高考数学复习专项——高考数列真题汇编

1、2010年高考数学真题之数列汇编1 （2010年高考山东卷理科22）(本小题满分14分)已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.【解析】本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。解：（）因为，所以 ，令 ，当时，恒成立，此时，函数 在上单调递减；当，时，此时，函数单调递减；时，此时，函数 单调递增；时，此时，函数单调递减；当时，由于，,此时，函数 单调递减；时，此时，函数单调递增.综上所述：（）因为a=，由（）知，=1，=3，当时，函数单调递减；当时，

2、函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为。由于“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）又=，所以当时，因为，此时与（*）矛盾当时，因为，同样与（*）矛盾当时，因为，解不等式8-4b，可得综上，b的取值范围是。【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区

3、间1,2上的最大值，然后解不等式求参数。2（2010年高考福建卷理科20）（本小题满分14分）（）已知函数，。（i）求函数的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段（）对于一般的三次函数（）（ii）的正确命题，并予以证明。【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。【解析】（）（i）由得=，当和时，；当时，因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。（ii）曲线C与其在点处的切线方程为得，即，解得，

4、进而有，用代替，重复上述计算过程，可得和，又，所以因此有。（）记函数的图象为曲线，类似于（）（ii）的正确命题为：若对任意不等式的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似（i）（ii）的计算可得，故。3.（21）(2010年高考天津卷理科21)（本小题满分14分）已知函数f(x)=xe-x（xR）.() 求函数f(x)的单调区间和极值；()已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x) ()如果且证

5、明【命题意图】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。【解析】（）解：f令f(x)=0,解得x=1当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表X()1()f(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=（）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x>1时，2x-2>0,从而(x)>0,从而函数F（x）在1,+)是增函数。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即

6、f(x)>g(x).)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（）可知函数f(x)在区间（-，1）内事增函数，所以>,即>2.4.(2010年高考数学湖北卷理科17）（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（）求的值及的表达式；

7、（）隔热层修建多厚对，总费用达到最小，并求最小值5. (2010年高考数学湖北卷理科21）(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax+c(a0)的图象在点（1,f(1)）处的切线方程为y=x-1.()用a表示出b,c;()若f(x)x在1,上恒成立，求a的取值范围；()证明：1+(n+1)+)(n1).6.(2010年高考湖南卷理科20)（本小题满分13分）已知函数（）证明：当（）若对满足题设条件的任意b,c，不等式恒成立，求M的最小值。7.（2010年高考安徽卷理科17）（本小题满分12分） 设为实数，函数。 ()求的单调区间与极值；()求证：当且时，。8.（2010年高考全国卷I理科20）

8、(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）已知函数.（）若，求的取值范围；（）证明： .【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.【解析】20.解：（），,题设等价于.令，则当，；当时，是的最大值点，综上，的取值范围是.()有（）知，即.当时，；当时，所以9（2010年高考四川卷理科22）（本小题满分14分）设（且），g(x)是f(x)的反函数.（）设关于的方程求在区间2，6上有实数解，求t的取值范围；（）当ae（e为自然对数的底数）时，证

9、明：；（）当0a时，试比较与4的大小，并说明理由.10（2010年高考江苏卷试题20）（本小题满分16分）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。(1)设函数，其中为实数。(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。(2)已知函数具有性质。给定设为实数，且，若|<|，求的取值范围。解析本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。（1）(i)时，恒成立，函数具有性质；(ii)（方法一）设，与的符号相同。当时，故此时在

10、区间上递增；当时，对于，有，所以此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，而，对于，总有，故此时在区间上递增；（方法二）当时，对于， 所以，故此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而 当时，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。综上所述，当时，在区间上递增； 当时，在上递减；在上递增。(2)（方法一）由题意，得：又对任意的都有>0，所以对任意的都有，在上递增。又。当时，且，综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，从而在区间上单调递增。当时，有，得，同理可得，所以由的单调性知、，从而有

11、|<|，符合题设。当时，于是由及的单调性知，所以|，与题设不符。当时，同理可得，进而得|，与题设不符。因此综合、得所求的的取值范围是（0，1）。11.(2010年全国高考宁夏卷21）（本小题满分12分）设函数。（1） 若，求的单调区间；（2） 若当时，求的取值范围（21）解：（1）时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为.12（2010年高考陕西卷理科21）(本小题满分14分)已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。（1） 若曲线y=f(x)与

12、曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；（2） 设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；（3） 对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时， （a）1.解 （1）f(x)=,g(x)=(x>0),由已知得 =alnx，=， 解德a=,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f(e2)=,切线的方程为y-e=(x- e2).（1） 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0，）上递减；当x>时，h (x)>

13、0，h(x)在（0，）上递增。所以x>是h(x)在（0， + ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。所以 （a）=h()= 2a-aln=2（2）当a     0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+）递增，无最小值。故 h(x) 的最小值 （a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o)（3）由（2）知 （a）=2a(1-ln2a)则  1（a ）=-2ln2a，令 1（a ）=0 解得 a =1/2当 0<a<1/2

14、时， 1（a ）>0，所以 （a ） 在(0,1/2) 上递增当 a>1/2 时，  1（a ）<0，所以（a ） 在 (1/2,+)上递减。所以（a ）在(0,+)处取得极大值（1/2 ）=1因为（a ）在(0,+)上有且只有一个极致点，所以（1/2）=1也是（a）的最大值所当a属于 (0,+)时，总有（a）    113(2010年高考北京市理科18) (本小题共13分)已知函数()=In(1+)-+(0)。()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间。（18）（共13分

15、）解：（I）当时，由于，所以曲线在点处的切线方程为即（II），.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故得单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，故得单调递增区间是.当时，得，.所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是14（2010年高考江西卷理科19）（本小题满分12分）设函数（1）当时，求的单调区间；（2）若在上的最大值为，求的值19（本小题满分12分）解： 函数的定义域为，（1）当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）当时，所以在上单调递增，故在上的最大值为，因此 15（2

16、010年高考辽宁卷理科21）（本小题满分12分）已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，求的取值范围。16（2010年高考浙江卷理科22）(本题满分14分)已知 a是给定的实常数，设函数f(x)=(x-a2)(x+b)eX,b R,x=a是f(x)的一个极大值点。（1）求b的取值范围；（2）设x1 ,x2 ,x3 是f(x)的3个极致点，问是否存在实数b，可找到x4 R ，使得 x1 ,x2 ,x3, x4的某种排列 ,（其中i1, i 2,I3, i4=1,2,3,4）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的 x4；若不存在，说明理由。（22）本题主要考

17、查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。（）解：f(x)=ex(x-a)令于是，假设（1） 当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。（2） 当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1<a<x2.即即此时或（2）当时，则于是此时综上所述，存在b满足题意，当b=-a-3时，17(2010年高考全国2卷理数22）（本小题满分12分）设函数（）证明：当时，；（）设当时，求a的取值范围【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能