初中数学竞赛专项训练找规律题

1、观察一一归纳一猜想一一找规律给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是：（1） 通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳;（2） 猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确，下面通过举例来说明这些问题一、数字类基本技巧（一）标出序列号：例如，观察下列各式数：0, 3, 8,15, 24,。我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0, 3 , 8, 15 , 24 ,。序列号：1 , 2, 3,4,5,。2容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第 n 项是n-1（二）公因式法：

2、 每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或 2n、3n 有关。2例如：1 , 9, 25, 49,（81 ） , （121 ）,的第 n 项为（2 n一1）,1 , 2 , 3 , 4 , 5.。,从中可以看出 n=2 时，正好是 2X2-1 的平方,n=3 时，正好是 2X3-1 的平方，以 此类推。（三）增副A: 2、9、28、65?增幅是 7、19、37.,增幅的增幅是 12、183答案与 3 有关且是 n 的 3 次幕，即:n +1B : 2、4、& 16.增幅是 2、4、8.答案与 2 的乘方有关即：丫（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数

3、列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。例：2、5、10、17、26，同时减去 2 后得到新数列：0、3、8、15、24,序列号：1、2、3、4、5,从顺序号中可以看出当 n=1 时，得 1*1-1 得 0，当 n=2 时，2*2-1 得 3, 3*3-1=8 ,2 2以此类推，得到第 n 个数为n-1。再看原数列是同时减 2 得到的新数列，则在n -1的基础上加 2，得到原数列第 n（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原?解题例题：2, 5, 8,()例题 5:12, 15

4、, 18,(), 24, 27来。例：4, 16, 36, 64,?,144, 196,？同除以 4 后可得新数列是同除以 4 得到的新数列，24*100 =40000（一）等差数列1、 4、9、16（第一百个数）2，很显然是位置数的平方，得到新数列第n 项即 n，原数列2n 的公式后再乘以 4 即，4n,则求出第一百个数为A.20B.21C.22D.23(二)等比数列例题 1:2, 1,1/2,()。A.0B.1/4C.1/8D.-1例题 2:2, 8,32, 128,()。(三)平方数列1、 完全平方数列：正序：1 , 4, 9, 16, 25逆序：100, 81, 64, 49, 362

5、、 一个数的平方是第二个数。1) 直接得出：2, 4, 16, ( 256 )解析：前一个数的平方等于第二个数，答案为256。2) 一个数的平方加减一个数等于第二个数：1 , 2, 5, 26, (677)前一个数的平方加 1 等于第二个数，答案为677。3、 隐含完全平方数列：1) 通过加减一个常数归成完全平方数列：0, 3, 8, 15, 24, ( 35 )前一个数加 1 分别得到 1, 4, 9, 16, 25,分别为 1 , 2, 3, 4, 5 的平方，答案 352) 相隔加减，得到一个平方数列：例：65, 35, 17, ( 3 ), 1A.15B.13C.9D.3解析：不难感觉

6、到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是：65 等于 8 的平方加 1, 35 等于 6 的平方减 1 , 17 等于 4 的平方加 1,再观察时发现：奇位置数时都是加1,偶位置数时都是减 1,所以下一个数应该是 2 的平方减 1 等于 3,答案是 D。* (四)立方数列立方数列与平方数列类似。例题 1 : 1 , 8, 27 , 64 , ( 125 )解析：数列中前四项为1 , 2 , 3 , 4 的立方，显然答案为5 的立方，为 125。例题 2: 0 , 7 , 26 , 63 , ( 124 )解析：前四项分别为1 , 2 , 3 , 4 的立方减 1,答案为 5 的立方减 1,为

7、124。(五)、加法数列数列中前两个数的和等于后面第三个数：n1+n2=n3例题 1:1, 1 , 2, 3, 5, (8 )。A8 B7C9 D10解析：第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于第五项，按此规律 3 +5=8 答案为 A。例题 2:4 , 5 , ( 9 ) , 14 , 23 , 37A 6 B 7 C 8 D 9解析：与例一相同答案为D例题 3:22 , 35 , 56 ,90 , ( 145 ) 99 年考题A 162 B 156 C 148 D 145解析：22 +35 -仁 56 , 35+ 56-仁 90 , 56+ 90

8、 -仁 145 ,答案为 D(六)、减法数列前两个数的差等于后面第三个数：n1-n 2=n3例题 1 :6 , 3 , 3 , ( 0 ) , 3 , -3A 0B 1 C 2 D 3解析：6-3=3 , 3-3=0 , 3-0=3 , 0-3=-3 答案是 A。(提醒您别忘了：空缺项在中间，从两边找规律”)(七)、乘法数列1、前两个数的乘积等于第三个数例 1：1 , 2, 2, 4, 8, 32, ( 256)前两个数的乘积等于第三个数，答案是256。例题 2:2，12，36，80，() (2007 年考题)A.100B.125C.150D.175解析：2X1 , 3 总，4X9,5X16

9、自然下一项应该为 6X25= 150 选 C,此题还可以变形为：12324,425.,以此类推，得出nE1)2、两数相乘的积呈现规律：等差，等比，平方等数列。例题 2:3/2 , 2/3, 3/4, 1/3, 3/8 ( A ) (99 年海关考题)A 1/6B 2/9C 4/3 D 4/9解析：3/2 2/3=1 2/3X/4=1/2 3/4X3=1/4 1/3X8=1/8 3/8X1/16 答案是 A。(八) 、除法数列与乘法数列相类似，一般也分为如下两种形式：1、两数相除等于第三数。2、两数相除的商呈现规律：顺序，等差，等比，平方等。(九) 、质数数列由质数从小到大的排列：2, 3, 5

10、, 7, 11, 13, 17, 19-(十)、循环数列几个数按一定的次序循环出现的数列。例：3, 4, 5, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 3, 4以上数列只是一些常用的基本数列，考题中的数列是在以上数列基础之上构造而成的，下面我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。1、二级数列这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。例 1 : 2612 2030( 42 )A.38B.42C.48D.56解析：后一个数与前个数的差分别为：4, 6, 8,差应该是 12,所以答案应该是 B。例 2: 20 2225 30 37()A.39B.4

11、5C.48D.51解析：后一个数与前一个数的差分别为：2, 3,应该是 11 ,所以答案应该是 Co例 3: 25112032( 47)A.43B.45C.47D.49解析：后一个数与前一个数的差分别为：3, 6,32 的差应该是 15,所以答案应该是 Co例 4: 4 5 71119( 35 )A.27B.31C.35D.41解析：后一个数与前一个数的差分别为：1 , 2,应该是 16,所以答案应该是 C0例 5: 347 16( 43 )10 这显然是一个等差数列，因而要选的答案与30 的5, 7 这是一个质数数列，因而要选的答案与37 的差9, 12 这显然是一个等差数列，因而要选的答案

12、与4, 8 这是一个等比数列，因而要选的答案与 19 的差31 的差应该是 32,所以答案应该是 Co例 9: (69 ), 36, 19, 10, 5, 2A.77B.69C.54D.48解析：相邻两个数的和构成一个完全平方数列，即：1+3=4=22, 6+10=16=42，贝 V 15+ ? =36=62呢，答案应该是 Bo- A23-BIT- C39-D.43-解析：后一个数与前一个数的差分别为：差应该是 27,所以答案应该是 D0例 6: 32 2723 20 18( 17 )A.14B.15C.16D.171, 3,9 这显然也是一个等比数列，因而要选的答案与16 的解析：后一个数与

13、前一个数的差分别为:18 的差应该是-1，所以答案应该是 D。例 7:-5,-4,-3, -2 这显然是一个等差数列，因而要选的答案与A.20解析: 的差应该是1， 4，8，13，16， 20，B.25C.27D.28后一个数与前一个数的差分别为：5，所以答案应该是 B。例 & 1，3，7，15，31， ( 63A.61B.62C.63D.64解析：后一个数与前一个数的差分别为:(25 )3,3, 4 这是一个循环数列，因而要选的答案2, 4,16 这显然是一个等比数列，因而要选的答案与解析：前一个数与后一个数的差分别为：后面的数应该是 17*2-1=33，因而 33+36=69例 1

14、0:1, 2, 6, 15, 31, ( 56)3,答案应该是5,9,17 这个数列中前一个数的2 倍减 1 得后一个数，A.53B.56C.62D.87解析：后一个数与前一个数的差分别为: 与 31的差应该是 25,所以答案应该是 B。例 11 :1, 3, 18, 216, (5184 )1, 4,9,16 这显然是一个完全平方数列，因而要选的答案A.1023B.1892C.243D.5184解析：后一个数与前一个数的比值分别为：3,的比值应该是 24,所以答案应该是 D : 216*24=5184。例 12:-21716 ( 28 )436,12 这显然是一个等比数列，因而要选的答案与2

15、16A.25B.28 C.3l D.35解析：后一个数与前一个数的差值分别为:差值应该是 12,所以答案应该是 B。例 13:1 361015()3,6,9 这显然是一个等差数列，因而要选的答案与16 的A.20B.21C.30D.25例 14:102, 96, 108, 84, 132, (36 ) , ( 228)解析：后项减前项分别得-6, 12, -24 , 48,是一个等比数列，则 48 后面的数应为-96, 132-96=36，再看-96 后面应是96X2=192 , 192+36=228 。1、设计类1111 1【例 1】在数学活动屮，小明为了求所示的图形。1111+ + ,(1

16、)请你利用这个几何图形求 的值(结果用 n 表示)，设计如图 a1的值为_。2三、动态类【例 3】右图是一回形图，其回形通道的宽与0B 的长均为 1，回形线与射线 0A 交于点 Ai,A氏,若从 0 点到 A1 点的回形线为第 1 圈(长为 7)，从 Ai点到 A 点的回形线为第 2 圈，”，依此类推。则第 10 圈的长为_。Ci【例 4】已知甲运动方式为：先竖直向上运动1 个单位长度后，再水平向右运动2 个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2 个单位长度后，再水平向左运动3 个单位长度。在平面直角坐标系内，现有一动点 P 第 1 次从原点 0 出发按甲方式运动到点P,第 2 次从点 P1

17、出发按乙方式运动到点P,第 3 次从点 P2出发再按甲方式运动到点 P3，第 4 次从点 P3出发再按乙方式运动到点P4, ”。依此运动规律，则经过 第 11 次运动后，动点P 所在位置 Pn 的坐标是 _ 。解析：【例 3】我们从简单的情形出发，从中发现规律，第1 圈的长为 1+1+2+2+1 ,第 2 圈的长为2+3+4+4+2，第三圈的长为 3+5+6+6+3，第四圈的长为 4+7+8+8+4 ,归纳得到第10 圈的长为10+19+20+20+10 =79。(2)请你利用图 b,再设计一个能求.1111-A=-1的值的几何图形。M1B【例 4】(一 3, 4)四、计算类【例 10】观察下

18、列等式：la+2xl=lx(l+2) 2a+2x2=2x(2+2)示为_。解析：【例 10】八-上八+ J(x-l)(F+/ + x+l)=-l,根据前面的规律，(其中 n 为正整数)-: -?：；门：二，”则第 n 个等式可以表【例 11】 观察下列各式:(xT)(+ x+l)=A3-1。？得：I): . 1, n 表示了自然数）析-五、图形类【例 13】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10 个正方形（实线）四条边上的整点共有_ 个解析：【例 13】第一个正方形的整点数为2X4-4 = 4，第二个正方

19、形的 正点数有 3X4 4= 8，第三个正方形的整点数为 4X4 4= 12 个，”故第10 个正方形的整点数为 11X4-4 = 40 ,例 14】“* ”代表甲种植物，“企”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植。按此规律，第六个图案中应种植乙种植物株 【例14】第一个图案中以乙中植物有2X2= 4 个，第二个图案中以乙中植物有3X3= 9 个，第三个图案中以乙中植物有 4X4= 16 个，”故第六个图案中以乙中植物有7X7= 49 个.培养思维的高度训练敏锐的观察、数字排列规律题1 观察下列各算式：2 21+3=4=2 1+3+5=9=3， 1+3+5+7=16=4按此规律（1）

20、试猜 1+3+5+7+- +2005+2007 的值？想（2）推广：1+3+5+7+9+ ?+ （2n-1）+ （2n +1）的和是多少 ？2、 下面数列后两位应该填上什么数字呢？3 5 8 12 173、 请填出下面横线上的数字。112358214、有一串数，它的排列规律是 什么？1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、聪明的你猜猜第 100 个数是5、有一串数字 36101521第 6 个是什么数？6、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、 3、 2、 1、 2、 3、 4、3、2、1、,，那么第 2005 个数是（A . 1 B . 2 C . 3 D47、100 个数排成一行，

21、其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100 个数的前两个数依次为 1，0,那么这 100 个数中0”的个数为 _ 个.二、几何图形变化规律题1、 观察下列球的排列规律（其中？是实心球，0是空心球）：从第 1 个球起到第 2004 个球止，共有实心球 _ 个.2、 观察下列图形排列规律（其中是三角形，是正方形，0是圆），口0厶口口0厶口0厶口口0口，若第一个图形是正方形，则第2008 个图形是 _ （填图形名称）？三、1、数、式计算规律题已知下列等式： 13= 12;213+ 23= 32;313+ 23+ 33= 62;413+ 23+ 33+ 43= 102;由此规律知，第个等式是2、观察下面的儿个算式：1+2+仁 4 ,1+2+3+2+1=9 ,1+2+3+4+3+2+1=161+2+3+4+5+4+3+2+J仁 25 ,根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：1+2+3+ , +99+100+99+ , +3+2+1=_13、 1+2+3+ , +100 = ?经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+, +n