重庆市万州区甘宁初级中学八年级数学上册 对称、平移和旋转变换复习 华东师大版

1、对称、平移和旋转变换在平面几何的解证题中，往往由条件的隐蔽和分散，以至找不到解证题的途径，而恰当地运用几何变换，就可以使“分散”变为“集中”，“隐蔽”变为“明显”，使解证题思路清晰起来。这一讲我们着重学习三种主要的合同变换对称变换、平移变换、旋转变换及其在解证几何题中的运用。一、对称变换对称变换包括轴对称变换和中心对称变换。将一个图形以一条定直线为轴作对称图形，这种变换是轴对称变换。将一个图形以一个定点为中心作对称图形，这种变换是中心对称变换（也是旋转变换的特殊情况）。对称变换的特点是不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。一条直线或一个点就确定了一个对称变换。例1：试证：等腰三角形的底

2、角相等。已知：如图（1），在ABC中，AB=AC，求：B=C分析：（1）由于等腰三角形是一个轴对称图形，则可添加对称轴证之，如作ADBC于D，再证ABDACD即可。（2）更妙的是，把ABC看作是以AD为轴的两个重叠在一起的三角形由ABCACB换出B=C。例2：如图（2），四边形ABCD中，ABCD，且有AB=AC=AD=cm，BC=5cm，求BD的长。分析：由于ACD是等腰三角形，以底边CD中垂线NM为轴补全图形，做出ABC关于MN的对称AED，则AB=AD=AE=，所以BDE=Rt，而DE=BC=5，所以BD=12。例3：如图（3），在梯形ABCD中，ADBC，点E是CD的中点，EFAB于F

3、，则S=ABEF。分析：由于DE=EC，因此，以E为定点作A的对称点G，则ADE与GCE关于点E对称，且B，C，G三点共线，所以S=S=ABEF，故S= ABEF。二、平移变换平移变换是将一个图形向某一个方向移动一个距离得到一个新的图形，其平移前后的线段保持相等且平行，角也保持相等。例4：如图（4），在梯形ABCD中，ADBC，B+C= Rt，E、F分别为AD、BC的中点，求证：EF=（BC-AD）分析：把AB和DC分别平移到EG和EH，则有1=B，2=C，BG=AE，CH=ED，所以GF=FH，且可得GEH= Rt，到此，问题已集中在RtGEH中明朗化了，结论是垂手可得的。三、旋转变换旋转变

4、换是将一个图形绕着一个定点P旋转角，得到一个新的图形。点P称为旋转中心，称为旋转角。在旋转变换中，图形的形状和大小都没有改变，只改变了图形位置。例5：如图（5），ABC和CDE都是正三角形，求证：AD=BE分析：显然BCE顺时针旋转60即得ADC，故AD=BE。例6：如图（6），在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD上的点，且AE+EF+FA=2，求ECF的度数。分析：因为EF+（AE+AF）=（BE+DF）+（AE+AF）=2，所以EF=BE+DF，由此想到把CDF绕点C逆时针旋转90到CBG的位置，这时EF=EG，CF=CG，所以CFECEG，而FCG=90，所以ECF=45。四、小结：（1） 对称变换：将一个图形以一条定直线为轴作对称图形。对称变换的特点是不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。（2） 平移变换：将一个图形向某一个方向移动一个距离得到一个新的图形。平移变换的特点是在平移前后的线段保持相等且平行，角也保