2016届河北省沧州市高三4月调研数学(理)试题

1、2016 届河北省沧州市高三 4 月调研数学（理）试题理科数学第I卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1. 已知全集U -1,2,3, 4,5，M二3,4,5，N二1,2,5，则集合1,2可表示为（）AM NB.（CuM）NC.M（CUN）D. （CUM）（CUN）2. 设复数z =-1-i（i为虚数单位），z的共轭复数为z，则|（1_z）z|=（）A.10B. 2 C .2D . 13. 某地区有大型超市x个，中型超市y个，小型超市z个，x:y:z = 1:5:9，为了掌握该地区超市的营业情况

2、，采用分层抽样的方法抽取一个容量为30 的样本，则抽取的中型超市的个数为（）A. 2B . 5 C . 10 D . 182x4. 焦点为（0,6 ）且与双曲线 y2=1 有相同渐近线的双曲线的方程为（）A.2y2x .：1B.2x2 1C.2y2x12xD.-2112241224241224125.执行如图的程序框图， 如果输出的结果为2, 则输入的x =()A. 0B. 2C.0 或 4D.46.已知球O的半径为 2，圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面，圆M和圆N的面积分别为2二和二，则|MN|=()13.已知向量a,b满足|a| =1,|b|= 3,a b=( 3,1).则cos(a,

3、b)二A. 1 B .3C . 2 D .57. 在等差数列a*中，a!= -2016，其前n项和为&，若S2016一= 3，则S2OI()20162013A. -2016 B . -2015 C . 2016 D . 20158. 某几何体三视图如图所示，此几何体的体积为()A. 4 B . 6 C . 8 D . 99. 在(V X)3(1 - X)4- (1 x)5|们-：-(1 X)10的展开式中，含X2项的系数为()A. 162 B. 163 C . 164D. 165x2f (x), f (x)兰g(x),卄10. 已知函数f (x) =e a,g(x) - -x -4x

4、2，设函数h(x)右函数h(x)的最lg(x), f(x)g(x),大值为 2，则a二()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3211. 抛物线y =mx(m 0)的焦点为F,抛物线的弦AB经过点F,并且以AB为直径的圆与直线x = -3相切于点M(-3,6)，则线段AB的长为()A. 12 B . 16 C . 18 D . 2412. 已知函数f (x) = x3ax2bx 1，函数y二f(x1)-1为奇函数，则函数f(x)的零点个数为()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3第 H 卷(共 90 分)、填空题(每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上)14.等比数列a

5、n中，an0，a3+2a?=比，则数列an的公比为15.函数f (x) = 2sin( .x：1)(.0,0 v=)的图像如图所示，已知图像经过点A(0,1)，BC, -1)，3则f(X)二116. 已知数列an中，印=1,an=c + ,1兰an兰4成立，则c的取值范围是 _.an三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分 12 分) 2 1已知函数f(x)二3sinxcosx sin x一(x R).2(I)当,兀5兀I x -,时，求f(x)的最大值.12 12(n)设ABC的内角 代B,C所对的边分别为a,b,c，且c

6、二3，f(C)=2，sin B=2s in A求a.18.(本小题满分 12 分)四棱锥PABCD中，AB/CD,AB _ BC,AB二BC = 2CD = 2,AP二PB = 3,PC二5.(I)求证：直线PD_平面ABCD;(n )E是棱PB的中点，求直线PA与平面AEC所成的角的正弦值.19. (本小题满分 12 分)一袋子中有 10 个大小相同标有数字的小球，其中 4 个小球标有数字 1,3 个小球标有数字 2,2 个小球标有数字 3,1 个小球标有数字 4.从袋子中任取 3 个小球.(I )求所取的 3 个小球中所标有数字恰有两个相同的概率；(n)X表示所取的 3 个小球所标数字的最

7、大值，求X的分布列与数学期望.20. (本小题满分 12 分)如图，已知P是以Fi(-1,0)为圆心，以 4 为半径的圆上的动点，P与F2(1,0)所连线段的垂直平分线与线段PFi交于点M.(I)求点M的轨迹C的方程；(n)已知点E坐标为(4,0 ),并且倾斜角为锐角的直线I经过点F2(1,0)并且与曲线C相交于A, B两点,(i)求证：.AEF2=/BEF2；(ii)若cos AEB二7，求直线I的方程.921.(本小题满分 12 分)xal nX29e已知函数f(x)=-22x，曲线y=f(x)在(2, f(2)处切线的斜率为一 .(e为自然对数的底x x4数)(I)求a的值；(n)证明：

8、f (x) e 2.请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.(本小题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲如图，在ABC中，.BAC的平分线交BC于点D，交ABC的外接圆于点E,延长AC交DCE的 外接圆于点F，DF二14.(I )求BD;(n)若AEF =90，AD =3，求DE的长.23.(本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程x = 2 t cosa,在平面直角坐标系中，直线|：(t为参数，Owawji),在以O为极点，x轴正半轴为y =1 +t si na极轴的极坐标系中，曲线C :- 4cos二.(I )求曲线C的直

9、角坐标方程；II(n)已知点P(2,1)，若直线l与曲线C交于 代B两点，且AP =2PB，求ta na.24.(本小题满分 10 分)选修 4-5 :不等式选讲已知函数f(x)=|x2-1|.(I )解不等式f(X)乞2 2x；(n)设a 0，若关于x的不等式f(x)5_ax解集非空，求a的取值范围2016 年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学参考答案一、选择题1.B2.A3.C4.A5.D6.D7.A8.C9.C10.B11.D12.B8.解析：由三视图可得此几何体为四棱锥(如图所示)，其底面ABCD为矩形，顶点P在底面ABCD上的射影为AB的中点E，可以求得棱锥高PE =2，于是其

10、体积为V=8.I11.解析：依题意可得直线x=-3是抛物线的准线，故m=2p=12.即抛物线方程为y2=12x.又可得线段AB的中点纵坐标为 6.并且F(3,0).设直线AB的方程为y=k(x_3)，贝U=12x二 八k( -3)二ky2-12y-36k=0. %y2J2=12 ,k=1.从而求得| AB| = 24.y = k(x -3)12k12.解析：.f (x 1)1 = x3(3 a)x2(3 2a b)x 1 a b为奇函数，.a = -3,13. 014. 215.f(x) =2si n( 3-)616.0,3解析：方法一：当c = 0时，an=1恒成立，条件满足.1当c0时，a

11、n卅=c+ ancan(c；记can(an.1-an)can+1所臥的取值范围是0r3.方；iZ：=l+cel4, 0c 1J所以数列斗的最小项杲兔=1、最大项是乩二 Q -1，所決由冬 4 j得c兰 41an卅一anan 2= c,an 2- a* 1 aan +2 2_ c anC -canncan1can1(I)当1C乞3时，可以验证a1,a 1,4成立，并且若有(n)当0 2：1时，可以验证a1,a21,4成立；并且若有a 1,4，则(i)an 1=c j 4显然成立.1(ii)an 1 c an 21an JC anC anC1canJ1can J1an _!2 2而(c an!c

12、an)-(can1) =c an(1 -c)(an-1) _ 0，所以an 1_ 1.综上所述，当0乞c冬3时，恒有an三1,4.三、简答题17.解：(I). 2分n 5兀兀兀2兀、X -,，2x-,12 1263 3nnJi当2x时，即x时，.4 分623Sin(2x -) =1, f(x)max =2. . 6 分6(n)f(C) =sin(2c -)1 =2,6二 ,. 二 二11二.sin(2C -)=1.、0：C：二，-2C -一 :6 6 6 6 nnn2C，得C . .8 分623sin B=2sin A，二 丄=空，二b = 2a. . 10 分2R 2R由余弦定理得：a2，b

13、2-ab=3，解得a=1. . 12 分18. (I)证明：如图，取棱AB的中点G，连接DG , PG.则DC /GB ,DC二GB.四边形BCDG是平行四边形又AB _ BC，所以四边形BCDG是矩形所以AB _ DG.由PA二PB=3，得PGAB.PG DG二G,PG平面PDG,DG平面PDG，所以AB_ 平面PDG，即得DC_平面PDG . .2 分于是DC PD,PD2DC2=PC2，其中DC =1,PC F5，所以PD=2.又DG=BC=2,PG二PB2-GB2=2 2.所以PD2DG2= PG2，于是PD _ DG.又DG DC二D,DG平面ABCD,CD平面ABCD.f(x)二3

14、 sin xcosx +sin2x3sin2xcos2x 12 2 231二si n2x cos2x 1 = si n(2x ) 12 226所以PD_平面ABCD.4 分1则P(0,0，2),A(2，-1,0)，C(0，1,O),E(1).设向量n丄平面AEC，并且n=（Xo,y,z。）则徑A*二0,AEL.nAC = 0,AC3X。： 一yz。=0,所以2- 2x2y=0.取Xo=2，贝yn =(2,2, -1)，而PA=(2, -1,-2).设直线PA与平面AEC所成的角为-，则sin|PAn|/|PA| n| 9（n ）解：由上可知DG, DC,DP两两垂直，以它们所在的直线作为x,y

15、,z轴建立空间直角坐标系（如图），19.解：（I）所取的三个小球中，所标数字恰有两个相同的概率为2 1 2 1 2 1C4C6. C3C7.C2C8P4?6G30C3C3C10C101324（n）X的可能取值为1,234.C34P(X =1)七C1012030，P(X=2)3C；C：C33133C10C10G3。一120；P(X =3)普CG?1C10C1049；120；3十JU=(-2,2,0),10 分12 分所以PD_平面ABCD.4 分C；C：363P(X=4)=C39=1200；102=1.3X1234p1314930120120To10 分E(X)=1123112 分20.解：(I

16、)设M(x, y),则因为M在线段PF2的垂直平分线上，所以|MP|=|MF2|，所以| MFi| | MF21 = | MF1| | MP | = 4 | FiF21.即M的轨迹为以Fi, F2为焦点的椭圆,其长半轴为a = 2，半焦距为c = 1，所以短半轴b= a2- c23所以C的方程是(i)设AXy),BXy)，直线AB的方程为y=k(x-1)，则3x2y =十4y2=1222228k2(3 4k2)x2-8k2x 4k2-12 = 0,x1x22,k(x -1)3 4k24k2-12S 3 4k2则kAE，kBEy2x2-4所以kAE- kBEy2X -4x2-4y1=如-1) k

17、(X2-1)=-4卷- 4X1k(X T)(X2-4) k(X2-1)(X1-4)(人-4)区-4)2%2-5&1X2) 8=0.(洛-4)(X2-4)即AEF2= BEF2.(ii)因为cosAEB=7，所以tanAEF2=tan/BEF29二2，不妨设点4A在第一象限，则y2x2-4=42，所以Jy222；即(严：,(X2-4) 8(X2-4) -8y2,2 2则f(2WT，得心.Xx8ln - e 2(n)f(x) -22x,x (0,：),X XXx设函数g(x) /,g(x) /,.XX当x (0,1)时，g(x)：0,g(x)为减函数,当x (1：)时，g(x) 0,g(x

18、)为增函数,则g(x) _ g(1) =e8l nX8-161 nx3设函数h(x)22x,h (x)32，令(x) = 8 -16lnX一x3,xx216x(x)3x20，则(x)=8-16ln-x3在x，(0,=)为减函数，x2又因为(2) =0,则当(0,2)时，(x)0，即h(x)0,h(x)为增函数,则当x (2,：)时，：(x)：0,即h(x)：0,h(x)为减函数,所以h(x)屮2) =一2,r2(%一4)2=83(仁丫)，4. 10 分2区-4)2=8 3(1_x：),.42所以xnx2是方程(X-4)2=83(1-X )，即方程7x2-8x-8 =0的两个根,4所以Xi+X2

19、 =7,x1x2= _ 7，所以8k2_ 83 4k2一7k2=1又倾斜角为锐角,所以k .0,所以直线AB的方程为y=x1.12 分xaln 21.解：(I)因为f(X)= 22x,x X所以f(x)=e (xf1)XXa - 2a Inx310 分xx8ln一eo综上所述，f(x)=22X g(x)min-h(X)max=e2. . 12 分X x22.解：(I)在 厶ABC的外接圆中，.ABC=/AEC,DCE的外接圆中，.DEC=/DFC,.ABC =/DFC, . 2 分、AD为.BAC的平分线，.BAD=/CAD，、AD =AD,.ABD三AFD,BD二FD二14.(n)设DE二x,. AEF =90,DF二14,EF二14 - x2,.由(I)同理可得BAD二BCE,DCE二.DFE,BAD二CAD,AE EF.CAD二.DFE ,. .: AFE FDE, . 8 分EF DE则3 x=14-x214-x2x27.2x 3x-14 =0,. x = 2(x =