方程和波速波动方程和波速4.2.5 4.2.5 波的能量波的能量4.2.6 4.2.6 波的叠加波的叠加 4.2.8 4.2.8 惠更斯原理惠更斯原理4.2.7 4.2.7 驻波驻波 海啸海啸4.2.10 4.2.10 多普勒效应多普勒效应 4.2.9 4.2.9 声波声波 振动在空间的传播过程叫做波动振动在空间的传播过程叫做波动常见的波有常见的波有: : 机械波机械波 , , 电磁波电磁波

2、 , , 机械波：机械振动在媒质中的传播过程。机械波：机械振动在媒质中的传播过程。电磁波：变化的电场和变化的磁场在空间的传播过程电磁波：变化的电场和变化的磁场在空间的传播过程4.2.1 4.2.1 行波、行波方程行波、行波方程一一. . 机械波的产生机械波的产生1. 1. 产生条件产生条件: : 波源波源 媒质媒质2. 2. 弹性波弹性波: :机械振动在弹性媒质中的传播机械振动在弹性媒质中的传播横波：横波： 质点的振动方向和波的传播方向垂直质点的振动方向和波的传播方向垂直波形特征：波形特征：x波峰波峰波谷波谷u存在波峰和波谷存在波峰和波谷。编辑ppt纵波：纵波：质点的振动方向和波动的传播方向相

3、平行质点的振动方向和波动的传播方向相平行波形特征：波形特征： 存在相间的稀疏和稠密区域。存在相间的稀疏和稠密区域。4-30稠密稠密稀疏稀疏声波是一种纵波声波是一种纵波二二. . 行波、行波方程行波、行波方程uxyt=0oxutx1、 t=0 时时)(xfy2、 t=t 时时)(xfyyyutxx因为因为)(utxfy为行波方程为行波方程txyouxy如波向如波向X X负向传播负向传播)(utxfy综合有综合有)(utxfyt t 一定：一定：)()(xfutxfy表示表示 t t 时刻各质元位移（波形）时刻各质元位移（波形）x x 一定：一定：)()(tfutxfy表示表示 x x 处质元的位

4、移（振动曲线）处质元的位移（振动曲线）t t、 x x 变：变：)(utxfy为行波为行波一、简谐一、简谐波的波动过程波的波动过程简谐简谐横波的波动过程横波的波动过程4.2.2 4.2.2 简谐波简谐波t = 00481620 12 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T 简谐波简谐波: : 波源作简谐振动波源作简谐振动, , 在波传到的区域在波传到的区域, , 媒质媒质中的质元均作简谐振动中的质元均作简谐振动 。 :波长波长Tu/：波速：波速 结论：结论：(1)(1) 质元并未质元并未“随波逐流随波逐流” 波的传播不是媒波的传播不是媒 质质元的传播质质元的传播(2) “

5、(2) “上游上游”的质元依次带动的质元依次带动“下游下游”的质元的质元振动振动(3)(3) 某时刻某质元的某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻振动状态将在较晚时刻 于于“下游下游”某处出现某处出现-波是振动状态的传波是振动状态的传播播 (4) (4) 同相点同相点-质元的振动状态相同质元的振动状态相同波长波长 相位差相位差2 2 相邻相邻三三. . 波的特征量波的特征量 : : 两相邻同相点间的距离两相邻同相点间的距离2. 2. 波的频率波的频率 : : 媒质质点媒质质点( (元元) )的振动频率的振动频率 即单位时间传过媒质中某点的波的个数即单位时间传过媒质中某点的波的个数 3. 3. 波速

6、波速u u : : 单位时间波所传过的距离单位时间波所传过的距离 Tu 波速波速又称又称相速度相速度( (相位传播速度相位传播速度) )四四. 一维简谐波的表达式一维简谐波的表达式(波函数波函数)yx波谷波谷波峰波峰)cos(kxAy波峰：波峰：（1）、设）、设t=0时波形如图时波形如图nkx2波谷：波谷：) 12(nkx3 ,2, 1 ,0n相邻波峰（谷）间距为波长相邻波峰（谷）间距为波长 ， 位相差为位相差为2 2)()(kxxk/2k波矢波矢2 米内所包含米内所包含完整波的个数完整波的个数(2) 、t 时刻时刻设波沿设波沿x正向，正向，)(cosutxkAy如波沿如波沿x负向，负向，)(

7、cosutxkAy考虑波沿考虑波沿x正向情况：正向情况：coskutkxAycoskxkutA2coskxtuA)(令coskxtAuku2cosA0,0 xtcoskxtAy同理如波沿同理如波沿x负向，负向，结论：结论：coskxtAy22cosxtA)(cosuxtA质点的振动质点的振动速度：速度：)sin(kxtAtyv对于波沿对于波沿x正、负向正、负向，有多种表达式，有多种表达式式中式中负负号号对应对应波沿波沿x正向正向传传播播12)(12kxtkxt)(12xxk12, 0 xx 12, 0 xx 即即2121, xxx1点比点比x2点位相超前点位相超前yx1x2xu对于波沿对于波沿

8、x正向，设正向，设t 时时刻有位于刻有位于x1和和x2两位置两位置的质点的质点（3）、位相差）、位相差12)(1122kxtkxt)()(1212xxktt0如ukttxx1212yy2y1x1utx2xuu是位相传播的速度是位相传播的速度考虑考虑t1和和t2时时刻分别位刻分别位x1和和x2两位置质点两位置质点的位相差：的位相差：ab xxu传播方向传播方向图中图中b点比点比a点的相位点的相位落后落后xba2波是相位的传播波是相位的传播沿波的传播方沿波的传播方向向, ,各质元的相各质元的相位依次落后。位依次落后。例：例：t 时刻的波形如图所示，波向左传播，时刻的波形如图所示，波向左传播，标明各

9、质点的振动方向标明各质点的振动方向ABCDuEFG将整个曲线稍作平移将整个曲线稍作平移可知各质点振动方向如图可知各质点振动方向如图xy例：例：t 时刻的波形如图所示，波向时刻的波形如图所示，波向(1)、x正向传正向传播，播， (2)、x负向传播，求各质点的振动位相负向传播，求各质点的振动位相ABCOxycosAy（1）、）、 O点点0y0v2O波向右传播，波向右传播， A比比O点位相落后点位相落后2B0A23C解：解：ABCOXYcosAy（2）、）、 O点点0y0v2O波向左传播，波向左传播，A比比O点位相超前点位相超前2B0A23C例：例：t=0t=0时刻的波形如图所示，已知时刻的波形如图

10、所示，已知iumsmu/,2,/10求求 （1 1）、波动方程）、波动方程 （2 2）、）、P P点的振动方程、位置与振动图点的振动方程、位置与振动图 （3 3）、）、P P回到平衡位置所需的最短时间回到平衡位置所需的最短时间-0.51.00.5PPxxy(cm)u解：（解：（1）、）、)cos(kxtAycmA0.112mk110sku处0, 0 xt05 . 0vcmy5 . 0cos3/)() 3/10cos(01. 0SIxty-0.51.00.5PPxxy(cm)u(2)、)cos(PPtAy0t05 . 0PPvcmy3/43/2或P)3/410cos(01. 0tyP)cos(0

11、tAy但但且且P故故PPtkxt因为因为kxPP/ )(mP352/)(PPx3/)() 3/10cos(01. 0SIxty) 3/410cos(01. 0tyPPyt-0.50.5PPxxy(cm)u(3)、平衡位置平衡位置00PPvy2/3/410tst12/12/3/t或由旋转矢量法得或由旋转矢量法得st12/ 1/ ) 2/3/(t 例例 以以P 点在平衡位置向正方向运动作点在平衡位置向正方向运动作为计时零点，写出波动方程。为计时零点，写出波动方程。解：解：yxPoudyp=Acost)(2Acosdt)(2=+uyxup=2Acosdt2y=o+u 例例 波速波速 u =400m/

12、s, t = 0 s时刻的波时刻的波 形如图实线所示。写出波动方程。形如图实线所示。写出波动方程。uy(cm)p4532ox(m)t = 0(o点点)=Ay022v00=yv00t0(p点点)= 003=0得得：2=p得得：23uy(m)p4532ox(m)=0pp=20d0p=2d=2235()34 (m)dy=00.04cos)(2003t = 4 (m)=22002u=24004S1()()32200cos(04.0SIxty22k五五. . 平面波和球面波平面波和球面波1. 1. 波的几何描述波的几何描述波线波线波面波面波前波前( (波阵面波阵面) )平面波平面波球面波球面波球面波球面

13、波平面波平面波波波线线 波面波面同相面同相面( (波面）：波面）：平面波平面波波波线线波波阵阵面面球面波球面波波波阵阵面面波波线线在各向同性媒质中波线和波阵面垂直在各向同性媒质中波线和波阵面垂直平面波：平面波：球面波：球面波：波线：波线：波阵面：波阵面：由振动周相相同的点所组成的面。由振动周相相同的点所组成的面。某时刻波动所到达的点所组成的面。某时刻波动所到达的点所组成的面。波的传播方向波的传播方向波阵面为一球面波阵面为一球面波阵面为一平面波阵面为一平面2. 2. 平面简谐波的表达式平面简谐波的表达式沿沿+x 向传播向传播 3. 3. 球面简谐波的表达式球面简谐波的表达式 点波源点波源 各向同

14、性介质各向同性介质)cos(),(kxtAtxy)cos(),(1krtrAtry4.2.3 4.2.3 物体的弹性形变物体的弹性形变一、一、 线变线变l0l0 + l FF长变长变应力SF0 ESF杨氏模量E应变0kESF0有虎克定律虎克定律S S为棒的截面积为棒的截面积势能密度：势能密度：GSF切变模量G20021)/(/ ESWVWwppp二、二、 切变切变F切切 切变切变势能密度：势能密度：221GwpG G E E20002221)(21)(21 ESESkWp势能：势能：三、体变三、体变K K- -体积模量体积模量0VVKp容变容变P+P+ pP+V0+ V p pp+ p势能密度

15、：势能密度：2021 VVKwppVVKk0/1 k k- -压缩系数压缩系数4.2.4 4.2.4 波动方程和波速波动方程和波速一一. . 平面波波动方程平面波波动方程为波速为波速 )cos(kxtAy)sin(kxtAtyv)cos(222kxtAtya)sin(kxtkAxy)cos(222kxtAkxy22222xyuty一维简谐波的表达式就是此波动方程的解一维简谐波的表达式就是此波动方程的解具体问题具体问题(1) (1) 弹性绳上的横波弹性绳上的横波 Tu T T- -绳的初始张力绳的初始张力, , - -绳的线密度绳的线密度二、波速二、波速E E- -杨氏弹性模杨氏弹性模量量 -

16、-体密度体密度Eu (2) (2) 固体棒中的纵波固体棒中的纵波(3) (3) 固体中的横波固体中的横波 Gu G G - - 切变切变模量模量G G E E, , 固体中固体中 横波横波纵波纵波F切切 切变切变长变长变*震中震中l0l0 + l FF(4) (4) 流体中的声波流体中的声波0 ku k k- -体积模量体积模量, , 0 0- -无无声波时的流体密度声波时的流体密度 = = CpCp/ /Cv Cv , , 摩尔质量摩尔质量 RTu 理想气体理想气体: :0VVkp容变容变P+P+ pP+V0+ V p pp+ p4.2.5 4.2.5 波的能量波的能量一一. . 弹性波的能

17、量弹性波的能量 能量密度能量密度 振动动能振动动能 形变势能形变势能 += 波的能量波的能量以细绳为例以细绳为例dmdV体元内质量为体元内质量为取体积元取体积元dV，dVdm)cos(kxtAy)sin(kxtAtyv)(sin21212222kxtAdmdmvdWk动能动能dldxdydmdVyxdl)()()(22dxdydxTdxdlTdWp22)/(21) 1)/(1(xyTdxxyTdx22)/(21xydxu)(sin/uxtuAxy势能势能)(sin21212222kxtAdmdmvdWdWkpppkkwdVdWdVdWw/TdttwTw0)(1dtkxtATT)(sin1022

18、22221A2/wwwpk2221Aw能量能量密度密度)(sin222kxtAwwwpk能yxw k = w p =0w k = w p = w k m a x以细绳为例以细绳为例2221A 物理意义物理意义 )cos(kxtAy二二. . 能流能流( (能通量能通量) )、波的强度、波的强度1. 1. 能流能流( (能通量能通量) )能流能流P :单位时间通过垂单位时间通过垂直于能流方向某直于能流方向某一面积的波能。一面积的波能。 uSudtwSudtwSudtdtdWPuSASuwP22212. 波的强度波的强度I I平面简谐波平面简谐波能流能流密度密度 （波的强度）（波的强度）:单位时间

19、通过垂直于单位时间通过垂直于能流方向单位面积的波能。能流方向单位面积的波能。 uwSPIuA2221S1S2u讨论波的传播讨论波的传播对于平面波对于平面波媒质不吸收波，媒质不吸收波，一周期一周期T内内TSITSI221121SS uAuA222212212121AA 对于球面波对于球面波S1S2TSITSI2211urAruA2222221212212122221212rArACrArA221111221rCrrAA)cos(krtrCy4.2.6 波的叠加波的叠加 一一. 波传播的独立性波传播的独立性媒质中同时有几列波时媒质中同时有几列波时 , 每列波都将保持自每列波都将保持自己原有的特性己

20、原有的特性(传播方向、振动方向、频率传播方向、振动方向、频率等等), 不受其它波的影响不受其它波的影响 。 二二. 波的叠加原理波的叠加原理叠加原理叠加原理:在几列波相遇而互相交叠的区域中，某在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的振动是各列波点的振动是各列波单独单独传播传播 时在该点时在该点引起的振动的合成。引起的振动的合成。三三. . 干涉现象和相干条件干涉现象和相干条件1. 1. 干涉现象干涉现象 波叠加时在空间出现稳定的振动加强和波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布减弱的分布2. 2. 相干条件相干条件(1) (1) 频率相同频率相同(2) (2) 有恒定的相位差有恒定的相位差

21、(3) (3) 振动方向相同振动方向相同 S2S1r1r2 p S1 y10 = A10cos( t+ 10) S2 y20 = A20cos( t+ 20) p点两分振动点两分振动 y1 = A1cos( t+ 10-kr1) y2 = A2cos( t+ 20-kr2)四四. 波场的强度分布波场的强度分布1 波场中任一点的合振动波场中任一点的合振动设振动方向设振动方向 屏面屏面相位差相位差: = ( 20- 10) - k(r2-r1) 2 k强度强度A = (A12+A22 +2A1A2cos )1/2 p点合振动点合振动)cos(21tAyyy cos22121IIIII1A2AA合振

22、幅合振幅2 加强、减弱条件加强、减弱条件 加强条件加强条件 ( 相长干涉相长干涉 ) = ( 20- 10) - k(r2-r1) = 2m (m=0,1,2,)2121max2IIIII 若若 A1 = A2 ,则则21AAAImax = 4 I1则则 A = 2A1A = (A12+A22 +2A1A2cos )1/2 cos22121IIIII 减弱条件减弱条件 = ( 20- 10) - k(r2-r1) = (2m+1) (m=0,1,2,)2121min2IIIII 特例：特例： 20= 10 加强条件加强条件 减弱条件减弱条件 (相消干涉相消干涉), 2 , 1 , 0(12 m

23、mrr ), 2 , 1 , 0(2) 12(12 mmrr 21AAA 若若 A1=A2 ,则则 Imin= 0A= 04.2.7 4.2.7 驻波驻波 一、驻波：一、驻波：两列相干波沿相反两列相干波沿相反方向传播而叠加方向传播而叠加 设设x x = 0= 0处两波初相均为处两波初相均为0 0 xxtAy)2cos(1xxtAy)2cos(2txAyyy cos)2cos(221特点特点 振幅：各处不等大，振幅：各处不等大，出现了波腹和波节出现了波腹和波节波腹波腹波节波节1y2yxy驻 波波节波节波腹波腹驻 波波节波节波腹波腹驻 波波节波节波腹波腹驻 波波节波节波腹波腹驻 波波节波节波腹波腹

24、txAyyy cos)2cos(221) cos()2cos(2txA) cos(tA)2cos(2xAA 0)2cos(, 0 x0)2cos(,x振幅：振幅：位相位相波腹位置：波腹位置：波节位置：波节位置：相邻两波节（或波腹）的距离相邻两波节（或波腹）的距离:xxk+1k=2，2 , 1 , 021|2cos| kkxx 4)12(0|2cos| kxx波节波节波腹波腹驻波的特点：驻波的特点： 1. 有波节、波腹；有波节、波腹； 2. 波节两侧质点的振动周相相反，相邻两波节两侧质点的振动周相相反，相邻两 波节之间的质点振动周相相同。波节之间的质点振动周相相同。相位中没有相位中没有x坐标，没

25、坐标，没 有相位的传播有相位的传播 3. 波的波的合能流密度为合能流密度为 波强度为零，不发生能量由近及远的传播。波强度为零，不发生能量由近及远的传播。0)( uwuwx2x2用旋转矢量法分析用旋转矢量法分析0,22x,22xmax, 02AAx0,22minAAx为波腹为波腹为波节为波节考虑边界条件，边界固定考虑边界条件，边界固定l 2lllk22ullu2llk2ul2lul32ul3lu23lk3二、半波损失二、半波损失Oxy1y2O处固定为波节，处固定为波节，0)(021xyy在在O点点)cos(01tAyx)cos(02tAyx)22cos(tA入射波与反射波在边界上位相差入射波与反

26、射波在边界上位相差 ，好似，好似入射波入射波在在O处损失了半个波长处损失了半个波长)2cos(1xtAy)2cos(2xtAy但是，对于如图情况但是，对于如图情况xO)cos(0201tAyyxxO处为波腹处为波腹)cos(202010tAyyyxxxO处无半波损失处无半波损失)2cos(1xtAy)2cos(2xtAyy1y2称媒质称媒质 1 为为 波疏媒质；波疏媒质； uu2211 对于一般情况对于一般情况 若若媒质媒质1u11u22媒质媒质2媒质媒质 2 为为 波密媒质波密媒质。波疏媒质波疏媒质 波密媒质波密媒质产生半波损失产生半波损失波疏媒质波疏媒质 波密媒质波密媒质不产生半波损失不产

27、生半波损失例：如图波源例：如图波源B点的振动方程为点的振动方程为)cos(tAybBO波传播方向如图，波矢波传播方向如图，波矢k已知，写出振动方程已知，写出振动方程O比比B落后位相落后位相kbOBuOBO BO B)cos(kbkxtAyO比比B超前位相超前位相kb)cos(kbkxtAyO比比B超前位相超前位相kb)cos(kbkxtAyO比比B落后位相落后位相kb)cos(kbkxtAyy= Acosdt它向墙面方向传播经反射后形成驻波。它向墙面方向传播经反射后形成驻波。求：驻波方程，波节及波腹的位置。求：驻波方程，波节及波腹的位置。y墙墙面面p入射波入射波考虑到半波损失考虑到半波损失,反

28、射波在反射波在O点的位相要比入射波落后点的位相要比入射波落后入射波入射波 y1ox 例例 设波源（在原点设波源（在原点O）的振动方程为：）的振动方程为：)2cos(1xtAy反射波反射波 y2d22反射波的波反射波的波动方程为：动方程为：dyx(叠加点叠加点)m入射波入射波反反射射波波o墙墙面面p)222cos(2dxtAy21yyy2=cost+()2 d2cos+(x2d2)A反射波与入射波在反射波与入射波在x处叠加：处叠加：波腹：波腹：波节：波节：=xd)2(+22k2,x)d(+2k2,=221)d=2xk+d(2kx=4)12=cost+()2 d2cos+(x2d2)Ay惠更斯原理

29、：波动所到达的媒质中各点，都可以看作为惠更斯原理：波动所到达的媒质中各点，都可以看作为发射子波的波源，而后一时刻这些子波的包迹便是新的发射子波的波源，而后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。波阵面。t+ tutt时刻波阵面时刻波阵面ut+ ttt时刻波阵面时刻波阵面一一. . 惠更斯原理惠更斯原理4.2.8 4.2.8 惠更斯原理惠更斯原理平面波平面波t+ t时刻波面时刻波面u t波传播方向波传播方向t 时刻波面时刻波面球面波球面波 tt + t二二. . 波的衍射波的衍射1. 现象现象波传播过程中当遇到障碍物时波传播过程中当遇到障碍物时, ,能能 绕过障碍物的边缘而传播的现象。绕过障碍物的边

30、缘而传播的现象。2. 作图作图 可用惠更斯原理作图可用惠更斯原理作图a比较两图比较两图 如你家在大山后如你家在大山后,听广播和看听广播和看电视哪个更容易电视哪个更容易?(若广播台、电视台都在山前侧若广播台、电视台都在山前侧)1. 波的反射波的反射 (略略)sinsinir=CBABADAB1=u2u2=nn1=n12=u u 12tt2. 波的折射波的折射 用作图法求出折射波的传播方向用作图法求出折射波的传播方向iuut12trnn12CBADirut12媒质媒质1媒质媒质2折射波传播方向折射波传播方向1. 正常人听声范围正常人听声范围20 20000 Hz. I下下 I 0)RRVuvSRS

31、RRuVuVuv)1( uVuuVuRR/ SVR波对人的速度为波对人的速度为 u+VR3. 接收器静止接收器静止,波源运动波源运动 (VR=0,设设VS0) R = , 但但 S在一个周期（在一个周期（1/ S ）内内S运动了路程运动了路程VS / S ，它，它就是波源前方被压缩的波长就是波源前方被压缩的波长uTS 0 vSTSSS2S1SSRVuu = 0 VSTS =uTS VSTSSSSSSVuuTVuTuu4. 接收器、波源都运动接收器、波源都运动(设设 VS 、VR均均0) S RSSRRVuVu SSuV/11例：（例：（1）、波源）、波源S面对着墙壁运动，波源运动的速度面对着墙

32、壁运动，波源运动的速度为为VS，若波源发出，若波源发出smuHz/340,2040在在A处能受到拍频处能受到拍频Hz3求求VSVSA解：墙壁接收到解：墙壁接收到反射并以11,/1uvsA分别接收到频率为分别接收到频率为 1和和：两个波uvs/12Hz312smvs/25. 0例：（例：（2）、若墙壁以）、若墙壁以V=20cm/s运动，波源运动，波源smu/340在在A处能受到拍频处能受到拍频Hz4求波源频率求波源频率 VA解：墙壁接收到解：墙壁接收到反射并以11),/1 (uvsA分别接收到频率为分别接收到频率为 和和：两个波uvs/112Hz42Hz3398 若波源速度超过波速若波源速度超过

33、波速(VSu)sVu sin 超音速飞机会在空气超音速飞机会在空气 中激起冲击波中激起冲击波飞行速度与声速的比值飞行速度与声速的比值VS/u(称称马赫数马赫数)决定决定 角角 切仑柯夫辐射切仑柯夫辐射 Su vS 冲击波带冲击波带例：平面谐波沿例：平面谐波沿X正向传播，波速正向传播，波速u=400m/s，已知在，已知在x=1.0m处质点的位移与时间关系如图，求处质点的位移与时间关系如图，求（1）、此简谐波的波动方程）、此简谐波的波动方程（2）、若此波在密度为）、若此波在密度为 的空气中的空气中 传播，求平均能流密度传播，求平均能流密度（3）、）、x=2m 处质点在处质点在t=2s时的速度时的速

34、度v=?3/3 . 1mkgy(cm)10(2st解：4/uk100/2Ty(cm)10(2st（1）、cmxty)4/100cos(002. 000, 1 txy00, 1 txv2/4/0, 1 tx4/3（2）2242222/1003. 110)100(02. 04003 . 12121mWAuI)sin(kxtAvscm/628. 0（3）例：平面谐波沿例：平面谐波沿X正向传播，正向传播，A=10cm, =7 rad/s，已知在已知在 t=1.0s 时时x=10cm处处 a点点 ya=0, (dy/dt)a0,已知已知 10cm,求求简谐波的波动方程。简谐波的波动方程。解：解：)7cos(1 . 0kxtykxt7分