函数的奇偶性的经典总结

1、可编辑文档函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1 偶函数：一般地，如果对于函数f x的定义域内任意一个x，都有f x f x,f( x) f (x)0,那么函数f x就叫做偶函数。2奇函数：一般地，如果对于函数f x的定义域内任一个x，都有f x f x，f( x) f (x)0,那么函数f x就叫做奇函数。(2)在判断f X与 f x 的关系时，只需验证f X f x 0及 mx)=1是否成立即f (x)可来确定函数的奇偶性。题型一判断下列函数的奇偶性。f(x) x -xf(x) x2x，(2 )f(x) x3x( 3 )xf(x)2 7x 1G x f x f x,xR(4)xx(5)f

2、(x) xcosx(6)f (x) xsin x(7)f (x)22，(8)提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断(1 )判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。31(2) 常见的奇函数有：f (x)x，f (x) x3，f (x)sinx，f (x)x(3) 常见的奇函数有：f (x)x2，f (x) x，f (x)cosx(4) 若f x、g x都是偶函数，那么在f x与g x的公共定义域上，f x+g x为偶函数，f X g x为偶函数。当g x工0时，上 为偶函数。g(x)(5)若f x,g x都是奇函数，那么在f x与g x的公共定义域上，f x+g x是奇函数，f x g

3、 x是奇函数，f x g x是偶函数，当g x工 0 时，丄凶 是偶函数。注意：(1)判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f x f x之一是否成立。g(x)可编辑文档(6) 常函数fx cc 为常数是偶函数，f x0 既是偶函数又是奇函数。(7)在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数和、差仍为奇函 数；奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(8) 对于复合函数F x f g x；若g x为偶函数，f x为奇(偶)函数，则F x都为 偶

4、函数；若g x为奇函数，f x为奇函数，则F x为奇函数若g x为奇函数，f x为偶函 数,则F x为偶函数.题型二三次函数奇偶性的判断32已知函数f (x) ax bx cx d，证明：(1)当(2)当b d 0时，f (x)是奇函数是偶函数；当a c 0，f (x)是奇函数。题型三利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值f (x) sin xln(x x2a)是偶函数，则a的值为因为是填空题，所以还可以用f( 1)f(1), f ( 1) f (1)。还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。a c 0时，f (x)是偶函数提示：通过定义来确定三次函数奇

5、偶性中的常见题型,如f(x) ax20，f(x)21 函数 f x axbx 3a b 是偶函数，定义域为a1，2a，则 a2 设f(x) ax2bx 2是定义在1a,2上的偶函数，则f (x)的值域是10,23 已知sin xf(x)(x 1)(x a)是奇函数，则a的值为 14 已知提示:(1)上述题型的思路是用函数奇偶性的定义,f(x) f (x), f( x) f (x)。(2)(3)可编辑文档题型四 利用函数奇偶性的对称1 下列函数中为偶函数的是( B )可编辑文档2 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。(3)在原点有定义的奇函数

6、必有f (0)0o(4)已知函数f (x t)是R上的奇函数，贝U f (x)关于点(t,0)对称。已知f(x t)是偶函数，则f (x)关于直线x t对称。题型五奇偶函数中的分段问题1 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x 0时，f(x) 2x2x b(b为常数)，则f( 1)-32 已知f x是奇函数，且当x 0时，f x x x 2，求x 0时，f x的表达式。f (x) xx 2323 已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x 0时，f(x) 2x x,贝U f ( 3)=-452A.y x2sinxy xB.y x2cosxC.y|ln xxD.y 2A.y x3 下列函数中,A

7、. y x 11B.y x -x为偶函数的是( C )B1B . y xC.C. y4 函数f(x)x的图像关于(2xD.y 1x2D.y xA.y轴对称B. 直线 yx对称C.坐标原点对称D.直线x对称5 已知函数f (x1)是R上的奇1)4，贝U f (3)=-46 已知函数f(x2)是R上的偶函数,3)3，则f(7)=-3提示：(1)上述题型的思路是用函数奇偶性的定义,f( x) f (x), f (x)f (x)o可编辑文档4 已知f x是偶函数，当x 0时，f(x) x 2x，求f( 4)245 设偶函数f (x)满足f (x) 2x4(x 0)，则x f x 20=x|x 0 或

8、x 4提示：(1)已知奇函数f (x)，当x 0,f (x) g(x)，则当x 0时，f(x) g( x)o(2)已知偶函数f(x)，当x 0,f(x) g(x)，则当x 0时，f(x) g( x)。类型六奇函数的特殊和性质1 已知函数f(x) ax32，求f( 2) f (2)的和为 42 已知 f (x) x7bx5ex3dx 6，且f ( 3) 12，则f (3)=03 已知 f (x) x5ax3bx 8，f ( 2) 10，f (2)=_-26_x2x 1244 已知函数f (x)=2，若f (a)，则f ( a)()x2133提示：已知f (x)满足，f(x) g(x) t,其中g

9、(x)是奇函数，则有f (a) f( a) 2t。题型七函数奇偶性的结合性质1 设f(x)、g(x)是R上的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则结论正确的是A.f(x)g(x)是偶函数B.|f (x)|g(x)是奇函数C.f (x)|g(x)|是奇函数D.|f (x) g(x)|是奇函数2 设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A.f (x) g(x)是偶函B.f (x)g(x)是奇函数C.f (x) g(x)|是偶函数D.f (x) g(x)|是奇函数3 设函数f(x)与g(x)的定义域是x R且x 1,f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且可编辑

10、文档11xf (x) g(x),求f (x)和g(x)的解析式，f(x)二 ,g(x) x 1x 1x 1提示：(1)已知f (x)是奇函数，则f (x)是偶函数。(2)已知h(x)是R上的函数，且f (x)也是R上的偶函数和g(x)也是R上的奇函数，满足h( x) h(x)h(x) h( x)h(x) f (x) g(x)，则有g(x),f (x)22题型八函数的奇偶性与单调性可编辑文档(B)y log2x, xR且XM0 xxe e,x R23 设f(x) x sinx，则f(x)( B )A 既是奇函数又是减函数B 既是奇函数又是增函数 C 有零点的减函数 D 没有零点的奇函数4 设奇函

11、数f (x)在(0,)上为增函数，且f(1) 0,则不等式 卫勺一0的解集为x(1,0)U(01)5 已知偶函数f x在0,单调递减，f 20，若f x 10，则x的取值范围是(1,3).11 26 已知偶函数f (x)在区间0,)单调增加，则满足f(2x 1)vf ()的x取值范围是(一，)33 3提示：(1)已知f (x)是奇函数，且在(，0)上是增(减)函数，则在(0,)上也是增(减)函数。(2) 已知f(x)是偶函数，且在(，0)上是增(减)函数，则在(0,)上也是减(增)函数。(3) 已知f (x)是偶函数，必有f( x) f (x) f (x)。题型九函数的奇偶性的综合问题1 已知

12、函数f x,当x, y R时，恒f(xy) f(x)f (y)，且x 0时，fx 0，又f 11r(1)求证：f x是奇函数；2(2)求证：f (x)在 R 上是减函数；(3) 求f (x)在1 下列函数(0,)上单调递减的是(A.yxB.2 下列函数中，既是偶函数，又在区间2C. y x 1D.y Ig x1,2 )内是增函数的为(A)y cos2x, x R3(D)y x 1, x R可编辑文档区间2,6上的最值。最大值 1,最小值-3。2 设f (x)在 R 上是偶函数，在区间，0 上递增，且有f 2a2a 1f 2a22a 3，求可编辑文档2-232a的取值范围。(三，)3练习题、判断

13、下列函数的奇偶性(1)f(x)xx21f (x) x21(3)(1,1)(4)f(x),x2x 2( 5)f (x)1,x R( 5)f (x)0,x 2,2(6)f(x)In xef (x)x3(8)f (x) sin x tan x(9)f(x)x21，(10)f (x) x(11)f(x)2，(12)f (x) xsinx(13)f (x) x，(14)f (x) x2cosx,(15)f(x)2ix, (16)f (x) xln( .x21 x),(17) f(x) ln(1|x|)二、利用函数的奇偶性求参数的值21 若函数f X (m 1)x 2mx 3是偶函数，求m的值。o32 若

14、函数f(x) x2(a 1)x bx c 4是奇函数,2求(a c)5的值。33 函数f (x) ax(b 1)x2x是奇函数，定义域为(b 1,a)，则(a b2)2的值是_9_4 若f(x) Fa是奇函数，则a5 若函数f(x)x a为偶函数，则实数a6 设函数f(x)x(e-xaex)(x R)是偶函数，则实数a-17 若函数f(x)_ 2loga(x Jx22a2)是奇函数，则 a= .2(x8 若f(x)2)(x m)为奇函数，则实数mx9 若函数f(x) xln(x a x2)为偶函数，则10 若f x ln e3x1 ax是偶函数，则a可编辑文档2-232可编辑文档三、函数奇偶性

15、定义的应用2x1 函数 y=y log2的图像 A2 x(A)关于原点对称(B)关于直线y x对称(C)关于y轴对称(D)关于直线y x对称22 已知函数f X 1X,XR则(B )A.fXf XB.f : X为偶函数 C.fX f X 0D.f X不是偶函数3 若fX是偶函数，则kf X(k为常数)(A )A.是偶函数B.不是偶函数c 是常数函数D.无法确定是不是偶函数1,x0.小上4 函数f X=则f1,x0X为(B )A.偶函数B.奇函数C 既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数5 已知f x为奇函数，则fX X为(A)A 奇函数B.偶函数 C.既不是1奇函数又不是偶函数D.既

16、是奇函数又是偶函数6 已知点1,3是偶函数f x图像上一点，贝yf1等(B )A.-3B.3C.1D.-17 若点1,3在奇函数y fX的图象上，贝y f1等于(D)A.0B.-1C.3D.-328 已知y f(x) x是奇函数，且f1若g(x)f(x) 2,则g( 1) _-1.9 设f (x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x) f (x) f( x)，在R上一定是(A )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数10 设f (x)是R上的奇函数，且y f(x)的图象关于直线 x1对称，则2f(1)f(2)f(3) f (4)f(5)011 已知偶函数f(x)的图像关于

17、直线x 2对称，f(3) 3，则f( 1)_3_.12 设函数f x对于任意x, y R都有f x y f x f y，求证：f x是奇函数。x13 已知t R，函数f(x),x 0,为奇函数，则t-1,g(f( 2)-7可编辑文档g(x),x 0,14 已知奇函数f (x)的，且方程f (x) 0仅有三个根X1,X2,X3，则X1X2X3的值 0可编辑文档515 设函数fx是R上为奇函数，且f(x 2) f(x) f(2)，在f(5)的值上216 已知偶函数f(x) 2x4(x 0)，求f2(x) 4f (x) 3 0的个数 717 已知偶函数f (x) x24x 6(x 0)，求f3(x)

18、 12f2(x) 44 f (x) 48 0的个数 9四、函数奇偶性的性质3211 已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x (,0)时，f(x) 2x x，贝y f (2)11 在R上的奇函数f x和偶函数g x满足f(x) g(x) axax2(a 0,且a 0).若15g 2 a，则f2= 412 若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x) g(x) ex，则有(D )已知f(x3)是偶函数，且f(0)2，则2f (6) 3的值为 1已知f(x)x 2，则f ( 3) f (3)的值 4已知f(x)axbx 4其中a,b为常数，若f( 2)2，则f (2)的值

19、等于(-10)已知f(x)ax则f( 3)f(3)的值-4已知f(x)ax2，则f (ln 3) f (ln 1)的值-46 已知f(x)axcsin x 3，贝U f (ln 3)f (ln1)的值 637 已知函数fln1 x2x 2，则flg5 f lg|8 已知函数fln、1 9x23x 1,则 flg2f lgi9 已知函数f(x)ax3bsinx4(a,b R),f (lg(log210)5，贝V f (lg(lg 2)310 设函数f (x)2(x 1)si nxx21的最大值为M，最小值为m,则M m=2可编辑文档A -f(2)f(3)g(0)B .g(0) f (3)f(2)

20、C .f (2)g(0)f(3)D.g(0)f(2)f(3)可编辑文档13 若函数 f x 为R上的偶函数，且当0 x 10时，ff(x)_x(1以)_m，则M m_4_.2 设奇函数f (x)在(0,)上为增函数，且f(1) 0,则不等式 丄凶一0的解集为x(1,0)U(01)13 已知函数f (x) 3x(一)x，则f (x)14 函数f (x)xf (x 1)(1是定义在实数集 R 上5x) f (x)，则f ()的值是2的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有15 函数f (x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf (x 1)(1x)f(x)，则f (f (-

21、)的值是 0216 若函数f (x)2x a在1,1上是奇函数x bx 1，则f (x)的解析式为f(x)17 设f(x)是R上的奇函数，且当x 0,时，f (x)x(13X)，则当,0)时x ln x，则f18 已知定义在R上的奇函数f(x)，当x 0时,f(x) x2| x | 1，那么x0时,f(x)x219 函数f(x) ln x .13ex1在区间1k,k (k0)上的最大值为M，最小值为20 奇函数f (x)的定义域为f(x2)为偶函数，且f(1)1，则f(8)f (9)( 1)21 设定义在R上的奇函数，满足22 已知函数f (x)是R上的偶函数，当f(x) log2(x 1)，

22、则有f( 2016)五、函数奇偶性和单调性的应用f(x)f (x 2)，那么x 0,都有f(xf (2017)的值 1f (1)2)f(2)f (x)，且当f(2017)的值 0 x 0,2)时，21 已知函数f(x) (k 2)x (k 1)x3是偶函数，则f(x)的递减区间是 一0,可编辑文档3(A)是偶函数，且在 R 上是增函数(B)是奇函数，且在 R 上是增函数可编辑文档(C)是偶函数，且在 R 上是减函数(D)是奇函数，且在 R 上是减函数4 已知奇函数f(x)在R上是增函数 若a f (log21),b f (log24.1),c f (20.8)，则a,b,c5的大小关系为则f

23、(919)_.6 已知偶函数f x在0,单调递减，f2 0,若fx1 0，则x的取值范围是(1,3).11 27 已知偶函数f (x)在区间0,)单调增加，则满足f(2x 1)vf()的x取值范围是(,一)33 3f 3x 1 f 10，则x的取值范围是_( 3)311 已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增，若实数a满足f (2la 1)f (2)，则a的取值范围是(-,-)2 212 已知定义在R上的函数f x 2xm1(m为实数)为偶函数，记a f(log0.53),bf log25 ,c f 2m，则a,b,c的大小关系为cab8 若偶函数f (x)在,1上是增

24、函数，则下列关系式中成立的是(D )Af( j)2f( 1)f(2)B.f( 1)f(3)f(2)2C.f(2)f( 1)f(-)D.f(2)3f( -) f( 1)229 设偶函数f (x)满足f (x)3x 8(x0)，则x| f (x 2)0 x|x 0 或 x 410 已知函数f x是定义在R上的奇函数，且在区间上单调递减，若5 已知f(x)是定义在 R 上的偶函数，且f(x 4)f(x 2)若当x 3,0时，f (x)6x，13f(x)是定义在R上的偶函数，在(可编辑文档,0上是减函数，且f(2)0,则使得f(x) 0的x的取值范围是(2,2)2)上单调递减，则f (1 x )的单调

25、递增区间是14 已知函数f(x)是偶函数，在0,可编辑文档(,1 0,115 已知函数f (x 4)是偶函数，在(4,)上单调递减，则f(log2( x24x 5)的单调递减区间为(1,4)f (x) g(x) 0的解集为(5, 4)(4,5)1 7已 知 函 数f ( x )是R上 的 偶 函 数 ， 且 在 0 , )上 是 增 函 数 ， 令a f (sin 7 ), b f (cos ), c5f (tan )，贝U a, b,c的大小，cab18 已知函数f(x)是R上的奇函数，若当x (0,)时，f(x) lg(x 4)，则满足f(x) 0的解集，(5,0)(5,)19 设f(x)

26、是奇函数，且在(0,)内是增函数，又f( 3) 0，则x f(x) 0的解集是(x | x3或0 x 3)20 设f X是定义在上R的偶函数，且当x 0时，f x2x若对任意的x a,a 2，不23等式f x a f x恒成立，则实数a的取值范围是 _a221 函数 f x 是 R 上的偶函数，且在0,)上单调递增，则下列各式成立的是(B)A.f( 2) f (0)f(1)B.f( 2)f( 1)f(0)c.f(1)f(0)f( 2)D.f (1)f( 2)f(0)22 R 上的偶函数f (x)满足： 对任意的X1,X20,)(X1x2)，有f(x2)X2f(X1)0.则 AX1(A)f(3)

27、 f(2)f(1)(B)f(1) f(2)f(3)(C)f( 2) f (1)f(3)(D)f(3) f (1) f( 2)16 已知f(x),g(x)都是奇函数，如果f (x)0的解集是(4,10)，g(x)0的解集为(2,5)，则可编辑文档In 1 x In 1 x，则f x是(A )A.f (x)在(0,2)单调递增B.f (x)在(0,2)单调递减的取值范围是1式f x0的解集。2227 已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y f (x 2) f( 2x m)只有一个零点，则函数g(x) mx (x 1)的最小值是(5 )x 1若x R,f (x 1)f(x),则实数a的取

28、值范围为-6,-6A. 奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数24 已知函数f(x) Inx ln(2 x)，则25C. y=f (x)的图像关于直线 x=1 对称D.y=f (x)的图像关于点(1,0)对称函数f (x)在()单调递减，且为奇函数.若f(1)1，则满足f (x 2)1的x23 设函数f x26 函数f X x 0是奇函数，且当x 0,时是增函数，若f 1求不等28 已知定义在R上的奇函数f (x)，满足f (x 4)f(x)，且在区间0,2上是增函数,若方程f (x) m(m

29、 0)在区间8,8上有四根X1,X2,X3, x4,则x1x2x3x4.-8329 已知函数f(x) x4x，求30 已知R上的奇函数f(x) x4x六、函数奇偶性综合应用2)0的解集4 b(x 0),(0,2)求f(x)(4,3x2)8x的解集为1 已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x 0时，f (x)i(xa2x 2a23a2)。可编辑文档6 6可编辑文档22 已知函数f(x) x2m m 3(m Z)是偶函数，且f (x)在(0,(I)求m的值，并确定f (x)的解析式；(n)g(x) log23 2x f(x)，求g(x)的定义域和值域.答案：(I)m 1,f xx2；(n),23 已知函数f (x)的定义域为1,1，且同时满足下列条件：(1)f (x)是奇函数；(2)f(x)在定义域上单调递减；(3)f(i a) f (1 a2) 0,求a的取值范围。0 a 14 已知函数y f (x)的定义域为R，且对任意a,b R，都有f (a b) f(a) f (b)，且当x 0时，f(x) 0恒成立，证明：(1)函数y f (x)是R上的减函数；(2)函数y f(x)是奇函