热学竞赛辅导(2)(2013)

1、12011年10月2热学主要公式热学主要公式 231 mnP 1. 理想气体的状态方程理想气体的状态方程:2. 理想气体的压强公式理想气体的压强公式RTPV 3. 理想气体的内能理想气体的内能PViNkTiE22 4. 分子按速律分布分子按速律分布 dekTmNdNkTm22/32224 5. 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律zyxkTEEdddxdydzdCedNpk / )( kTmghkTEePPennp/0/0 6. .三种速率三种速率mkT 8 mkT32 mkTp2 3RTMbMVVaMP )(2227. .范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程8.8.平均自由程和平均碰撞频率平均自由程和平均碰

2、撞频率12.12.功功PdVdA vndZ22 PdkTnd22221 dAdEdQ 13.13.热力学第一定律热力学第一定律9.9.粘滞系数粘滞系数 3131 nm10.10.热传导系数热传导系数Vckin 31231 11.11.扩散系数扩散系数 31 D414.14.热容热容量量dTdQC VVmdTdQC 1 19.19.熵变熵变TdQdS 2112TdQSS20.20.熵增加原理熵增加原理 0 S 21.21.熵与微观态的关系熵与微观态的关系 lnkS16.16.绝热过程方程绝热过程方程CPV 15.15.迈尔公式迈尔公式RCCVmPm 17.17.热机的效率热机的效率1211QQQ

3、A 2122QQQAQw 18.18.致冷系数致冷系数CTV 1 CTP 151 1、某种理想气体分子的平动自由度、某种理想气体分子的平动自由度t=3,t=3,转动自由度转动自由度 r=2,r=2,振动自由度振动自由度s=1.s=1.当气体的温度为当气体的温度为T T时时, ,一个分子一个分子 的平均总能量等于的平均总能量等于_,_,一摩尔该种气体的内一摩尔该种气体的内 能等于能等于_. _. RTkT27,27)1(RTkT25,25)2(RTkT23,23)3(RTkT21,21)4(2 2、右图为某种气体的两条麦克斯韦速率分布曲线、右图为某种气体的两条麦克斯韦速率分布曲线, ,则则 它们

4、的最可几速率它们的最可几速率V VP1P1_V_VP2P2, ,温度温度T T1 1_T_T2 2. . (1)V(1)VP1P1VVP2P2, T, T1 1TT2 2 (2)V(2)VP1P1VTT2 2 (3)V(3)VP1P1VVP2P2, T, T1 1TVVP2P2, T, T1 1T1。工作于其中两个任。工作于其中两个任选热源之间的可逆卡诺热机的循环效率最大可选热源之间的可逆卡诺热机的循环效率最大可取值取值max=_。由这四个热源共同参与。由这四个热源共同参与的某个可逆循环如图所示，图中每一条实线与的某个可逆循环如图所示，图中每一条实线与其间辅助虚线同属一条绝热线。此循环过程效其

5、间辅助虚线同属一条绝热线。此循环过程效率率=_。 OVPT1T2T3T4解：解：314max111 TT224131111 TTTT第第25届（届（2008）考题考题10第第22届（届（2005）考题考题例例3 3：设某种双原子分子理想气体，设某种双原子分子理想气体，在温度低于在温度低于2 2T T0 0时等容摩尔热容量为时等容摩尔热容量为5R/25R/2，在温度高于，在温度高于2 2T T0 0时等容摩尔热时等容摩尔热容量为容量为7R/27R/2。该气体所经热循环过。该气体所经热循环过程如图所示，试求循环效率程如图所示，试求循环效率。V0BACD3T0T03V0OVP解解1：BCABQQQ

6、吸吸 BCVVTTRTTRTTRQln)3(225232700000 吸吸3ln3600RTRTQ 吸吸DACDQQQ 放放 ADVVRTTTRTTRQln225232700000 放放3ln600RTRTQ 放放%6 .233ln363ln611 吸吸放放QQ 11解解2：（正确）：（正确）BCABQQQ 吸吸BCVVTTRTRTRQln)3(25327000 吸吸3ln3800RTRTQ 吸吸DACDQQQ 放放ADVVRTTRTRQln25327000 放放3ln800RTRTQ 放放%5 .193ln383ln811 吸吸放放QQ 12例例4：在图示的密闭容器内有一空腔，加热容器会使在

7、图示的密闭容器内有一空腔，加热容器会使腔壁产生热辐射，在空腔内形成包含各种频率的光子腔壁产生热辐射，在空腔内形成包含各种频率的光子气。而后腔壁会继续向空腔输运各种频率的光子，光气。而后腔壁会继续向空腔输运各种频率的光子，光子气中各种频率的光子也会输运到腔壁，在给定温度子气中各种频率的光子也会输运到腔壁，在给定温度下达到动态平衡。平衡时，可等效地将腔壁处理成既下达到动态平衡。平衡时，可等效地将腔壁处理成既不产生新的热辐射光子，也不吸收腔内有的光子，这不产生新的热辐射光子，也不吸收腔内有的光子，这相当于假设腔壁对光子气中的光子是全反射的，于是相当于假设腔壁对光子气中的光子是全反射的，于是光子可类比

8、成理想气体。已知腔内光子气的能量密度光子可类比成理想气体。已知腔内光子气的能量密度u与温度与温度T的的4次方成正比，试求光子气压强次方成正比，试求光子气压强P与温度与温度T的关系。的关系。空腔空腔第第23届（届（2006）考题）考题13光子气的光子气的能量密度能量密度解解：频率为频率为的光子，质量为的光子，质量为热学主要内容热学主要内容2chm uhncmnP3131312 其中其中 hnu 即为光子气中即为光子气中光子的光子的能量密度。能量密度。于是，光子的总压强为于是，光子的总压强为uuPP3131 因因 uT4 所以所以 PT414热学主要内容热学主要内容例例5: 1mol刚性双原子理想

9、气体经历如图所示的循环，刚性双原子理想气体经历如图所示的循环， 求循环效率。求循环效率。 OPVV12V1P12P1abc解：解：气体对外作功气体对外作功1121VPA （1）ab 过程过程 11111125225VPVPVPEab 11111)2(VPVVPAab 吸热：吸热：0 abababAEQ利用利用1QA 计算效率计算效率实际是放热。实际是放热。（2） bc 过程过程bcbcQVPVPVPE 11111125)2(25吸热吸热15热学主要内容热学主要内容OPVV12V1P12P1abc（3）ca过程过程过程方程设为：过程方程设为： VP这里：这里：11VP 13P 1113PVVPP

10、 取一微小过程寻找绝热点取一微小过程寻找绝热点寻找吸热到放热的转变点，寻找吸热到放热的转变点，PdVdEdQ PdVPVd 25PdVVdPPdV 2525而过程方程而过程方程dVVPdP11 dVVVPPdQ 112527dVVVPP 111227316热学主要内容热学主要内容dVVVPPdQ 1112273（a）当）当VVPP111227 即：即：147VV 0 dQ系统吸热系统吸热（b）当）当VVPP111227 即：即：147VV 0 dQ系统放热系统放热OPVV12V1P12P1abc（c）当）当111227VPP 即：即：147VV 0 dQ系统既不放系统既不放热也不吸热热也不吸热

11、147Vce 过程吸热过程吸热 dQQce 11471112273VVdVVVPP111627VP 17热学主要内容热学主要内容总吸热为：总吸热为：cebcQQQ 11111162725VPVP 111667VP 效率为效率为%9 .1167816672111111 VPVPQA OPVV12V1P12P1abc147V18第第27届（届（2010）考题）考题例例5: n摩尔刚性单原子分子理想气体经循环过程摩尔刚性单原子分子理想气体经循环过程ABCA和相关状态量如图所示，其中和相关状态量如图所示，其中AB是斜直线，是斜直线，BC是等温是等温线，线，CA是等压线。求：是等压线。求：（1）每段过程

12、对外所做的功；）每段过程对外所做的功；（2）每段过程中）每段过程中, 系统内能的增加和吸收的热量；系统内能的增加和吸收的热量；（3）此循环过程的效率。）此循环过程的效率。（注：（注：ln2=0.693, ln3=1.099, ln5=1.609） OPVV02V0P02P0CAB4V019热学主要内容热学主要内容例例6：绝热汽缸内有一不导热的隔板，把汽缸分成绝热汽缸内有一不导热的隔板，把汽缸分成A，B两室两室,每室中有质量相同的同种单原子分子理想气体每室中有质量相同的同种单原子分子理想气体,它们的压强都是它们的压强都是P0，体积都是，体积都是V0，温度都是，温度都是T0。今通。今通过过A 室中

13、的电热丝室中的电热丝L对气体加热，转给气体的热量为对气体加热，转给气体的热量为Q，达到平衡时，达到平衡时，A室的体积是室的体积是B室的二倍，试求两室中气室的二倍，试求两室中气体的温度。体的温度。ABL解：解：A室室 初态初态 0P0V0T末态末态PAVATB室室 初态初态 0P0V0T末态末态PBVBT20热学主要内容热学主要内容据理想气体的状态方程据理想气体的状态方程NkTPV 有有AANkTPV BBNkTPV 两式相除，得到两式相除，得到21 ABABVVTT即：即：)1(02 BATT由于汽缸的体积是不变的，电热丝的热量全部变成了由于汽缸的体积是不变的，电热丝的热量全部变成了两室的内能

14、增量：两室的内能增量：QNkTNkTNkTBA 02322323或写成：或写成：)2()3(320NkTQNkTTBA （1）（）（2）两式联立，可求得：）两式联立，可求得：)3(940NkTQNkTA )3(920NkTQNkTB 21热学主要内容热学主要内容)3(940NkTQNkTA )3(920NkTQNkTB 据据000NkTVP 有有NkTVP 000因此末态两室的温度为因此末态两室的温度为)3(9400000VPQVPTTA )3(9200000VPQVPTTB 22热学主要内容热学主要内容例例7：某理想气体经历的正循环过程某理想气体经历的正循环过程 ABCDA和正和正循环过程循

15、环过程 AEFGA,各自效率分别为各自效率分别为1和和2，试证，试证2:1=4 : 3ABEGFDCV02V0037VP02P03P0P0V 证明：证明：对于循环过程对于循环过程 ABCDAA-B和和B-C 为吸热过程为吸热过程0000002222VPiVPiVPiEQABAB BCBCBCAEQ 000000000)2()2(222222VPiVVPVPiVPi 共吸热共吸热001)223(VPiQQQBCAB 23热学主要内容热学主要内容ABEGFDCV02V0037VP02P03P0P0V001)223(VPiQQQBCAB 此循环过程对外作功为此循环过程对外作功为0000001)2)(

16、2(VPVVPPA 效率：效率：432111 iQA 对于循环过程对于循环过程 AEFGAA-E和和E-F 为吸热过程为吸热过程000000232ViPVPiVPiEQAEAE EFEFEFAEQ 000000000)2(2)37(3323732VPiVVPVPiVPi 共吸热共吸热002)43(VPiQQQEFAE 24热学主要内容热学主要内容002)43(VPiQQQEFAE ABEGFDCV02V0037VP02P03P0P0V此循环过程对外作功为此循环过程对外作功为000000238)37)(3(VPVVPPA 效率：效率：4338222 iQA 所以所以3:4:12 证毕。证毕。25

17、热学主要内容热学主要内容例例8：两个与大气接触的汽缸分别存有同种理想气体，两个与大气接触的汽缸分别存有同种理想气体，细管绝热阀门细管绝热阀门K关闭，缸内气体温度和体积各为关闭，缸内气体温度和体积各为11,VT和和22,VT，两缸上方均有轻质可动活塞，活塞与缸壁，两缸上方均有轻质可动活塞，活塞与缸壁间无空隙且无摩擦，系统与外界绝热。间无空隙且无摩擦，系统与外界绝热。（1）将阀门）将阀门K缓慢打开，试求缸内气体混合平衡后缓慢打开，试求缸内气体混合平衡后的总体积；的总体积；（2）设该种气体的定容摩尔热容量为）设该种气体的定容摩尔热容量为VmC，开始时，开始时两边气体摩尔数同为两边气体摩尔数同为，试求

18、按（，试求按（1）问所述气体）问所述气体混合平衡后系统熵增量混合平衡后系统熵增量SK11,VT22,VT26热学主要内容热学主要内容K11,VT22,VT解解（1）混合后的体积设为混合后的体积设为V外界对气体作功等于内能增量，即：外界对气体作功等于内能增量，即：20100210222)(VPiVPiVPiVVVP 0)() 12(210 VVVPi得到：得到：21VVV （2）系统体积没有变化，没有体变功，又是绝热过程，）系统体积没有变化，没有体变功，又是绝热过程，系统的内能不变，应有：系统的内能不变，应有：)()(221121TCTCTCVmVmVm 由于由于)(21 所以：所以：221TTT 27热学主要内容热学主要内容混合过程熵变为混合过程熵变为RLSSS 212214)(ln)(TTTTRCVm 22211212)()(TTTTTTVmVmTdTRCTdTRC 22211212TTTTTTPmPmTdTCTdTC 28例例9：在两端绝热封顶，半径在两端绝热封顶，半径R2=7.5cm的长容器内，同的长容器内，同轴地固定着半径轴地固定着半径R1=5cm长铀棒，两者之间夹着一层空气。长铀棒，两者之间夹着一层空气。铀因裂变在单位时间、单位体积内产生的热量为铀因裂变在单位时间、单位体积内产