二面角超级经典我超级经典超级经典超级经典

1、1二面角求法之面面观求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可 说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中 的“万变”就是我们研究的中心话题 总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求” 其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事分析与略解：在例 1 中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图 形的这种对称和谐性 若取 BP 的中点 Q,连接 EQ,则在正三角形 ABC 中，很容易证得 BEQPEQBAPEFAAEF，

2、那么在图 2(2)中， 有 AiQ=AiF.作 FM 丄 AiP 于 M， 连接 QH、 QF,则易得 AiQPAAiFP,AQMPFMP，所以/ PMQ= / PMF=90,/ QMF 为二面角 B-AiP-F 的平面角，i使题解取得了突破性的进展设正三角形的边长为 3,依次可求得 AiP=5, QM=FM= 红5，在 QMF5中，由余弦定理得 cos/ QMF= -7。8练习：2011 广东高考理 18.(本小题满分 13 分)如图 5 在锥体 P-ABCD 中，ABCD 是边长为 1 的菱形,1 定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角定义法是“众

3、法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！ 例 1 正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求二面角 A-BD-Ci的正切值为分析与略解：“小题”不必“大做”，由图 1 知所求二面角为 二面角 C-BD-Ci的“补角” 教材中根本就没有“二面角的补角” 这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉 思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力易知/ COCi是二面角 C-BD-Ci的平面角，且 tan / COCi=2。将题目略作变化，二面角Ai-BD-Ci的余弦值为 _.在图 1 中，/ AiOCi是二面角 Ai-BD-Ci的平面角，设

4、出正方体的棱长,)如图 2(1)，在正三角形 ABCAC、BC 上的点，满足 AE :EB=CF: FA=CP:到厶 AiEF 的位置，接 AiB、AiP.(I)与 (n)略;BP=1:2如图 2(2),将厶 AEF 折起使二面角 Ai-EF-B 成直二面角，连(川)求二面角 B-AiP-F 的余弦值。用余弦定理易求得且/ DAB=60,PA = PD i2,PB=2, E,F 分别是 BC,PC 的中点图13I2出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3 中的 Rt PAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？例 3(2006 年陕西试

5、题)如图 4,平面:-丄平面 1=I, A : , B，点 A 在直线 I 上的射影为 A!,点 B 在 I 的射影为 B!，已知 AB=2 , AAg ,BBI=2，求: (I)略；(II)二面角 Ai-AB B!的正弦值.分析与略解：所求二面角的棱为AB，不像图 3 的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性作 A!E 丄 ABi于 AB!于 E,则可证丄平面 ABiB.过 E 作 EF 丄 AB 交 AB 于 F,连接 AiF,则得 AiF 丄 AB ,二/ AiFE 就是所求二面角的平面角依次可求得ABi=BiB= 2,AiB=3,AiE=2,AiF

6、=3，则在 Rt AiEF 中，sin/AiFE=A:内，且 AD 丄 BC , AD 与面：成角，若6 ABC 的面积为定值 5,求厶 BCD 面积 Q 的最大值.分析与略解：如图 9,作 AE 丄 BC 于 E,连DE，则由 AD 丄 BC 得BC 丄平面 ADE，贝 y DE 丄 BC,ZAED= d ,三种学习境界一、第一层为苦学提起学习就讲”头悬梁、锥刺股”，咳惜、刻苦、再刻苦”。处于这种层次的同学，觉得学习枯燥无味， 对他们来说学习是一种被迫行为，体会不到学习中的乐趣。 长期下去，对学习必然产生了一种恐惧感,从而滋生了厌学的情绪，结果，在他们那里，学习变成了一种苦差事。、第二层为好学c 兀则当二蔦时，有Qmax=2S.BC,则它们的面积比等于对应高之比，这是简单的平几知识,但用在这里却发挥了以简驭繁的奇妙功能.三角函数与正弦定