动点二次函数及等腰三角形存在性问题.docx

1、动点问题一二次函数中等腰三角形存在性问题方法总结：假设结论成立;当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底、哪条是腰时，要对其进行分类讨论，假 设某两条边相等，等到三种情况；设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设点坐标表示 出假设相等的两条边的长或第三边的长；计算求解，根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式，根据等量关系式求解即可。典型例题：例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A ( - 1, 0) , B ( 4, 0) , C (0, - 4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的解析式；(

2、2)是否存在点P,使APOC是以0C为底边的等腰三角形若存在，求出P点坐标；若不存在，请说 明理由；(3)动点P运动到什么位置时， PBC面积最大，求出此时P点坐标和4PBC的最大面积.%,X2例2如图，抛物线y= -2+mXn与*轴交于人、B两点，与y轴交于点C ,抛物线的对称轴交x 轴于点D,已知A ( - 1, 0) , C (0, 2)(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使 PCD是以CD为腰的等腰三角形如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置 时，四边

3、形CDBF的面积最大求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.例3.如图，二次函数y LX2 bx c的图象经过A（2, 0） , B （0, 6）两点. 2（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接BA, BC,求4ABC的面积.（3）在x轴上是否存在一点P,使4ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若不存在，说明理 由.例4. （2014?绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c （aWO）的图象过点M （ - 2, 3）,顶点坐标为N （-1,3 ）,且与轴交于A > B两点，与y轴交于C点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上

4、的动点，当 PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q ,使QBl的周长最小若存在，求出Q点坐标；若不存在，请 说明理由.例5. 2014年四川资阳)如图，已知抛物线产ax2+bx+c与x轴的一个交点为A (3, 0),与y轴的交点 为B (0, 3),其顶点为C,对称轴为x=l.(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M为y轴上的一个动点，当 ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；例6.如图，已知二次函数的图象经过点A ( 3, 3)、B (4, 0)和原点O.P为二次函数图象上的一 个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D ( m , 0),并与直线0 A交于点C.(1)求

5、出二次函数的解析式；(2)当点P在直线OA的上方时，用含m的代数式表示线段PC的长，并求线段PC的最大值；(3)当m>0时，探索是否存在点P,使得APCO为等腰三角形，如果存在，请直接写出所有P的坐标; 如果不存在，请说明理由.例7. （ 2014年浙江义乌12分）如图，直角梯形ABC 0的两边0A, 0C在坐标轴的正半轴上，BC x 轴，0A=0C=4,以直线x=l为对称轴的抛物线过A, B, C三点.（1）求该抛物线线的函数解析式.（2）已知直线1的解析式为yx m ,它与x轴的交于点G ,在梯形ABCO的一边上取点P.当m=0时，如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH

6、L直线1于点H,连结OP,试 求aOPH的面积.当m 3时，过P点分别作x轴、直线1的垂线，垂足为点E, F.是否存在这样的点P,使以P, E, F为 顶点的三角形是等腰三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.y小n小£小图工图2菌用图例8.6如图，抛物线一3 2y x厂3与 轴交于点，将线段 绕点八逆时针旋转 x XA0 A0至0 B的位 0置.12063B为顶点的三角形是等腰三角形若存（1）点B在抛物线上；（2）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、0、X例9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx - 4 (aWO)的图象与x轴交于A ( -

7、2, 0)、C(8, 0)两点，与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点D.(1)求该二次函数的解析式；(2)如图1,连结BC,在线段BC上是否存在点E,使得4CDE为等腰三角形若存在，求出所有符 合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2,若点P (m , n)是该二次函数图象上的一个动点(其中m >0, n<0),连结PB, PD, BD, 求4BDP面积的最大值及此时点P的坐标.例10.如图，抛物线y ax2 5ax 4经过 ABC的三个顶点，已知BCx轴, 点A在x轴上，点C在y轴上，且AC BC .（1）求抛物线的对称轴；（2）求抛物线的解析式；（3）探究：若点P

8、是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在4PAB是等腰三角形.若存在，求 出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由.例11 .如图11所示，在梯形ABCD中，已知ABCD, AD，D B , AD=D C=C B , AB=4.以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.（1）求NDAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L.（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个（不必求点P的坐标,只需说明理由）f7ABCD的三个顶点B ( , )、C(,)、D(,)抛例12.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形4 08 08 8 .物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2) 动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿