基于样条函数的空间梁系结构变形图的插值算法

1、基于样条函数的空间梁系结构变形图的插值算法陈晓霞1 邢静忠21 甘肃工业大学机电学院, 兰州 730050,2 甘肃工业大学理学院, 兰州 730050摘 要 空间梁系结构在空间荷载作用下,结构发生空间变形,各个杆件由原来的直线状态变为空间曲线。如何准确形象地表达空间杆件的变形,是杆系有限元后处理的重要研究内容。本文基于三次样条函数插值方法,根据空间杆件变形时发生在杆件两端的角位移和线位移,通过理论推导得到杆件在受力变形后的空间变形曲线方程,为空间杆件的变形描述奠定了理论基础。利用该公式绘制的空间杆件的变形图,不仅反映节点线位移,同时还反映节点的角位移。在塔式起重机有限元分析系统的应用表明本文

2、算法计算量小,编程简单,描绘的变形曲线更加符合实际情况。关键词 三次样条; 插值; 空间杆件; 变形曲线中图分类号 TB115The Interpolation Arithmetic of Displacement of Space Frames withCubic Spline FunctionChen Xiaoxia 1 Xing Jingzhong 2(1 College of Mechanical and Electronic Engineering of Lanzhou University of Sciences and Technology , Lanzhou 7300502 S

3、chool of Sciences of Lanzhou University of Sciences and Technology, Lanzhou 730050Abstract Spacial frames deform in space under spatial load, axial straight line of every pole becomes spacial curve. How to exactly describe the true deformation is an important research of finite element post-process.

4、 Based on an interpolation method of cubic spline function, spacial curve equation of deformed spacial pole is deduced according to displacement and rotational angle of node, and deformed shape of space bars are generated from the formula. The graphics of deformed poles shows both node movement and

5、node rotation. The application in finite element analysis system of tower crane indicates the arithmetic needs less calculation and is easy to be programmed, the deformation curve of the deformed structure is more fitted to true situation.Key words cubic spline; interpolation; space pole; deform cur

6、ve三次样条插值曲线的在不同方向的理论分析和研究,为三次样条插值曲线的工程应用奠定了理论基础1-3。这些工程应用研究大多集中在讨论三次样条函数在平面情况下的应用4-6。但是实际工程中存在大量空间梁系结构的变形情况,如何利用三次样条拟合技术来拟合空间变形曲情况,是一个既有理论意义,也有应用价值的研究。绘制空间杆件系统的变形图,不仅应反映节点线位移,同时还应反映节点的角位移。从而使空间杆系的变形图更加符合实际变形情况,更有利于工程人员准确判断结构的变形和受力状况。空间杆件在轴力,剪力,扭矩和弯矩共同作用下,每个节点在变形过程中,产生三个线位移和三个角位移,使杆件轴线由原来的直线状态变为空间曲线状态

7、。当杆件上作用的力可以简化为节点上的力和力偶来处理时,杆件的变形曲线正好是三次函数曲线。因而对于只受节点荷载作用,或者杆件中部所受的力生成的变形与整体受力所产生的变形相比较小时,空间杆系的变形都可以用三次样条函数来拟合。1 空间曲线三次样条插值算法空间杆件00B A ,节点,(1010100z y x A 和,(2020200z y x B 在受力变形以后分别产生了线位移A A A w v u ,和B B B w v u ,角位移Az Ay Ax ,和Bz By Bx ,此时杆件由原来的直线00B A 变为空间曲线11B A 。曲线1 陈晓霞,(1969-,女,甘肃靖远人,硕士,甘肃工业大学副

8、教授。经过空间点,(1111111z y x A 和,(2121211z y x B 。(1 空间杆件变形前的数学描述:设杆件00B A 变形前的方向矢量为1n ,则k j i n cos cos cos 1+=其中:l z z l y y l x x 102010201020cos cos cos -=-=-= (1空间杆件受力变形前为空间直线00B A ,其直线方程的数学表达为cos cos cos 000z z y y x x -=-=- (2 (2 坐标变换杆件受力变形后,两端节点在空间产生了沿三个坐标轴方向的线位移,所以杆件的两个端部节点00,B A 平移变换为11,B A ,变换前

9、后的坐标关系为B B B w z z v y y u x x +=+=+=202120212021 (4同时,杆件两端节点还产生了绕三个坐标轴的角位移Az Ay Ax ,和Bz By Bx ,使得杆件的方向矢量产生旋转。设杆件变形曲线上1A 点处的切线方向矢量为k n j n i n n z y x 2222+=,1B 点处的切线方向矢量为k n j n i n n z y x 3333+=。则变形后和变形前两端端点处的方向余弦的关系为 - - -= z y x Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax z y x n n n n n n 1112221000co

10、s sin 0sin cos cos 0sin 010sin 0cos cos sin 0sin cos 0001 (5 - - -= z y x BxBx Bx Bx Bx Bx Bx Bx Bx Bx Bx Bx z y x n n n n n n 1113331000cos sin 0sin cos cos 0sin 010sin 0cos cos sin 0sin cos 0001 (6(3 确定杆件变形后的空间曲线参数方程设空间曲线11B A 的参数方程是(,(,(t z t y t x ,1,0t 。曲线11B A 可以用三次多项式拟合,令其数学表达式为33233332222231

11、2111(,(,(t d t c t b a t z t d t c t b a t y t d t c t b a t x +=+=+= (7 其中的12个待定系数3.1(,=i d c b a i i i i 由下面的12个条件来确定:z y x z y x n l z n l y n l x n l z n l y n l x z z y y x x z z y y x x 3332222121211111111(',1(',1(',0(',0(',0('1(,1(,1(,0(,0(,0(= (8 将(8式的12个条件依次代入方程(7,得到

12、z y x z(9求解该方程,得到待定系数的值分别是:zz z z z y y y y y x这样就得到了空间变形曲线的参数方程中的所有待定系数。2 变形前后空间变形曲线的绘制利用上面推导的公式,在AutoCAD环境下,利用ActiveX7编程技术绘制空间变形曲线。为便于比较观察,绘制杆件变形前的空间位置,并用其他颜色的线型绘制变形后的曲线。由于曲线的参数方程已经得到,将曲线按参数t划分成许多段直线来近似地表示变形曲线。一般结构的变形量都很小,为了能显示出这些微小的变形情况,需要将它们乘以一个放大系数。线位移的放大系数一般应能明显显示结构的节点的线位移情况为宜,而角位移放大系数应该使角变形量与

13、线位移协调,这两个放大系数可以是不一致的。为验证本文算法的正确性,利用简单刚架(图2,具有8个节点和8个单元,下面的四个节点固定,在顶部的对角节点上作用20kN和10kN的水平集中力。通用有限元软件Ansys和本文的塔机有限元分析系统给出了相同的数值计算结果,表明本文算法的正确性。图2显示的变形图中没有考虑角位移的,在考虑了角变形的情况下,绘制的变形图如图3所示,能更真实的反映了结构的实际变形特征。3 应用情况将上述算法应用于塔式起重机数据结构变形图绘制,塔式起重机的输入数据主要是节点数据和单元数据。节点数据主要反映所有节点在空间的坐标位置,单元数据则主要反映单元与节点之间的关系和单元的截面属

14、性和其它一些力学性质。每一个节点数据包括一个节点编号和三个空间坐标值,每一个空间杆件单元数据包括一个单元编号和杆件两端的两个节点编号。模型显示程序主要读取各个节点数据和各个单元数据,依次将空间的各个杆件单元放置在空间的位置上。根据需要可以在节点位置附近标注节点编号,在杆件单元的中部标注单元编号。以变形前的结构为基础,根据计算结果中的各个节点的线位移和角位移,在原来的节点坐标上叠加线位移就可以得到变形后的节点位置坐标,叠加角位移得到变形后变形曲线的切线方向。根据前面推导的空间三次样条函数计算结果计算出变形曲线的参数方程,用多个直线段就可以拟合出空间变形曲线。步骤如下:1提取模型数据,确定各个节点

15、位置和杆件连接信息;图4: 受起吊影响下的塔机变形图 图2 :在ANSYS中的变形图图3 :本文算法实现的变形图 2按照LINE命令格式画出各个杆件的变形前的连线,得到变形前的结构示意图;3标注节点编号和单元编号,绘制坐标系。4叠加线位移得到变形后节点位置,计算杆件变形前杆件方向和三个坐标轴之间的夹角,叠加角位移,得到变形后变形曲线的切线和三个坐标轴的夹角。5利用推导的三次样条插值函数计算公式,计算变形曲线的参数方程。将变形曲线划分成许多段,计算各段端点的空间坐标,依次用直线连接各个端点,得到用许多直线段拟合出的变形曲线。图4为QT225塔式起重机受到自重、吊重和配重作用下的变形图。4 结论1.利用上述的思路,编制了空间梁系结构有限元分析系统的变形图显示程序,经应用表明,本文方法不仅可以反映梁系结构的线位移,同时也可以反映角位移。2.利用三次样条插值技术拟合出空间杆件变形曲线,可以准确反映杆件的角变形情况。3.利用的DXF数据转换格式绘制空间杆系的变