初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)

1、B（2） 一个点在侧，一个点在外侧:初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。基本图形解析:（对称轴为：动点所在的直线上）一）、巳知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P,使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧： m（2）点A、B在直线同侧：Ab4 HIA、A'是关于直线m的对称点。2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。 （1）两个点都在直线外侧：A JWn（3）两个点都在侧:（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围 成的四边形ADEB周长最短.填空：最短周长二变式二：已知点A位于直

2、线m,n的侧，在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ，QA周 长最短.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P,使PA+PB最小（在图中画出点P和点B） 1两点在直线两侧：A2、两点在直线同侧:（二）动点在圆上运动2、点与圆在直线同侧点B在。0上运动，在直线m上找一点P,使PA+PB最小（在图中画出点P和点B） 1、点与圆在直线两侧：页脚三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定, 在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。（原理用平移知识解）（1）点A、B在直线m两侧：过A点作ACm,

3、且AC长等于PQ长，连接BC.交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P 点，此时P、Q即为所求的点。（2）点A、B在直线m同侧：练习题1 .如图，/A物45： P是NN仍一点，叫0, 0、户分别是久、如上的动点，求 周长的最小值为.2 、 如图1,在锐角三角形ABC中，AB=4>/2 ,ZBAC=45° , NBAC的平分线交BC于点D, M.N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为.3、如图，在锐角三角形ABC中，AB=5四, NBACE5, BAC的平分线交BC于D, M. N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？4、如图4所示，等边ABC的边长为6

4、.AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上 一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图 3,在直角梯形 ABCD 中，ZABC=90° , ADBC, AD=4, AB=5, BC=6,点 P 是 AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为6、如图4,等腰梯形ABCD中，AB二AD=CD=1, NABC=60° , P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为7、如图5菱形ABCD中，AB=2, NBAD=60° , E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点, 则PE+PB的最小值为.8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别

5、长6和8,点P是对角线AC上的一个动点，点M N分别是 边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm,底面周长为18cm,在杯离杯底3cm的点C处有一滴蜂 蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为cm.10、如图，菱形ABCD中，AB=2, NA=120° ,点P, Q, K分别为线段BC, CD, BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形4%刀的边长为2, «为月8的中点，尸是力。上一动点.则加+笈的最小12、 如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上，且

6、DM二2, N是AC上的一 个动点，则DN+MN的最小值为.13、如图，正方形ABCD的边长是2, NDAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和 AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为.14、如图7,在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一cm.(结果不取近似值).动点，连接PB、PQ,则PBQ周长的最小值为15、如图，。的半径为2,点4 B、。在。上，0A10B, /月妗60° , 则乃什小的最小值是.月是施上一动点,16、如图8, MN是半径为1的。0的直径，点A在。上，NAMN=30° , 8为人弧的中点,P是直径MN上一动点，

7、则PA+PB的最小值为()(A)22(B) 短(C)l (D)2解答题1、如图9,正比例函数y=x的图象与反比例函数尸x (kO)在第一象限的图象交于A点、,过A点作x轴的垂线，垂足为M,已知三角形OAM的面积为1.(1)求反比例函数的解析式；(2)如果B为反比例函数在笫一象限图象上的点(点B与点A不重合)，且B点的横 坐标为1,在X轴上求一点P,使PA+PB最小.2,如图，一元二次方程 xJ+2x-3=0 的二根 Xi, x2 （ x） x2）是抛物线 y=axJ+bx+c 与x轴的两个交点B, C的横坐标，且此抛物线过点A （3, 6）.（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为

8、P,对称轴与AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M,当MQ+VA取得最小值时，求M点的坐标.3、如图10,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1,右）,ZiAOB的面积是招.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、0、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C,使AOC的周长最小？若存在，求出 点C的坐标；若不存在，请说明理由；3184 .如图，抛物线片一二才+3和y轴的交点为儿J/为%的中点，若有一动点只自“点处出发，沿直线运动到X轴上的某点（设为点G,再沿直线运动到该抛物线对称轴上的 某点（设为点尸），最后又沿直线运动到点儿求使点尸运动的总路程最短的点

9、发点尸的坐 标，并求出这个最短路程的长.5 .如图，已知在平面直角坐标系a勿中，直角梯形如面的边。在'轴的正半轴上，0C在 x轴的正半轴上，OAAB-2,妗3,过点4作劭_La；交切于点。.将绕点4按顺时 针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、*轴的正半轴于点£和反（1）求经过力、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当您经过（1）中抛物线的顶点时，求。'的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点只。（点。在点尸的上方），且&=1,要使四边形史图 的周长最小，求出只。两点的坐标.6.如图，已知平面直角坐标系，儿8两点的坐标分别为力(2, -3),庾4, 一1)若C(a

10、, 0), (广3, 0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形/%的周长最短.2 -1 -2 -1 O0 1 234 5?-1- &-2-7、如图11,在平面直角坐标系中，矩形3cB的顶点0在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，0A=3, 0B=4, D为边0B的中点.(1)若E为边0A上的一个动点，当4CDE的周长最小时，求点E的坐标；(2)若E、F为边0A上的两个动点，且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时，求点E、 F的坐标.二、求两线段差的曼大值问题(运用三角形两边之差小于笫三边) 基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P,使PA与PB的差最大;(1)点

11、A、B在直线m同侧:解析：延长AB交直线m于点P,根据三角形两边之差小于第三边，P' AP' BVAB,而PA一PB=AB此时最大,因此点P为所求的点。(2)点A、B在直线m异侧：解析：过B作关于直线m的对称点B',连接AB'交点直线m于P.此时PB=PB' , PA-PB最 大值为AB' 练习题1 .如图，抛物线y=*+2的顶点为力，与y轴交于点反(1)求点小点8的坐标；(2)若点尸是x轴上任意一点，求证：PAPBWAB； 当川一所最大时，求点尸的坐标.2 .如图，已知直线y=L x+1与y轴交于点4与x轴交于点。，2抛物线y=1与直线交于乩&

12、#163;两点，与才轴交于反。两点，且8点坐标为（1, 20）.（1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点必，使i/仙一刈的值最大，求出点”的坐标.3、在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（4, -1）和（一2, 5）；点P是y轴上的一个动点，（D点P在何处时，PA+PB的和为最小？并求最小值。点P在何处时，I PAPB |最大？并求最大值。4.如图，直线y=-与x轴交于点。，与y轴交于点反点月为y轴正半轴上的一 点，ON经过点8和点。，直线回交。力于点(1)求点的坐标；(2)过0, C,。三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点只 使线段如与加之 差的值最大？若存在，请求出

13、这个最大值和点尸的坐标.若不存在，请说明理由.5、抛物线的解析式为y = -/+2x + 3,交x轴与A与B,交y轴于C,在其对称轴上是否存在一点P,使ZIAPC周长最小，若存在，求其坐标。在其对称轴上是否存在一点Q,使I QBQC |的值最大，若存在求其坐标。6、已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，0C=3, BC=2,取AB的中点M,连接MC, 把MBC沿x轴的负方向平移0C的长度后得到口（）.（1）试直接写出点D的坐标；（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限的该抛物线上移动，过点P 作PQ_Lx轴于点Q,连接0P.若以0、P、Q为顶点的三角形与ADAO相似，试

14、求出点P的坐标；试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得|TO-TB|的值最大？7、如图，已知抛物线C的解析式为y=-x2+2x+8,图象与y轴交于D点，并且顶点A在双曲 线上.(1)求过顶点A的双曲线解析式；(2)若开口向上的抛物线G与G的形状、大小完全相同，并且G的顶点P始终在C1上， 证明：抛物线a一定经过a点；(3)设(2)中的抛物线a的对称轴PF与X轴交于F点，且与双曲线交于E点，当D、0、E、F四点组成的四边形的面积为16.5时，先求出P点坐标，并在直线尸x上求一点M,使 IMD-MP的值最大.8,如困，已知抛野=白+云+匕经过A(3, 0), B(O, 4),(1).求此抛物线

15、解析式(2)若抛物线与x轴的另一交点为C,求点C关于直线AB的对称点C'的坐标(3)若点是第二象限点，以为圆心的圆分别与x轴、'轴、直线/出相切于点反尸、 问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P,使得州川|的值最大？若存在，求出该最大 值；若不存在，请说明理由。三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其 他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根

16、据两点之间线段 最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。1、如图，在月比中，/俏90。，水4,小2,点儿C分别在x轴、y轴上，当点力在x轴上运动时，点之在y轴上运动，在运动过程中，点8到原点的最大距离是()A. 2、Q + 2 B. 275 Co 26D. 62、已知：在中，BC=& AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题：(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时，a二b二3,且NACB=60° ,则 CD=；(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时，a二b二6,且NACB=90° ,则 CD 二；(3)如图3,当NACB变化，且点D

17、与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相 应的NACB的度数.3、在Rt/伤。中，NA®90° , tanN胡信L 点在边力7上（不与人C重合），连结 劭,2产为劭中点.（1）若过点作ML厉于£,连结CF、EF、CE,如图1.设CF = kEF ,则k=；（2）若将图1中的力应绕点力旋转，使得、E、B三点、共线，点、F仍为BD中点、,如图2所示.求证：BE-DE-2CF；（3）若除6,点。在边力。的三等分点处，将线段,4绕点力旋转，点尸始终为劭中点, 求线段）长度的最大值.图1备图4、如图，四边形ABCD是正方形，4ABE是等边三角形，M为对角线BD (不含B点)上任意 一点,将BM绕点B逆时针旋转60。得到BN,连接EN、AM、CM.(l