定积分及不定积分

1、第三章 定积分及其应用§3-1 定积分的概念一、 变速直线运动的路程 例1 设某物体作变速直线运动，其速度是时间段上的连续函数，求物体在该时间段内所经过的路程S. 解 由于物体的运动速度不是常量，故不能直接按匀速直线运动的路公式来计算路程。但我们可以先设法求出路程的近似值，再通过极限逼近精确值。我们先将时间等分为小段其中，每个小时间段的跨度，我们在时间段的左端点读取速度,由于分段较密，可以认为每个时间段内速度近似不变，这样第段内的路程可以近似表示为（。 图3-1（需修改）将n个小段时间上的路程相加，就得总路程S的近似值，即 当时，上述路程逼近物体运动总路程的精确值，即 注1 由于速度

2、函数是连续的，可以证明，当我们将时间段任意分割成若干小段且在每一小时间段内任选一个时间节点来读取速度，上述和式的极限是相等的。注2 上述变速直线运动路程计算也可理解为由曲线所围成曲边梯形的面积。二、定积分的概念定义1 设是定义在区间上的有界函数，将区间任意分割成个小区间其中。记，在小区间上任取一点，令，如果存在，则称其极限值为从到的定积分，记作 其中“”称为积分符号，称为积分下限，称为积分上限，称为积分区间，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量， 称为积分微元。 根据定积分的定义，例1变速直线运动的路程S可表示为， 关于定积分的定义，需说明下列几点：（1）定积分与被积函数及积分区间有关，

3、而与积分变量的记号无关，即（2）规定， （3）若在上连续或只有有限个第一类间断点，则在上可积.三、定积分的几何意义从前面的讨论中已经知道，若在上，则定积分表示由曲线、直线、以及轴所围成的图形的面积（图3-1）.若在上，由定积分的定义，有 （）（） 图3-1 若在上，有正有负，则由曲线、直线、以及轴所围成的平面图形，既有在轴上方，又有在轴下方，这时，定积分表示a,b上各个曲边梯形面积的代数和.（图3-2）。 图3-2 例2试用定积分表示由直线，以及轴所围成的平面图形的面积.解 由图3-3可知 图3-3四、定积分的性质设函数、在上可积，则有以下性质.性质1 （为常数）性质2 此性质可推广到有限多个

4、函数代数和的情形性质3 对任意三个实数，总有 当点位于区间之外时，可以证明此性质仍然成立. 图3-4 性质4 如果在上，则性质5 如果在区间上恒有，则例3比较与解 因为在区间上，所以性质6 （估值定理）设M与分别是函数在上的最大值与最小值，则例4估计定积分值的所在范围.解 因为在区间上，所以性质7（积分中值定理） 如果函数在闭区间上连续，则在上至少存在一点，使得下式成立： 积分中值定理的几何解释是：设，则在区间上至少存在一点，使得以为底，为高的矩形面积正好等于区间上以为曲边的曲边梯形的面积（图3-5）. 称为在区间上的平均值. 图3-5（需修改）习题3-11 用定积分表示由曲线所围成的平面图形

5、的面积A.2 利用定积分的几何意义说明下列等式成立（1） （2）3利用定积分的性质比较下列各组定积分值的大小（1）与 （2）与4估计下列定积分的值（1） （2）§3-2 不定积分一、不定积分的概念例1 曲线上任意一点处的切线斜率为，且经过点，求此曲线方程。解 设所求曲线方程为，由题意知 因为(C为任意常数)，故可得曲线方程为将条件代入，得定义1 设函数是已知函数，如果存在函数，满足，则称函数是函数的一个原函数，称为的不定积分，记作，即其中，“”称为积分符号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，C称为积分常数。求函数的一个原函数，就是对求导作一个逆运算，求函数的不定积分，就是求

6、函数的全体原函数。定理1 若函数有二个原函数、，则例2 求下列函数的不定积分（1）； （2） 解（1） 因为 ， 是的一个原函数，所以的全体原函数是， 即 （2） 因为 ， 是的一个原函数，所以的全体原函数是，因此 二、基本积分表由于不定积分是求导（或微分）的逆运算（仅相差一个常数），因此可以根据求导公式得出基本积分公式。为方便起见，我们将一些基本的积分公式列表如下：（1） （为常数） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）例3 求下列函数的不定积分（1） （2） （3）解 （1）（2）（3）三、不定积分的运算法则根据不定积分的定义

7、，可以证明，积分运算满足下列运算法则：法则1 ，（法则2 例4 求解 在各次积分后,每个不定积分的结果都含有任意常数,由于任意常数的和仍是任意常数,所以在积分运算中,多个积分常数最后可合并,只要写出一个任意常数C就可以了。例5 求解 = 例6 求解 例7求解 习题3-21、根据原函数的定义和导数公式，写出下列函数的一个原函数：（1）（2）2、判断下列各式是否正确：（1）（2）3、求下列不定积分：（1） （2）（3） （4）（5） （6）§3-3 Newton-Leibniz公式 前面，我们学习了定积分的概念，我们知道求面积就是求一个和式的极限，但在实际运算中这是非常困难的，因此我们有

8、必要寻求一种新的计算方法。一、变上限的定积分设函数在区间上连续，对于任意的，考虑定积分，由于积分式中的既表示积分上限又表示积分变量，为区别起见，我们将积分变量改写为，则上述积分成为. 它是定义在上的一个函数，我们将其记为，即称为变上限定积分（图3-6） 定理 1 如果函数在区间上连续，则变上限定积分可导，且 证明 设取得增量，则相应地函数取得增量 图3-6其中介于与之间. 当时，有，又连续，所以 .这个定理表明：对于连续函数，其相应的变上限定积分是的一个原函数.例1 求解 由定理1得 例2 求解 令，则便是由与复合而成的复合函数，根据复合函数求导法则，有 二、牛顿莱布尼茨（Newton-Lei

9、bniz）公式定理2 设在区间上连续，是的一个原函数，则有 证明略 上述公式称为牛顿莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式，它深刻地揭示出定积分与被积函数的原函数之间的内在联系，并为定积分的计算提供了有效而简便的方法.函数在区间上的定积分等于它的一个原函数在上的增量.例3 求解1 解2 由例3看出在计算定积分时，是否加不影响定积分的值，因此在以后的计算定积分计算时不需要再加。例4 求解 例5 求解例6 求解 =例7 求解 例8 设，求解 =例9求解 令，得，因此 习题3-31 求下列导数（1） （2）2 求下列定积分（1） （2）（3） （4） （5） （6）3 设，计算§3-

10、4 定积分的换元积分法 利用积分公式能计算的定积分是很有限的，即使像与这样一些基本初等函数的积分也很难求得，因此有必要寻求更有效的积分方法。本节将介绍一种重要的积分方法换元积分法。一、第一类换元积分法（凑微分法）例1 求 解 由于积分微元与被积函数的变量表示不一致，因此不能直接套用公式 。因为，所以。令，当时，；当时，。于是例2 求解 由于积分微元与被积函数的变量表示不一致，因此不能直接套用公式 。因为，所以。令，当时，；当时，。于是上面2个例子解题过程中，实质上是将积分微元凑成某个函数的微分，从而使用公式求出积分，这种方法我们称为第一类换元积分法，又称为凑微分法。常用的凑微分方法有第一类换元

11、积分法的一般形式的计算过程注意：在使用换元积分时，积分的上下限应作相应的改变。例3 求解 例4 求解 例5 求解 例6 求解 二、第二类换元积分法例7 求解 = 第二类换元积分法的一般形式的计算过程例8 求.解 利用定积分的换元积分方法，我们可以得出如下结论：定理1 设在对称区间上连续，则有 （4.1）利用定理1的结论，可使偶函数或奇函数在对称于原点的区间上，积分计算得到简化。例9 求（1） ； （2） 解 （1）因为在上为奇函数，所以（2） =习题3-41 求下列定积分（1） (2) (3) (4) （5） （6） （7） （8）2 求下列定积分（1） （2） §3-5 定积分的分

12、部积分法设函数、在区间上具有连续的导数，则，上式两端分别求区间上的定积分，由于 ，故上式称为定积分的分部积分公式.例1 求解 例2 求解 例3 求解 例4 求解 从上面例子的计算可看出，若是幂函数与指数函数或是三角函数的乘积形式，则将指数函数或三角函数凑成容易计算；若是幂函数与对数函数或是反三角函数的乘积形式，则将幂函数凑成容易计算。例5 求解 移项得： 习题3-5求下列定积分(1) (2) (3) (4) (5) (6) §3-6 广义积分前面介绍的定积分，都是在有限区间上有界函数的积分，这类积分也称常义积分，但在实际问题中，还会遇到积分区间为无限或被积函数在积分区间上是无界的情况

13、，这就需将通常意义的积分概念推广，推广后的积分被称为广义积分.一、无穷限的广义积分例1求由曲线，直线，所围成的开口图形的面积解 由于曲线与轴相交于无穷远处，不能直接使用定积分公式。现任取，先求出区间上所对应的面积：令，便得到所求图形的面积，即 图3-7（需修改） 定义1 若函数在区间上连续，如果极限存在，则称无穷限广义积分收敛，记为 否则，称该无穷限广义积分发散.类似地，可定义函数在上的广义积分为 .定义2 函数在无穷区间上的广义积分定义为 其中为任意给定的实数，当上述右端两个积分都收敛时，称广义积分收敛，否则称广义积分发散.为书写简便，设，记，则广义积分可表示为 例2 求 .解 例3 讨论无

14、穷限积分 的敛散性.解 当时，有 当时，有 .因此，当时，广义积分收敛于 ；当时，广义积分发散.二、无界函数的广义积分图3-8例4 求由曲线，直线与轴所围成的开口图形的面积 （图3-8）.解 由于函数在点处无意义，不能直接使用定积分公式。现任取，先求出区间上所对应的面积 令，便得到所求图形的面积，即： 定义3 若函数在上连续，且.又对，若存在，则称无界函数广义积分收敛.记为 否则，称该无界函数广义积分发散.类似地，若函数在上连续，且，则可定义无界函数积分为 例4 求积分 .解 由于 ，故是一个无界函数广义积分，由定义及应用分部积分法得 其中可由洛必达法则求得.习题3-61、 求下列广义积分（1

15、） ； （2） ；（3）； （4） ；（5） ； （6） ；§3-7 定积分的几何应用一、 平面图形的面积在学习定积分的概念时，我们已经知道由曲线所围成的图形面积A是一个和式的极限，可表示为定积分 上述和式的极限中，核心的一步是将小区间上的小条形面积近似地表示成一个矩形面积。现在用表示任一小区间，并取，则区间上的小条形面积就可近似地表示成， 图3-9我们称为面积A的微元，记作由于，面积A就是区间上微矩形面积的无穷累加，即 由此可见，在利用定积分求面积时，关键的是设法求出区间上的面积微元。例1求由抛物线和所围成的图形的面积. 解 作图（图3-10）由方程组的解可知，两曲线的交点为（0，

16、0）和（1，1），取为积分变量，将面积投影至轴，即积分区间为。任取，分别过、点作轴垂直线，则小条形面积近似等于高为宽为的矩形面 图3-10积，即面积的微元表达式为 于是 通过例1可以看出，在利用定积分求面积的步骤通常为：（1）作图，求出曲线的交点；（2）选择积分变量，同时“投影”确定积分变量的变化范围； （3）进行“穿线”，写出面积的微元表达式；（4）计算定积分的值.例2 求由曲线，直线所围成图形的面积 图3-11解 作图3-11，建立方程组可分别求得交点为，取为积分变量，将面积投影至轴，任取，进行穿线，则小条形面积近似等于高为长为的矩形面积，即面积的微元表达式为 于是 例3 求由曲线与直线所

17、围成的图形的面积.解一 作图（图3-12）由方程组的解可知，交点为，取为积分变量，将面积投影至轴，任取，进行穿线，则所求面积的微元为 于是 图3-12 （需修改） 解二 作图3-13，由方程组的解可知，交点为，取为积分变量，将面积投影至轴，。这里我们看到，若仅从解方程求交点来确定积分区间，就会遗漏部分区间，因此必须采用投影的方法。任取，进行穿线，随着垂直线位置不同，所穿过的“上顶”与“下底”也不同，时，线段长为； 图3-13（需修改）时，线段长为。现将所围区域A分成两部分与，积分区间分别为与。面积微元分别为，。因此所求面积为由例3可知，在运用定积分求面积时，除了“投影”选定积分区间，“穿线”找

18、出被积函数，还可以让垂直线沿积分区间在所围区域内进行“扫描”。如果“上顶”是一个，“下底”是一个，只需一个定积分即可求出面积；当“上顶”是一个，“下底”是二个时，就需分成二段，求二个定积分的和；以此类推，一般选取积分变量应视“扫描”结果，使“上顶”、“下底”所遇曲线最少者为佳。二、旋转体体积由曲线与直线、所围成的平面图形绕轴旋转一周，形成一旋转体如图3-14，求该旋转体体积。选取积分变量，则，任取，分别过、点作垂直于轴的平面，则小区间上所夹的薄片体积近似等于以为底面半径以为高的圆柱体体积，即体积微元为，在区间上作定积分，即得旋转体的体积公式 图3-14 同理，由曲线，所围成的平面图形（图3-1

19、5）绕轴旋转一周而成的旋转体体积公式为 图3-15例4 求由曲线所围成的面积绕轴旋转体体积. 解 作图3-16，建立方程，解得交点为，将面积投影至轴，得积分区间为。选取积分变量，任取，分别过、点作垂直于轴的平面， 图3-16（需修改）则小区间上的薄片体积近似等于，即体积微元，故 例5 证明半径为的球体体积 证 如图3-17，将球看作以原点为圆心，半径为的右半圆绕轴旋转一周而形成的旋转体。由于轴右侧的半圆在轴上的投影为，所以选定积分变量为，积分区间为。由圆方程可得右半圆的曲线方程，所求体积微元为 于是 图3-17（需修改）习题3-71、求由下列曲线围成的平面图形的面积：（1）及直线；（2）与直线

20、；（3）；（4）2、求由直线所围成的平面图形绕轴旋转的体积。3、求由所围成的图形分别绕轴及轴旋转所形成的体积。 §3-8 定积分的工程应用一、变力沿直线的功由物理学可知，当一物体在一个常力的作用下，沿力的方向作直线运动，则在物体移动距离为时，所作的功为。在实际问题中常需要计算变力所作的功，此时需要用定积分方法来解决问题.例1 已知一弹簧拉长要用的力，求把该弹簧拉长所作功. 解 建立坐标如图3-18，设弹簧静止点为原点，沿着轴方向拉伸。由物理学中的胡克定理可知，在弹性限度内拉伸弹簧所需要的力与弹簧的伸长量成正比，即为比例系数）.根据题意，当时，所以，即。选为积分变量，则积分区间为， 任

21、取，功的微元为 图3-18因此 例2 在底面积为的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的活塞沿圆柱体中心轴由点处推移到点处.计算在移动过程中气体压力所作的功.解 建立坐标如图3-19，设活塞静止点为原点，沿着轴方向推移。由物理学可知，定量气体在等温状态下，压图3-19强与体积成反比，即（为常数），而容器内气体体积为，所以，于是作用在活塞上的力为 选为积分变量，积分区间为，任取，所求功W的微元为，因此。例3一圆台形储水池，上底半径2m,下底半径1m,池深3m,水面低于池沿1 m,。现将水从池中抽出，求抽尽储水池内的水所作的功.解 建立坐标系如图3-20. 则储水池

22、母线方程为选取积分变量为，积分区间为，任取，则质量微元 ，其中水的密度）， 图3-20（需修改）所求功W的微元为 ，因此 。二、液体的静压力物理学告诉我们，在距液体表面深处的液体压强是，其中是液体的密度.当一面积为的平面薄片与液面平行地置于液面下深h处，则薄片的一侧所受的压力为 ，现将该薄片垂直于液面置入于液体中，则薄片各处因为所在深度不同而压强各不相同，故不能用上述公式计算薄片一侧所受的压力.例4 一薄片形状为直角梯形，上底为2m，下底为1 m ，高为1 m，现将薄片垂直放入水中，上底离水面1 m，求薄片一侧所受到的压力。解 建立坐标系如图3-21，则梯形腰线方程为选取积分变量为，则积分区间

23、为任取，则面积微元 图3-21（需修改）所求压力微元为 因此 （）三、平均值给出一组离散数据则它们的算术平均值是，在实际问题中，除了计算离散数据的平均值外，有时还需计算一个连续函数在区间上所有值的平均值，如一天内的平均温度，一定时段内某电路上的平均电流强度等. 连续函数在区间上一切值的平均值的计算公式为 我们可以依照定积分的性质，容易地理解上面公式的数学含义.例4 设，求在区间上的平均值.解 由平均值计算公式可知，所求平均值为 例5 设通过电阻为R的纯电阻电路中的交变电流为，其中是电流的最大值，求在一个周期内该电路的平均功率.解 由物理学可知，电路中的电压 ，功率 因此功率在一个周期上的平均值为 通常交流电器上标明的功率就是该电器的平均功率.习题3-81、 设把一金属杆的长度由拉长到时，所需的力等于，其中为常数，试求将该金属杆由长度拉长到所作的功.2、 有一物体在某种介质中作直线运动，其位移（为时间，为常数），介质对物体的阻力与物体速度的平方成正. 比求该物体由移到时，克服介质的阻力所作的功.3、 已知地球半径为R=6370km，现将一质量为173kg的人造卫星由地面发射到离地面2384