2018年高考数学专题33球的“内切”、“外切”的解题技巧黄金解题模板

1、专题 33 球的“内切”、“外切”的解题技巧【高考地位】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目而且球相关的特殊距离， 即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧还有球的截面的性质的运用，特别是其它几 何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的题目一般属于中档难度，往往单独成题，或 者在解答题中以小问的形式出现.【方法点评】类型一球的内切问题使用情景：有关球的内切问题解题模板：第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步 得出结论.例1如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外

2、切且又分别与正方体内切.(1)求两球半径之和;(2)球的半径为多少时，两球体积之和最小.【答案】( (1)R- ； (2)当R = r-时，体积之和有最小值.24【解析】 如图坊球心q和Q在上 过0“ Q分别作ADCADC的垂线交于E.F-则由AB=tAC=3AB=tAC=3 得伦得伦= =屁屁 8 82 2= = 色色二r +左+5(厂+左)=J573 + 12(2)设两球体积之和为 则F = *+rJ) = |(r + JiJi2 2-Xr-Xr + + r r1 1) )=扌呼如7小扌瑯裁謂 f討琴”宀字补(乎)当盘=色学时，卩有最小值.当R = r=与3时，体枳之和有最小值.44【点评

3、】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图2的截面图，在图2中，观察R与r和棱长间的关系即可.【变式演练1】一个倒圆锥形容器， 它的轴截面是正三角形， 在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球, 这时水面恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？【答案】球取出后，圆锥内水平面高为315r.【解析】3如图，作轴截面，设球未取出时，水面高PCPC = = k kf f球取出后，水面高PH*PH*屈屈, ,PCPC = = f f则決胭为底面直径的圆锥容积为乐=JT-JC2PC = (

4、j3r)1-3r=3匚=厂 球取出后水面下降到EFEF , ,水的体积为=JTEHEH2 2PHPH = = g gtan30)丄尸H = 衣._13343Q1又V?K=V圆锥- V球，则x = 3二rr，解得x x = =15r.93答：球取出后，圆锥内水平面高为315r.【点评】先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，禾U用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解.考点：空间几何体的体积；【变式演练2】正三棱锥的高为1,底面边长为2 6，正三棱锥内有一个球与其四个面相切求球的表面积 与体积.【答案】Sj = 4二R2= 4二(.6-2)(.6-2)2 2= =8(

5、5 - 2.6)二,V V 球二球二4二R3= 4二(、.6 - 2)3.333【解析】如虱 球o是正三棱锥P-ABCP-ABC的内切球。到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R阳是正三棱锥的高即PH=.PH=.E是0C边中点，H H 在在血Lt,AABCAABC的边长利利 2 2 愿，二愿，二6: :.PE.PE 二眞二眞, ,可臥得到&心=认认 =$=$注注=ljJC-PE = 3V2.% JHT! (2-) 6- ?由書体积法，了卩_屯破=盘_卩出+呂二卩城+ ” 一卩陀+ $0-珂4二1工6(3汉1=丄汇372汇R汉3+1汇6亦R得：R=今彳=寸62,333233二S球=4二R2= 4二(

6、J6 2)2= 8(5 2 . 6).二.二V球=_:二R3= _鼎(叮6 2)333【点评】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R来求出R,以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法比如：四个半径为R的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的 球心这间的距离都是2R，四个球心构成一个棱长为2R的正四面体，可以计算正四面体的高为62 262 262RR，从而上面球离开桌面的高度为2RR.333考点：空间几何体的球体积和表面积【变式演练3】把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上

7、，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球,使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离.26【答案】2.5【解析.】由题乱四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶鼠则正四面体的高为=0丄-(2-習二学.而第四个球的最高点割第四个球的球山距离为求的半径b且三个球心到桌 面的距离都为b故第四个球的最高点与桌面的距离为2 +翠.【点评】关键在于能根据要求枸造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的核长为两球半径之和2 考点：空间几何体的球体积和表面积【变式演练4】已知三棱锥S-ABC，满足SASB,SC两两垂直，且SA=SB = SC = 2,Q是三棱锥

8、S-ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为.【解析】试题分析：由已知，可将三棱锥S-ABC放入正方体中，其长宽高分别为2，则到面ABC距离最大的点应该在过球心且和面ABC垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则2r =2、3.则到面ABC距离的最大值为-(2r-(.3-3333考点：三棱锥的外接球【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆 的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.若球面上四点P,A,B, C构成的三条线段PA PB P

9、C两两互相垂直，且P& a,PB= b,PC= c, 一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4氏=a2+b2+c2求解.类型二球的外接问题使用情景：有关球的外切问题首先画出球及它的外切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面;第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系解题模板：第一步81：27：第三步得出结论例2.已知A, B, C, D是同一球面上的四个点，其中:ABC是正三角形，AD_平面ABC,AD =2AB =6，则该球的表面积为（）【答案】A由题意画出几何体的图形如图，把4 4 乩乩 CRCR扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与/的距离为球的半/ / ADAD = = 2AB

10、2AB = = 6 6t tOEOE = = 3 37 7AABCAABC是正三角形,R = 0A二、: :AE20E232. 3 =2.3，所求球的表面积为：s =4二R2=4二2、亍i =48二。故选A。点睛：关于球与柱体（椎体）的组合体的问题，是近年高考的常考内容，且常与几何体的体积、表面积等 结合在一起考查。解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于 球的半径，同时要作一圆面起衬托作用.A.48二B.32、3二C.24二D.16【解析】7例3、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2,则该球的体积为（)A.243二81二161681

11、：27：【答案】A【解析】试题分析；如團，正四棱锥P-ABCDP-ABCD中FE为正四棱锥的高，根据球斜目关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线尸&所在的直线上，延长尸E交球面干一点连接应，应，貳F,由球的性质可知AP/F为直角三角形且個丄肿，根据平面几何中的射影定理可得PP = = PFPF PEPEf f因为AEAE = = 22所以侧棱长阳=J2+16 = 3VI,PFIR.PFIR.所.18 = 2x4,所以左所以1辔.故选也14考点：球的表面积和体积【变式演练5】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球0的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直径，且SC=2,则

12、此棱锥的体积为（）A.2B.66C.- D.232【答案】A【解析】试题分析：根据题意作出图形：设球心为0,过ABC三点的小圆的圆心为O,贝U 00丄平面ABC延长C0交球于点D,则SD丄平面ABC / C=-=2132V三棱锥SJBCJ 5二3436高SD=20亠6,3/ABC是边长为1的正三角形,1【变式演练6】已知三棱锥S - ABC的所有顶点都在球0的球面上，SA_平面ABC,SASA二二2. 3,AB =1，AC = 2，NBAC =，则球0的表面积为 _.3【答案】16二【解析】如團，三棱锥S-ABCS-ABC的所有顶点都在球。的球面上，因为站丄平面ABC,SAABC,SA = =

13、 2AB2AB丸丸AC=2AC=2：ZB/fC-60%所以BCBC = =l+4-2xlx4xcos60=33 , ,所次ZMC = 90,臟SC截球。所得的圆。的半径寺2,所以球o的表面积为S S = =点睛：本题主要考查了有关球的组合体问题，其中解答中涉及到直线与平面垂直的性质，球的性质和球的表面公式等知识点的综合运用，试题有一定的难度，属于中档试题，此类问题的解答中正确把握组合体的结构特征，正确应用球的性质是解答的关键【变式演练6】在三棱锥A-BCD中，ABC与BCD都是边长为6的正三角形，平面ABC平面BCD, 则该三棱锥的外接球的体积为（）A.5 ,15二B.60C.60.15二D.

14、20.15:所以球0的半径左二【答案】D【解析】取ADADf fBCBC中点分别为E, F ,连接EF.EF. AFAFf fDFDF, ,根將题意知；虫虫 F F 丄丄 D D 用用 AFAF = = CF=3CF=3易知三棱锥的外接球球心。在线段貯貯上上, ,连接OdOC,OC, RR2 2=AE=AE2 2-OE-OE2 2R2=DF2-OF2二三棱锥的外接球的体积为|叔叔=2Q=2Q 更更故答案选刀点睛：本题考查球内接多面体，根据条件判断三棱锥的外接球球心在线段肋上，添加辅助线求出半径，然后求解三棱锥的外接球体积 【高考再现】1.【2017课标3,理8】已知圆柱的高为1,它的两个底面的

15、圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A.n【答案】B【解析】 试题分析：绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：ACAC = = lABlAB = = - -? ?2 2结合勾股罡理”底面半径尹=Jw -?由圆柱的体穆公式可得：圆柱的体积是卩=耐轴二恥x 1 =扌妊，故选B.B.B.3nD.11【考点】圆柱的体枳公式【名师点睛】求解以空间几何休的体积的关键是确定几何体的元素以更线面的位羞关系和数量关系，利 用相应体积公式求解j （2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、卞朋法等 方法进行求解一2.【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上

16、，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为9兀【答案】2【解析】设正方体边长为a，则6a2=18= a2=3,外接球直径为2R = 3a = 3,V = 4 nR3二冗27 = 9冗.3382【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，禾U用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题 就是第三种方法3

17、.【2017课标1, ,文文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCALSCAL平面SCB SA=AC SB=BC三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为 _ .【答案】36二【解析】试题分析：取EC的中点O,连接04仙SSASSA = = ACB=BCACB=BC所以丄SCOB丄SQ因为平面超C丄平面SBCSBC所以加丄平面陋C设OArOAr二厂x S* x0404二一 x x2f2fx /*x二 l 丿33所以丄丿=9= r=3,所以球的表面积为42=36応3【考点】三棱锥外接球【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一

18、定的空间想象能力，这祥才能 找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，苜先应确走球心的位甌借助于外接球的性原球 心至恪顶点距膏相等，这样可先确定几何体中咅吩点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边 形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距鳥相等,然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离 相等的直线（这两个多边形需有公共点力这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点 到底面中心的距萬 球心到底面中心的距萄 构成勾股走理求解，有时也可利用补体进得到半径，例：三 条侧棱两两垂直的三複锥，可臥补成长方忆它们罡同一个外接球.4.【2017课标II,文15】长方体的长、宽、

19、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积 为【答案】14 n【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以2R =丿32+22+1 = VT4,S= 4nR2=14冗【考点】球的表面积【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、 外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求13【反馈练习】1.已知一个圆锥内接于球0（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径R=5，圆锥的高是底面半径的2倍

20、，则圆锥的体积为 【答案】 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为 L 高为2厂依题意有J J 疋疋尸尸+S+S解得厂，所以圆锥的体积为128考点：圆锥与球.【解析】试题分析：由已知，若棱柱的所有顶点都在球面上，则同高的长方体为长方体的体对角线， 由球体体积可得直径为4,由于长方体底面为边长为2的正方形，故侧面的对角线为考点：三棱柱外接球、异面直线所成角.【方法点睛】构造长方体或正方体确定球心：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体若三棱锥的三个侧面两两垂直

21、，则可将三棱锥补成长方体或正方体3.【2018河省衡水第一中学模拟】某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（为32二的球面上，则直线BiC与直线ACi所成角的余弦值为（)3A.B2C._込D333【答案】B2设三棱柱ABC -ABIG的侧棱与底面垂直,.BCA =90,BC=CA=2，若该棱柱的所有顶点都在体积8个顶点也在球面上，且外接球的直径2 3，由余弦定理可知，直线BiC与直线ACi所成角的余弦值为12 12 -8 22 2-3 2 33A.11 nB.12 nC.13nD.14n【答案】A根握三视團恢复原几何体为三極锥P-ABC如團，其中PHPH = = HAAB=BCHA

22、AB=BC = = , ,ZHABZHAB = = ZABC=9ZABC=9 , , PHPH 1.1.平面AHBCAHBC , ,计算可得PAPA = = ACAC = = y/2,PB=y/2,PB= , , PCy/5PCy/5f f放在外接球中，把直角三甬形甬C恢复为正方形ABCD,ABCD,恰好在一个球小I圆中AC为球小圆的直径，分别 过AD和圆肋CO的垂面，得岀矩形血曲和矩BCEF,BCEF,两矩形对甬纟胶点分别为N N、连 接泅并取其中点为O,则O为球b从图中可決看出点4只H H、G G、。共面且都在山PD的外接圆 上，在“加 中ZPXD = 135= L PZ)2= p4-(/

23、2)-2xlx/2cosl35 = 5、PDJ5PD =、5，利用正弦定理可以求出 APD的外接圆半径2R =2ND0:一=si n135 返2i-【解析】15，ND =110，MN 1,OMN=-，MN平面PAD，则MN ND，则球的半径2 2 2，外接球的表面积为S=4二=11二，选A.I 2丿R =OD二CN2ND2二【点睛】如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱链的三条侧棱两两互相垂直时， 可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种；“套球当棱锥或棱柱是较特殊的形体 时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆借助底面三角形或四边形求出小圆的半径再

24、 利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面休的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心 再 通过关系求半径本题使用疔套球的方法，恢复底面为正方开第放在 f 球小圆里，这样画图方便一些， 最主要是原三视图中的左试图为直角三角形，告诉我们平面PADPAD丄平面ABCDABCDf f和我们做的平面QGHQGH是同一个平面，另外作平面血曲和平面BCEFBCEF的作用是找球心，因为这两个矩形平面对角线的交点M、N所连线段的中点就是球$再根据正、余弦进行计算就可解决一4.【2018湖南湘东五校联考】已知正三棱锥PABC的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥外接球的表IEJT64JT1007/A.B.C.

25、D.:【答案】B17【解析】r由正视團与侧视團知，正三棱锥的侧面上的高为CX底面正三角形的边长为込込如團：其中彭=4AH=2AH=2f f前=273设其外接球的球卜为b半径为町贝牡040A*040A*二R+如斗二2 2 岳岳：.R.R = =空a二外接球的表面积=4nx芍=字故选：BL点睛：求多面体的外接球的面积或体积问题是高考常见问亂属于高频考帚有一定的难度如何求多面体 的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧毬两两互相垂直时，可还原为长方体，长方 体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：腐套球秤当棱锥或極柱是较特殊的形体时，在球内画出揍锥或 棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助

26、底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股走理求出球的 半径，第三种：过两个多面体抄卜心作两个面的垂线，交点即为外接球的球卜再通过关系求半住6.【2018四川省大教育联盟】 如图，ABCD是边长为2的正方形， 点E,F分别为边BC,CD的中 点， 将ABE，|_ECF，|_FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若 四面体PAEF的四个顶点在同一球面上，则该球的表面积是（）A.一6二B.6-6-C.4、3二D.12：【答案】B【解析】-/ABCD是边长为2的正方形点E, F分别为BC, CD的中点.将ABE, AECF. AFBA分别沿AE, EFFA折起，使G D三点

27、.重合于点P，PF、PE两两垂直，且PE二PF=1IPA, PE、PF为棱枸造一个长方体，则四面体 T 四个躺在这个长方体的外接球上这个球的半彳坯 雷 二该球的表面积是 S=471：K2=4JLX9 9=6K .故选：B.斗【解析】8.【20I8湖北四校联考】已知球O的半径为R, A，B, C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离7.【2018黑龙江牡丹江第一高级中学模拟】如图，AAi, BBi均垂直于平面ABC和平面ABIG, BAC = A| B1C1= 90：, AC二AB二AA二BG2，则多面体ABC - AiBiCi的外接球的表6二D.8二由题意,多面体ABC - A 3G为棱长为2的正方体，切去两个角，多面体ABC - AEG的外接球的直径为.3 6,半径为丄多面体ABC-AiBiCi的外接球的表面积为2=6兀，故选C.2【答案】C24二R2=419由正弓疑理可得平面腐C截球所得圆的半径（即也曲C的外接圆半径九r= 土乞=2又对心到平面心 的距离弓R,二球的。半径丘=卜押,/F =学r 64故球o的表面积S S二4rJ?=陌故选D9.【2018山西榆社中学模拟】 如图，在四棱锥E-ABCD中，EC_底面ABCD,EF/EC，底面ABCD为矩形，G为线段AB的中点，CG _ DG,CD =2,DF =CE,BE与底面ABCD所成角为45,则四棱锥E-ABCD