中考数学综合题专题复习几何中的动点问题专题解析

1、资料 中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析 【真题精讲】 【例1】如图，在梯形ABCD中，AD II BC , AD =3 , DC =5 , BC =10，梯形的高为4 动 点M从B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C运动；动点N同时从C点 出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D运动设运动的时间为 t （秒） （1）当MN I AB时，求 t 的值； 2）试探究：t 为何值时， MNC为等腰三角形. 【思路分析 1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同 学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁

2、没在动，通过分 析动态条件和静态条件之间的关系求解。 对于大多数题目来说， 都有一个由动转静的瞬间， 就本题而言， M N 是在动， 意味着 BM,MC以及 DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些 动态的条件密切相关的条件 DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所 以当题中设定 MN/AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自 然得出结果。 【解析】 解：（1 ）由题意知，当 M、N运动到 t 秒时，如图，过 D作DE II AB交BC于E点，则 四边形ABED是平行四边形. 即可，于是就漏掉了 MN=MC,MC=3 两种情况。在中考中如果在动

3、态问题当中碰见等腰三 角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了 较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （2）分三种情况讨论： 当MN二NC时，如图作 NF_BC交BC于F ,则有MC =2FC即.（利用等腰三角形 底边高也是底边中线的性质） AB II DE , AB II MN . DE II MN . （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将 内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） MN 放在三角形 MC NC EC CD （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关10 -2t 10 -3 二解得 t 二50 5 17 【思路分

4、析 2】第二问失分也是最严重的, 很多同理所当然以为是 MN=NC 资料 snc 览 CD cosC -10 _2t =2 3t , 5 解得t=25 . 8 当MN =MC时，如图，过 M作MH _CD于 H 贝 U CN =2CH , 3 二 t =2 10 -2t 5 . 17 当MC =CN时, 则 10 _2t 二t 综上所述，当 t 二25、60或10时， MNC为等腰三角形. 8 17 3 【例 2】在厶 ABC 中，/ ACB=450.点 D (与点 B、C 不重合)为射线 BC 上一动点，连接 AD 以 AD为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF (1) 如果 AB=AC

5、 如图，且点 D 在线段 BC 上运动.试判断线段 CF 与 BD 之间的位置关系， 并证明你的结论. (2) 如果 AB AC,如图，且点 D 在线段 BC 上运动.(1)中结论是否成立，为什么？ (3)若正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与线段 CF 所在直线相交于点 P,设 AC= 4 2 , BC = 3 , CD=x，求线段 CP 的长.(用含x的式子表示)10 t = 资料 【思路分析 1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给 出那个“静止点”，所以需要我们去分析由 D 运动产生的变化图形当中， 什么条件是不动的。 由题我们发现，正方形中四条边的垂

6、直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递， 就可以得解。 【解析】： (1)结论：CF 与 BD 位置关系是垂直； 证明如AB=AC，/ ACB=45o, / ABC=4b / DAB/ FAC 二 DABA FAC , / ACF=Z ABD / BCF 玄 ACB+/ ACF= 90o.即卩 CF 丄 BD. 【思路分析 2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑 一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找 AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后 一样求解。 (2) CF 丄 BD. (1)中结论成立. 理由是：过点 A 作 AGLAC 交 BC 于点

7、G AC=AG 可证： GADA CAF ACF 玄 AGD=45 / BCF=/ ACB/ ACF= 90o. 即 CFL BD 【思路分析 3】这一问有点棘手，D 在 BC 之间运动和它在 BC 延长线上运动时的位置是不一 样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是 4+X 还是 4-X。分类讨论之后利用相 似三角形的比例关系即可求出 CP. (3)过点 A 作 AQL BC 交 CB 的延长线于点 Q 点 D 在线段 BC 上运动时， v/ BCA=450，可求出 AQ= CQ=4 - DQ=4-x , 易证 AQDA DCP CP CD DQ AQ CP x 4-x 4 2 x

8、.CP x . 4 点 D 在线段 BC 延长线上运动时, v/ BCA=45o，可求出 AQ= CQ=4 DQ=4+x . 过 A 作AG _ AC交 CB 延长线于点 G,则 AGD 三 ACF . . CF 丄 BD, AQDA DCP CP CD DQ AQ CP x 4x4 2 x .CP x . 4 F C 图 由正方形 ADEF 得 AD=AF , v/ DAF=/ BAC =90o, F C 资料 【例 3】已知如图，在梯形ABCD中，AD / BC, AD = 2, BC =4,点M是AD的中点,资料 MBC是等边三角形. (1) 求证：梯形 ABCD是等腰梯形； (2) 动

9、点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且/ MPQ = 60保持不变.设 PC = x MQ=，求y与x的函数关系式； (3) 在(2)中，当y取最小值时，判断 PQC的形状，并说明理由. P 【思路分析 1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察 几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和 例 1 一样是双动点问题，所以就需要研究在 P,Q 运动过程中什么东西是不变的。题目给定 / MPQ=60，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系 了起来因为最终求两条线段的关系 ，所以我们很自然想到要通过相似三角形

10、找比例关系 怎么证相似三角形呢？当然是利用角度咯于是就有了思路 【解析】 (1) 证明： MBC是等边三角形 MB =MC,Z MBC 二/MCB=60 M 是 AD 中点 AM 二 MD AD / BC / AMB 二/ MBC =60 , / DMC =Z MCB =60 AMB DMC AB 二 DC 梯形ABCD是等腰梯形. (2) 解：在等边 MBC 中，MB=MC = BC=4,/ MBC =Z MCB = 60 , Z MPQ =60 / BMP Z BPM二/ BPM Z QPC =120 (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣 摩) Z BMP 二 Z QPC BMP CQP

11、资料 PC CQ BM BP PC = x, MQ = y BP = 4 - x, QC = 4 一 y资料 y = 1xx 4 4 (设元以后得出比例关系，轻松化成二次函数的样子) 【思路分析 2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很 轻易就可以求出当 X 取对称轴的值时 Y 有最小值。接下来就变成了 “给定 PC=2,求厶 PQC 形状”的问题了。由已知的 BC=4,自然看出 P 是中点，于是问题轻松求解。 (3)解： PQC为直角三角形 1 2 y x-2 3 4 当y取最小值时，x二PC =2 P是 BC 的中点，MP _ BC,而/ MPQ =60 ,

12、Z CPQ =30 , - Z PQC =90 以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如 某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需 要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思 路是不是一样呢？接下来我们看另外两道题. 【例 4】已知正方形 ABCD中，E为对角线BD上一点，过 E点作EF _ BD交BC于F，连 接DF , G为DF中点，连接 EG,CG . (1) 直接写出线段EG与CG的数量关系； (2) 将图 1 中.BEF绕B点逆时针旋转 45，如图 2 所示，取DF中点G，

13、连接 EG , CG , 你在(1)中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明. (3) 将图 1 中.BEF绕B点旋转任意角度，如图 3 所示，再连接相应的线段，问(1)中的 结论是否仍然成立？(不要求证明) 资料 【思路分析 1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转 45到旋转任意 角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边 中线自然相等。第二问将 BEF 旋转 45之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题 的核心条件就是 G 是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的 全等三角形就成为了分析的关键所在。连接 A

14、G 之后，抛开其他条件，单看 G 点所在的四边 形 ADFE 我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想 到过 G 点做AD,EF 的垂线。于是两个全等的三角形出现了。 （1）CG = EG （2）（ 1）中结论没有发生变化，即 CG=EG . 证明：连接 AG，过G点作MN _ AD于M，与EF的延长线交于 N点. 在DAG与DCG中， AD = CD, ZADG 二.CDG , DG = DG , DAG 姿 DCG . 二 AG = CG . 在.DMG与.FNG中， . DGM =/FGN , FG =DG , MDG =/NFG , DMG 也. ：FNG

15、 . - MG 二 NG 在矩形AENM中，AM =EN 在 Rt AMG 与 Rt ENG 中， / AM =EN , MG =NG , AMG 也 ENG . AG =EG . EG =CG 【思路分析 2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是 我们不应该止步于此。 将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因， 如果 BEF 任意旋转， 哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自 己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在 BEF 的旋转过程中，始终不变的依然是 D C 图1 C 资料 G 点是 FD 的中点。可以延长一倍 EG

16、 到 H,从而构造一个和 EFG 全等的三角形，禾 U 用 BE=EF 这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形 ECH 是一个等腰直角三角形，就需要证明三角 形 EBC 和三角形 CGH 全等，利用角度变换关系就可以得证了。 （3） （1）中的结论仍然成立.资料 （2） AB交 DC 于点 M / AB/ CF,. ABE FCE BE _ AB CE FC B=2, CF=3. CE / AB / BAE=Z F. 【例 5】已知正方形 ABCD 勺边长为 6cm,点 E 是射线 BC 上的一个动点，连接 AE 交射线 DC 于点卩，将厶 ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 B处.

17、BE （1） _ 当竺=1 时，CF= cm CE BE （2） 当 =2 时，求 sin / DAB 的值； CE （3） 当BB = x时（点 C 与点 E 不重合），请写出厶 ABE 翻折后与正方形 ABCD 公共部 CE 分的面积 y 与 x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）. 【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热 点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为 1,第二问比例为 2,第三问比例任意, 所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些 条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角

18、，边都是不变的，所以 轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。 尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的， E 在 BC 上和 E 在延长线上都是可能 的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。 【解析】 （1） CF= 6 cm ;（延长之后一眼看出， EAZY C B C 图 1 资料 （所求 A B E 的面积即为 ABE 的面积，再由相似表示 出边长） 法） 又/ BAE 玄 B AE, / B AE=Z F. MA=MF 设 MA=MF=K 贝 U MC=k -3 , DM=9-k 在 Rt ADM 中，由勾股定理得： 2 2 2 1 3 k=

19、(9-k) +6, 解得 k=MA= . 2 DM=-.（设元求解是这类题型中比较重要的方 2 DM 5 sin / DAB = 一 AM 13 如图 2，当点 E 在 BC 延长线上时, 同可得 NA=NE 延长 设 NA=NE=m 贝U B N=12-m . 在 Rt AB N 中，由勾股定理，得 m=(12-m) 2+62, 解得 m=AN=! . 2 B sin / DAB =_ =3 AN 5 （3）当点 E 在 BC 上时, 18x y= x 1 AD 交 B E 于点 N, 资料 当点 E 在 BC 延长线上时，y=18x 18 x 【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何

20、问题当中点动，线动，乃至整体图形 动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出 ，所以难度不言而喻，但是希望 考生拿到题以后不要慌张，因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中 那些不变的量。只要条分缕析 ，一个个将条件抽出来，将大问题化成若干个小问题去解决 ，就 很轻松了 .为更好的帮助考生，笔者总结这种问题的一般思路如下： 第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量， 要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析 它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。 第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运

21、动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量 的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。 第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学 丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方 式，如本讲例 5 当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。资料 【发散思考】 【思考 1】已知：如图（1）,射线AM/射线BN , AB是它们的公垂线，点 D、C分别 在AM、BN上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点 E与A、B不重合），在运动过程中始终保持 DE _ EC，

22、且AD DE二AB = a . （1） 求证：.ADE s BEC ; （2） 如图（2）,当点E为AB边的中点时，求证： AD +BC =CD ; （3） 设AE =m，请探究： BEC的周长是否与 m值有关？若有关，请用含有 m的代 数式表示 BEC的周长；若无关，请说明理由. 【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多 个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长， 要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于 M 的函数，那 么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。 【思考

23、 2】 ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点， BP=BA若0PBC: 180, 且/ PBC平分线上的一点 D满足DB=D, （1） 当BP与BA重合时（如图 1）, Z BPD= _ ; （2） 当BP在Z ABC的内部时（如图 2）,求Z BPD的度数； （3） 当BP在Z ABC的外部时，请你直接写出Z BPD的度数，并画出相应的图形. 【思路分析】本题中，和动点 P 相关的动量有Z PBC 以及 D 点的位置，但是不动的量就是 BD 是平分线并且 DB=DA 从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事 实上，P 点的轨迹就是以 B 为圆心，BA 为半径的一个圆，那

24、D 点是什么呢？留给大家思考 下B C N 第 25 题（1） A DM 第 25 题（2） 资料 3 【思考 3】如图：已知，四边形 ABCD 中, AD/BC, DC 丄 BC 已知 AB=5, BC=6 cosB=、. 5 点 0 为 BC 边上的一个动点，连结 0D 以 0 为圆心，B0 为半径的O O 分别交边 AB 于点 P,交 线段 0D于点 M 交射线 BC 于点 N,连结 MN (1 )当 BO=AD 寸，求 BP 的长； (2) 点 0 运动的过程中，是否存在 BP=MN 勺情况？若存在，请求出当 B0 为多长时 BP=MN 若不存在，请说明理由； (3) 在点 0 运动的

25、过程中，以点 C 为圆心，CN 为半径作O C,请直接写出当O C 存在时，O 0 与O C的位置关系，以及相应的O C 半径 CN 的取值范围。 【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关 的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问 比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出 MN 和 BP,从而讨论 他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。 【思考 4】在ABCD中，过点 C 作 CE 丄 CD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转90得 到线段 EF(如图 1) (

26、1)在图 1 中画图探究： 当 P 为射线 CD 上任意一点(P1不与 C 重合)时，连结 ER 绕点 E 逆时针旋转90 得 到线段EG.判断直线 FG 与直线 CD 的位置关系，并加以证明； 当 P2为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结 EP2,将线段 EP2绕点 E 逆时针旋转90C 得到线段 EC.判断直线 CC2与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论 . (2 )若 AD=6,ta nB=4，AE=1,在的条件下，设 CR=X , RFCy，求y与x之间的函 数关系式，并写出自变量 X的取值范围. (备用图) 资料 【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点

27、动线一起考出来，难倒了不少同 学。事实上就在于如何把握这个旋转 90的条件。旋转 90。自然就是垂直关系，于是又出 现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函 数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常 可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营 的去解答。 【思考题解析】 【思考 1 解析】 (1)证明： DE _ EC , DEC =90 AED BEC=90 又. A=/B=90 , . AED . EDA =90 . BEC 二 EDA ：ADE BEC (2)证明：如图，过点

28、E作EF /BC，交CD于点F , 1 E是AB的中点， 容易证明E匕(ADBC) 在 Rt DEC 中，DF 二 CF , EF -(AD BC)CD 2 2 AD BC =CD 1 = -CD 2 (3)解：. AED 的周长=AE AD DE BE A D E B C 第 25 题 资料 设AD 二x，贝U DE = a x _A = 90 , DE2 二 AE2 AD2 .即 a2 - 2ax x2 = m2 x2. 2 2 a - m x 二 2a 由(1)知 ADE s .)BEC,资料 2a ：BEC的周长 ADE的周长二2a . a m .BEC的周长与m值无关. 【思考 2

29、答案】 解：(1)/ BPD=30 ; (2)如图 8,连结CD 解一：点D在/ PBC勺平分线上， / 1=7 2. / ABC是等边三角形， BA=BC=AC7 ACB=60 . BP=BA BP=BC / BD= BD PBDA CBD 7 BPD7 3. - 3 DB=DA BC=AC CD=CD BCDA ACD 1 .匕3 =. 4 ACB =30 . 2 7 BPD=30 . 解二： ABC是等边三角形， BA =BC=AC DB=DA CD垂直平分AB 1 ._3 =. 4 ACB =30 . 2 / BP=BA BP=BC 点D在7 PBC的平分线上， PBMA CBD关于B

30、D所在直线对称. 7 BPD7 3. 7 BPD=30 . (3 )7 BPD=30 或 150 . 图形见图 9、图 10. ADE 的周长 .IBEC 的周长 AD BE 2a 资料 资料 【思考 3 解析】 解: 3 (1)过点 A 作 AEL BC,在 Rt ABE 中，由 AB=5, cosB=t 得 BE=3. 5 / CDL BC, AD/BC, BC=6, G 当 BO=AD=3 寸， 在O O 中，过点 O 作 OHL AB,则 BH=HP .BH 3 cos B , BH=3 - BO 5 18 BP=. 5 (2) 不存在 BP=MN 勺情况- 假设 BP=MN 成立， BP 和 MN 为O O 的弦，则必有/ 过 P 作 PQL BC 过点 O 作 OH! AB,