福师《实变函数》在线作业一1答案

1、福师实变函数在线作业一-0002试卷总分:100 得分:0一、 判断题 (共 37 道试题,共 74 分)1.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.A.错误B.正确正确答案:A2.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.A.错误B.正确正确答案:A3.若fBV当且仅当f是两个增函数之差。A.错误B.正确正确答案:B4.测度为零的集称为零测集.A.错误B.正确正确答案:B5.f在a,b上为增函数，则f的导数f'L1a,b.A.错误B.正确正确答案:B6.函数f在区间a,b上可积的充要条件是f在区间a,b上的不连续点集为零测度集.A.错误B.正确正确答案:A7.对任意可测

2、集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.A.错误B.正确正确答案:B8.f在E上可积的充要条件是级数 ME(|f|>=n)之和收敛.A.错误B.正确正确答案:A9.不存在这样的函数f：在区间a,b上增且使得f'(x)在a,b上积分值fdx<f(b)-f(a) .A.错误B.正确正确答案:A10.若fL1a,b,则几乎所有的x属于a,b均是g的L点.A.错误B.正确正确答案:B11.对Rn中任意点集E，EE'必为可测集.A.错误B.正确正确答案:B12.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。A.错误B.正确正确答案:B13.

3、增函数f在a,b上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.A.错误B.正确正确答案:B14.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.A.错误B.正确正确答案:B15.若f,gBV，则f/g(g不为0)属于BV。A.错误B.正确正确答案:A16.f&isin;BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.A.错误B.正确正确答案:B17.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。A.错误B.正确正确答案:B18.若f,gAC，则|

4、f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),fg,fg均属于AC。A.错误B.正确正确答案:B19.f可积的充要条件是f+和f-都可积.A.错误B.正确正确答案:B20.若f,gBV，则f+g,f-g,fg均属于BV。A.错误B.正确正确答案:B21.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集A.错误B.正确正确答案:B22.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,gBV.A.错误B.正确正确答案:B23.fBV，则f几乎处处可微，且f'L

5、1a,b.A.错误B.正确正确答案:B24.连续函数和单调函数都是有界变差函数.A.错误B.正确正确答案:A25.设f是区间a,b上的有界实函数，则f在a,b上R可积，当且仅当f在a,b上几乎处处连续.A.错误B.正确正确答案:B26.函数f在a,b上为常数的充要条件是f在a,b上绝对连续且在a,b上几乎处处为零.A.错误B.正确正确答案:B27.若f,gBV，则|f|,f+,f-,fg,fg属于BV。A.错误B.正确正确答案:B28.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.A.错误B.正确正确答案:A29.存在某区间a,b上增函数f，使得f'(x)

6、在a,b上积分值fdx<f(b)-f(a) .A.错误B.正确正确答案:B30.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.A.错误B.正确正确答案:B31.零测度集的任何子集都是可测集.A.错误B.正确正确答案:A32.设f为a,b上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.A.错误B.正确正确答案:B33.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.A.错误B.正确正确答案:B34.f为a,b上减函数，则f'(x)在a,b可积且其积分值fdxf(b)-f(a) .A.错误B.正确正确答案:A35

7、.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测A.错误B.正确正确答案:B36.当f在(0,+)上一致连续且L可积时，则lim_x->+f(x)=0.A.错误B.正确正确答案:B37.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,则f<=g,a.e.A.错误B.正确正确答案:B二、 单选题 (共 5 道试题,共 10 分)1.下列关系式中不成立的是（ ）A.f(&cup;Ai)=&cup;f(Ai)B.f&cap;(Ai)=f(&cap;Ai)C.(A&cap;B)0=A0&cap;B0D.(&a

8、mp;cup;Ai)c=&cap;(Aic)正确答案:B2.有限个可数集的乘积集是（ ）A.有限集B.可数集C.有连续统势的集D.基数为2c的集正确答案:B3.fn->f,a.e.,则A.fn依测度收敛于fB.fn几乎一致收敛于fC.fn一致收敛于fD.|fn|->|f|,a.e.正确答案:D4.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.A.mE=0B.0<mE<+C.mE=+D.0<=mE<=+正确答案:A5.若A为Rn中一疏集，则（ ）A.Ac为稠集B.A为开集C.A为孤立点集D.A不完备正确答案:A三、 多选题 (共 8 道试题,共

9、16 分)1.设E1，E2是Rn中测度有限的可测集，则A.m(E1E2)+m(E1E2)=mE1+mE2B.若E1包含于E2,mE1<=mE2C.若E1包含于E2,m(E2E1)=mE2-mE1正确答案:ABC2.f(x)=sinx/x,x(0,+),则f(x)在(0,+)上A.广义R可积B.不是广义R可积C.L可积D.不是L可积正确答案:AD3.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）A.f+g不可测B.fg不可测C.g2可测D.|g|可测正确答案:ACD4.若f&isin;BVa,b，则（ ）A.f为有界函数B.Vax(f)为增函数C.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)D.f至多有可数个第一类间断点正确答案:ABCD5.设f为a,b上增函数，则f为（ ）A.几乎处处可微B.L可积C.f'可积D.区间a,b上积分值f'(x)dx=f(b)-f(a)正确答案:ABC6.设E为Rn中的一个不可测集，则其特征函数是A.是L可测函数B.不是L可测函数C.有界函数D.连续函数正确答案:BC7.若A 和B都是R中开集，且