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文档简介

1、资料 中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析 【真题精讲】 【例1】如图,在梯形ABCD中,AD II BC , AD =3 , DC =5 , BC =10,梯形的高为4 动 点M从B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C运动;动点N同时从C点 出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D运动设运动的时间为 t (秒) (1)当MN I AB时,求 t 的值; 2)试探究:t 为何值时, MNC为等腰三角形. 【思路分析 1】本题作为密云卷压轴题,自然有一定难度,题目中出现了两个动点,很多同 学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题,首先就是要找谁在动,谁

2、没在动,通过分 析动态条件和静态条件之间的关系求解。 对于大多数题目来说, 都有一个由动转静的瞬间, 就本题而言, M N 是在动, 意味着 BM,MC以及 DN,NC 都是变化的。但是我们发现,和这些 动态的条件密切相关的条件 DC,BC 长度都是给定的,而且动态条件之间也是有关系的。所 以当题中设定 MN/AB 时,就变成了一个静止问题。由此,从这些条件出发,列出方程,自 然得出结果。 【解析】 解:(1 )由题意知,当 M、N运动到 t 秒时,如图,过 D作DE II AB交BC于E点,则 四边形ABED是平行四边形. 即可,于是就漏掉了 MN=MC,MC=3 两种情况。在中考中如果在动

3、态问题当中碰见等腰三 角形,一定不要忘记分类讨论的思想,两腰一底一个都不能少。具体分类以后,就成为了 较为简单的解三角形问题,于是可以轻松求解 【解析】 (2)分三种情况讨论: 当MN二NC时,如图作 NF_BC交BC于F ,则有MC =2FC即.(利用等腰三角形 底边高也是底边中线的性质) AB II DE , AB II MN . DE II MN . (根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法,成功将 内,将动态问题转化成平行时候的静态问题) MN 放在三角形 MC NC EC CD (这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关10 -2t 10 -3 二解得 t 二50 5 17 【思路分

4、析 2】第二问失分也是最严重的, 很多同理所当然以为是 MN=NC 资料 snc 览 CD cosC -10 _2t =2 3t , 5 解得t=25 . 8 当MN =MC时,如图,过 M作MH _CD于 H 贝 U CN =2CH , 3 二 t =2 10 -2t 5 . 17 当MC =CN时, 则 10 _2t 二t 综上所述,当 t 二25、60或10时, MNC为等腰三角形. 8 17 3 【例 2】在厶 ABC 中,/ ACB=450.点 D (与点 B、C 不重合)为射线 BC 上一动点,连接 AD 以 AD为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF (1) 如果 AB=AC

5、 如图,且点 D 在线段 BC 上运动.试判断线段 CF 与 BD 之间的位置关系, 并证明你的结论. (2) 如果 AB AC,如图,且点 D 在线段 BC 上运动.(1)中结论是否成立,为什么? (3)若正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与线段 CF 所在直线相交于点 P,设 AC= 4 2 , BC = 3 , CD=x,求线段 CP 的长.(用含x的式子表示)10 t = 资料 【思路分析 1】本题和上题有所不同,上一题会给出一个条件使得动点静止,而本题并未给 出那个“静止点”,所以需要我们去分析由 D 运动产生的变化图形当中, 什么条件是不动的。 由题我们发现,正方形中四条边的垂

6、直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传递, 就可以得解。 【解析】: (1)结论:CF 与 BD 位置关系是垂直; 证明如AB=AC,/ ACB=45o, / ABC=4b / DAB/ FAC 二 DABA FAC , / ACF=Z ABD / BCF 玄 ACB+/ ACF= 90o.即卩 CF 丄 BD. 【思路分析 2】这一问是典型的从特殊到一般的问法,那么思路很简单,就是从一般中构筑 一个特殊的条件就行,于是我们和上题一样找 AC 的垂线,就可以变成第一问的条件,然后 一样求解。 (2) CF 丄 BD. (1)中结论成立. 理由是:过点 A 作 AGLAC 交 BC 于点

7、G AC=AG 可证: GADA CAF ACF 玄 AGD=45 / BCF=/ ACB/ ACF= 90o. 即 CFL BD 【思路分析 3】这一问有点棘手,D 在 BC 之间运动和它在 BC 延长线上运动时的位置是不一 样的,所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是 4+X 还是 4-X。分类讨论之后利用相 似三角形的比例关系即可求出 CP. (3)过点 A 作 AQL BC 交 CB 的延长线于点 Q 点 D 在线段 BC 上运动时, v/ BCA=450,可求出 AQ= CQ=4 - DQ=4-x , 易证 AQDA DCP CP CD DQ AQ CP x 4-x 4 2 x

8、.CP x . 4 点 D 在线段 BC 延长线上运动时, v/ BCA=45o,可求出 AQ= CQ=4 DQ=4+x . 过 A 作AG _ AC交 CB 延长线于点 G,则 AGD 三 ACF . . CF 丄 BD, AQDA DCP CP CD DQ AQ CP x 4x4 2 x .CP x . 4 F C 图 由正方形 ADEF 得 AD=AF , v/ DAF=/ BAC =90o, F C 资料 【例 3】已知如图,在梯形ABCD中,AD / BC, AD = 2, BC =4,点M是AD的中点,资料 MBC是等边三角形. (1) 求证:梯形 ABCD是等腰梯形; (2) 动

9、点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且/ MPQ = 60保持不变.设 PC = x MQ=,求y与x的函数关系式; (3) 在(2)中,当y取最小值时,判断 PQC的形状,并说明理由. P 【思路分析 1】本题有一点综合题的意味,但是对二次函数要求不算太高,重点还是在考察 几何方面。第一问纯静态问题,自不必说,只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和 例 1 一样是双动点问题,所以就需要研究在 P,Q 运动过程中什么东西是不变的。题目给定 / MPQ=60,这个度数的意义在哪里?其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系 了起来因为最终求两条线段的关系 ,所以我们很自然想到要通过相似三角形

10、找比例关系 怎么证相似三角形呢?当然是利用角度咯于是就有了思路 【解析】 (1) 证明: MBC是等边三角形 MB =MC,Z MBC 二/MCB=60 M 是 AD 中点 AM 二 MD AD / BC / AMB 二/ MBC =60 , / DMC =Z MCB =60 AMB DMC AB 二 DC 梯形ABCD是等腰梯形. (2) 解:在等边 MBC 中,MB=MC = BC=4,/ MBC =Z MCB = 60 , Z MPQ =60 / BMP Z BPM二/ BPM Z QPC =120 (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣 摩) Z BMP 二 Z QPC BMP CQP

11、资料 PC CQ BM BP PC = x, MQ = y BP = 4 - x, QC = 4 一 y资料 y = 1xx 4 4 (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子) 【思路分析 2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数,很 轻易就可以求出当 X 取对称轴的值时 Y 有最小值。接下来就变成了 “给定 PC=2,求厶 PQC 形状”的问题了。由已知的 BC=4,自然看出 P 是中点,于是问题轻松求解。 (3)解: PQC为直角三角形 1 2 y x-2 3 4 当y取最小值时,x二PC =2 P是 BC 的中点,MP _ BC,而/ MPQ =60 ,

12、Z CPQ =30 , - Z PQC =90 以上三类题目都是动点问题,这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件,例如 某边相等,某角固定时,将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件,那么就需 要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点,而是一些具体的图形时,思 路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题. 【例 4】已知正方形 ABCD中,E为对角线BD上一点,过 E点作EF _ BD交BC于F,连 接DF , G为DF中点,连接 EG,CG . (1) 直接写出线段EG与CG的数量关系; (2) 将图 1 中.BEF绕B点逆时针旋转 45,如图 2 所示,取DF中点G,

13、连接 EG , CG , 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. (3) 将图 1 中.BEF绕B点旋转任意角度,如图 3 所示,再连接相应的线段,问(1)中的 结论是否仍然成立?(不要求证明) 资料 【思路分析 1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转 45到旋转任意 角度,要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说,两个共斜边的直角三角形的斜边 中线自然相等。第二问将 BEF 旋转 45之后,很多考生就想不到思路了。事实上,本题 的核心条件就是 G 是中点,中点往往意味着一大票的全等关系,如何构建一对我们想要的 全等三角形就成为了分析的关键所在。连接 A

14、G 之后,抛开其他条件,单看 G 点所在的四边 形 ADFE 我们会发现这是一个梯形,于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法,自然想 到过 G 点做AD,EF 的垂线。于是两个全等的三角形出现了。 (1)CG = EG (2)( 1)中结论没有发生变化,即 CG=EG . 证明:连接 AG,过G点作MN _ AD于M,与EF的延长线交于 N点. 在DAG与DCG中, AD = CD, ZADG 二.CDG , DG = DG , DAG 姿 DCG . 二 AG = CG . 在.DMG与.FNG中, . DGM =/FGN , FG =DG , MDG =/NFG , DMG 也. :FNG

15、 . - MG 二 NG 在矩形AENM中,AM =EN 在 Rt AMG 与 Rt ENG 中, / AM =EN , MG =NG , AMG 也 ENG . AG =EG . EG =CG 【思路分析 2】第三问纯粹送分,不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是 我们不应该止步于此。 将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因, 如果 BEF 任意旋转, 哪些量在变化,哪些量不变呢?如果题目要求证明,应该如何思考。建议有余力的同学自 己研究一下,笔者在这里提供一个思路供参考:在 BEF 的旋转过程中,始终不变的依然是 D C 图1 C 资料 G 点是 FD 的中点。可以延长一倍 EG

16、 到 H,从而构造一个和 EFG 全等的三角形,禾 U 用 BE=EF 这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形 ECH 是一个等腰直角三角形,就需要证明三角 形 EBC 和三角形 CGH 全等,利用角度变换关系就可以得证了。 (3) (1)中的结论仍然成立.资料 (2) AB交 DC 于点 M / AB/ CF,. ABE FCE BE _ AB CE FC B=2, CF=3. CE / AB / BAE=Z F. 【例 5】已知正方形 ABCD 勺边长为 6cm,点 E 是射线 BC 上的一个动点,连接 AE 交射线 DC 于点卩,将厶 ABE 沿直线 AE 翻折,点 B 落在点 B处.

17、BE (1) _ 当竺=1 时,CF= cm CE BE (2) 当 =2 时,求 sin / DAB 的值; CE (3) 当BB = x时(点 C 与点 E 不重合),请写出厶 ABE 翻折后与正方形 ABCD 公共部 CE 分的面积 y 与 x 的关系式,(只要写出结论,不要解题过程). 【思路分析】动态问题未必只有点的平移,图形的旋转,翻折(就是轴对称)也是一大热 点。这一题是朝阳卷的压轴题,第一问给出比例为 1,第二问比例为 2,第三问比例任意, 所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些 条件发生了变化,哪些条件没有发生变化。一般说来,翻折中,角

18、,边都是不变的,所以 轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系,所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。 尤其注意的是,本题中给定的比例都是有两重情况的, E 在 BC 上和 E 在延长线上都是可能 的,所以需要大家分类讨论,不要遗漏。 【解析】 (1) CF= 6 cm ;(延长之后一眼看出, EAZY C B C 图 1 资料 (所求 A B E 的面积即为 ABE 的面积,再由相似表示 出边长) 法) 又/ BAE 玄 B AE, / B AE=Z F. MA=MF 设 MA=MF=K 贝 U MC=k -3 , DM=9-k 在 Rt ADM 中,由勾股定理得: 2 2 2 1 3 k=

19、(9-k) +6, 解得 k=MA= . 2 DM=-.(设元求解是这类题型中比较重要的方 2 DM 5 sin / DAB = 一 AM 13 如图 2,当点 E 在 BC 延长线上时, 同可得 NA=NE 延长 设 NA=NE=m 贝U B N=12-m . 在 Rt AB N 中,由勾股定理,得 m=(12-m) 2+62, 解得 m=AN=! . 2 B sin / DAB =_ =3 AN 5 (3)当点 E 在 BC 上时, 18x y= x 1 AD 交 B E 于点 N, 资料 当点 E 在 BC 延长线上时,y=18x 18 x 【总结】 通过以上五道例题,我们研究了动态几何

20、问题当中点动,线动,乃至整体图形 动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出 ,所以难度不言而喻,但是希望 考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现,始终把握的都是在变化过程中 那些不变的量。只要条分缕析 ,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决 ,就 很轻松了 .为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下: 第一、仔细读题,分析给定条件中那些量是运动的,哪些量是不动的。针对运动的量, 要分析它是如何运动的,运动过程是否需要分段考虑,分类讨论。针对不动的量,要分析 它们和动量之间可能有什么关系,如何建立这种关系。 第二、画出图形,进行分析,尤其在于找准运

21、动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量 的关系。如果没有静止状态,通过比例,相等等关系建立变量间的函数关系来研究。 第三、做题过程中时刻注意分类讨论,不同的情况下题目是否有不同的表现,很多同学 丢分就丢在没有讨论,只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式,没有想到另外的方 式,如本讲例 5 当中的比例关系意味着两种不一样的状况,是否能想到就成了关键。资料 【发散思考】 【思考 1】已知:如图(1),射线AM/射线BN , AB是它们的公垂线,点 D、C分别 在AM、BN上运动(点D与点A不重合、点C与点B不重合),E是AB边上的动点(点 E与A、B不重合),在运动过程中始终保持 DE _ EC,

22、且AD DE二AB = a . (1) 求证:.ADE s BEC ; (2) 如图(2),当点E为AB边的中点时,求证: AD +BC =CD ; (3) 设AE =m,请探究: BEC的周长是否与 m值有关?若有关,请用含有 m的代 数式表示 BEC的周长;若无关,请说明理由. 【思路分析】本题动点较多,并且是以和的形式给出长度。思考较为不易,但是图中有多 个直角三角形,所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长, 要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中,看是否为定值,如果是关于 M 的函数,那 么就是有关,如果是一个定值,那么就无关,于是就可以得出结论了。 【思考

23、 2】 ABC是等边三角形,P为平面内的一个动点, BP=BA若0PBC: 180, 且/ PBC平分线上的一点 D满足DB=D, (1) 当BP与BA重合时(如图 1), Z BPD= _ ; (2) 当BP在Z ABC的内部时(如图 2),求Z BPD的度数; (3) 当BP在Z ABC的外部时,请你直接写出Z BPD的度数,并画出相应的图形. 【思路分析】本题中,和动点 P 相关的动量有Z PBC 以及 D 点的位置,但是不动的量就是 BD 是平分线并且 DB=DA 从这几条出发,可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事 实上,P 点的轨迹就是以 B 为圆心,BA 为半径的一个圆,那

24、D 点是什么呢?留给大家思考 下B C N 第 25 题(1) A DM 第 25 题(2) 资料 3 【思考 3】如图:已知,四边形 ABCD 中, AD/BC, DC 丄 BC 已知 AB=5, BC=6 cosB=、. 5 点 0 为 BC 边上的一个动点,连结 0D 以 0 为圆心,B0 为半径的O O 分别交边 AB 于点 P,交 线段 0D于点 M 交射线 BC 于点 N,连结 MN (1 )当 BO=AD 寸,求 BP 的长; (2) 点 0 运动的过程中,是否存在 BP=MN 勺情况?若存在,请求出当 B0 为多长时 BP=MN 若不存在,请说明理由; (3) 在点 0 运动的

25、过程中,以点 C 为圆心,CN 为半径作O C,请直接写出当O C 存在时,O 0 与O C的位置关系,以及相应的O C 半径 CN 的取值范围。 【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关 的问题当中,时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问 比较简单,等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出 MN 和 BP,从而讨论 他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。 【思考 4】在ABCD中,过点 C 作 CE 丄 CD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转90得 到线段 EF(如图 1) (

26、1)在图 1 中画图探究: 当 P 为射线 CD 上任意一点(P1不与 C 重合)时,连结 ER 绕点 E 逆时针旋转90 得 到线段EG.判断直线 FG 与直线 CD 的位置关系,并加以证明; 当 P2为线段 DC 的延长线上任意一点时,连结 EP2,将线段 EP2绕点 E 逆时针旋转90C 得到线段 EC.判断直线 CC2与直线 CD 的位置关系,画出图形并直接写出你的结论 . (2 )若 AD=6,ta nB=4,AE=1,在的条件下,设 CR=X , RFCy,求y与x之间的函 数关系式,并写出自变量 X的取值范围. (备用图) 资料 【思路分析】本题是去年中考原题,虽不是压轴,但动点

27、动线一起考出来,难倒了不少同 学。事实上就在于如何把握这个旋转 90的条件。旋转 90。自然就是垂直关系,于是又出 现了一堆直角三角形,于是证角,证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函 数式,但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想,漏掉了很多种情况,失分非常 可惜。建议大家仔细研究这道中考原题,按照上面总结的一般思路去拆分条件,步步为营 的去解答。 【思考题解析】 【思考 1 解析】 (1)证明: DE _ EC , DEC =90 AED BEC=90 又. A=/B=90 , . AED . EDA =90 . BEC 二 EDA :ADE BEC (2)证明:如图,过点

28、E作EF /BC,交CD于点F , 1 E是AB的中点, 容易证明E匕(ADBC) 在 Rt DEC 中,DF 二 CF , EF -(AD BC)CD 2 2 AD BC =CD 1 = -CD 2 (3)解:. AED 的周长=AE AD DE BE A D E B C 第 25 题 资料 设AD 二x,贝U DE = a x _A = 90 , DE2 二 AE2 AD2 .即 a2 - 2ax x2 = m2 x2. 2 2 a - m x 二 2a 由(1)知 ADE s .)BEC,资料 2a :BEC的周长 ADE的周长二2a . a m .BEC的周长与m值无关. 【思考 2

29、答案】 解:(1)/ BPD=30 ; (2)如图 8,连结CD 解一:点D在/ PBC勺平分线上, / 1=7 2. / ABC是等边三角形, BA=BC=AC7 ACB=60 . BP=BA BP=BC / BD= BD PBDA CBD 7 BPD7 3. - 3 DB=DA BC=AC CD=CD BCDA ACD 1 .匕3 =. 4 ACB =30 . 2 7 BPD=30 . 解二: ABC是等边三角形, BA =BC=AC DB=DA CD垂直平分AB 1 ._3 =. 4 ACB =30 . 2 / BP=BA BP=BC 点D在7 PBC的平分线上, PBMA CBD关于B

30、D所在直线对称. 7 BPD7 3. 7 BPD=30 . (3 )7 BPD=30 或 150 . 图形见图 9、图 10. ADE 的周长 .IBEC 的周长 AD BE 2a 资料 资料 【思考 3 解析】 解: 3 (1)过点 A 作 AEL BC,在 Rt ABE 中,由 AB=5, cosB=t 得 BE=3. 5 / CDL BC, AD/BC, BC=6, G 当 BO=AD=3 寸, 在O O 中,过点 O 作 OHL AB,则 BH=HP .BH 3 cos B , BH=3 - BO 5 18 BP=. 5 (2) 不存在 BP=MN 勺情况- 假设 BP=MN 成立, BP 和 MN 为O O 的弦,则必有/ 过 P 作 PQL BC 过点 O 作 OH! AB,

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