第五章 万有引力定律

1、第五章 萬有引力定律一、萬有引力定律：任何兩質點之間都彼此互相吸引，吸引力的量值和它們的質量的乘積成正比，和它們之間的距離的平方成反比。方向在兩者連線指向對方 ， 其中 G = 6.6710-11 m3/kgsec2 1.牛頓的球殼定理：均勻薄球殼對殼外的小物體所呈現的吸引力，等於球殼的全部質量集中在球心處的質點對物體所產生的吸引力，故球體間的萬有引力可視為質點間的萬有引力一般。若物體放在球殼內部，則球殼對物體所呈現的吸引力為零。2.質點 M 在空間中建立重力場 :單位質量在重力場中所受的重力 為向量，量值 : ，單位： N/kgm/s2 方向 : 方向均指向 M 3.庫侖力：(1)庫侖力量值

2、: 任何兩帶電質點間相互作用力量值與兩質點電量的乘積成正比 ， 與兩質點間的距離平方成反比 ， 其中 k = 9.0109 N-m2/C2 ) 方向：在兩者連線 (2)電場： 單位正電荷所受的庫侖力。 ，為 向 量，點電荷建立的電場量值 ，單位：牛頓/庫侖 方向: Q為正電荷，電場方向由Q指向該點 Q為負電荷，電場方向由該點指向Q4.萬有引力與庫侖力公式：力(向量)場(向量) 萬有引力：大小：mg方向：在兩者連線，指向對方質點建立重力場 g=庫侖力大小：=qE 方向：在兩者連線點電荷、帶電金屬球(殼)外帶電金屬球(殼)內E05.萬有引力與庫侖力性質對照表：萬有引力、庫侖力大小：距離平方反比引力

3、，為保守力，無外力作用，系統遵守力學能守恒。方向：在兩者連心線上，為連心力繞固定中心力矩0，角動量守恒(遵守等面積速度定律)例如: 行星繞太陽系統、 玻耳氫原子模型角動量為向量，量值 ；，繞固定軸轉動時，90其中轉動慣量 方向 :右手四指指向時，拇指指向二、人造衛星運動與失重狀態：1. 人造衛星運動: 質量 的衛星在半徑的圓形軌道上繞地球 M運行 ，則軌道速率、 軌道週期、衛星的動能、系統的力學能各為何? (可由衛星軌道半徑、週期可測出地球質量 ) 說明 : ， ， 若 R，則 v & T 距離平方反比引力場的圓形軌道中，行星之動能 = 1/2 位能絕對值 力學能 : 2.同步衛星 : 其公轉

4、週期與地球自轉週期相同 ， 週期為 24 小時 。 在地球上觀察者， 恆觀察到在赤道某處的正上空。3.表面衛星 :軌道半徑R地球半徑Re ，向心加速度即地表重力加速度g= 9.8 m/s2 (1)軌道週期 、軌道速率 : (2)若表面衛星週期為 T ， 所環繞行星平均密度為 ，則T2 = ? 說明 : (1) ， = ， ， . (2) ， 4.雙子星系統運動：雙星以質心為共同圓心 互繞運行，求:軌道半徑、週期、軌道速率、力學能? 說明：質點與質心的距離(或圓周運動的半徑)與質量反比；質點相對質心的速度值與質量反比；故圓周半徑， ：m1 ， ， m2 = ， 系統總動能位能絕對值(1)系統不受

5、外力，質心加速度0系統總動量0，質心速度0；兩者動量大小相等，方向相反。(2)系統不受外力，為孤立系統，系統內交互作用力為保守力，故系統的力學能守恒。系統總動能位能絕對值系統力學能Ek(3)兩星球受萬有引力通過質心，故相對質心其合力矩0，故角動量守恒。5.失重狀態：實重:物體所受地球的重力視重:在不同座標系的觀察者所觀察的彈簧秤對物體的作用力；當彈簧秤與物體間的作用力為零時，此時即稱為失重狀態。處於失重狀態的物體，仍會受萬有引力。mg-N=ma，當物體的加速度a=g重力加速度時，物體處與於失重狀態，N=0。三、刻卜勒行星運動定律：1.第一定律(軌道定律)：所有行星各在以太陽為焦點的橢圓形軌道上

6、運行 。行星受萬有引力作用，繞太陽作橢圓軌道運行。萬有引力通過太陽，故相對太陽行星所受的合力矩0，故角動量守恒。2.第二定律(等面積定律)：行星與太陽的連線在相同的時間間隔內，掃過相同的面積即面積速度相等 : 定值 (近、遠日點時)等面積速度定律為角動量守恆之下的結果：角動量守恆定律：系統所受的合力矩 =0 ，系統的角動量守恆。如 : 行星繞太陽的系統 、 拉塞福原子模型：電子繞原子核做橢圓的運行、等速圓周運動。力方向通過支點，力臂=0 ，合力矩=0 ，故角動量守恆 角動量為向量，量值 ；其中 面積速度定律 =定值 3.第三定律(週期定律)：行星公轉週期的平方，和其橢圓軌道半長軸的三次方成正比

7、。 =定值 ，(對所有行星) ，其中平均軌道半徑說明：質量 m 的行星以半徑 R 繞恆星作圓周運動 , 定值(對繞同一恆星得不同行星)。四、歷屆聯考題：一、單一選擇題：1.設一星球為密度均勻之球體，若一質點在此星球表面的重量為W，則此質點在此星球球心位置的重量為：(A)0 (B)0.5W (C)W (D)2W (E)無窮大。2.假定某星球表面上的重力加速度為地球表面上的10倍。若不考慮其他阻力，則以同樣速率擲出之物體，在該星球表面上所能達到的最大高度為在地球表面上的：(A)1/100倍 (B)1/10倍 (C)1倍 (D)10倍。 76三專3.地球與太陽之平均距離為一個天文單位。已知哈雷彗星約

8、76年回歸一次，哈雷彗星與太陽之最近距離約為0.6天文單位。設所有行星對哈雷彗星的影響均可略去不計，則可推算哈雷彗星與太陽之最遠距離與下列那一距離最為接近？(A)17.6 (B)35.2 (C)70.4 (D)140.8天文單位。4.地球質量為月球質量之81倍，兩者連心線之長度為d，設一火箭在連心線上，至地心之距離為a，若二星球對火箭之引力和為零，則a、d之關係為：(A)a/d=80/81 (B)a/d=1/10 (C)a/d=/9 (D)a/d=9/10 。 三專5.如果萬有引力定律中兩質點間引力的大小與其距離的n次方(n2)成反比，考慮一群以圓形軌道繞行同一恆星的行星，設各行星的週期與其軌

9、道半徑的平方成正比，則n的值應為：(A)l (B)3/2 (C)5/2 (D)3。 日大6.設一人造衛星以圓形軌道繞地球而運行，其軌道半徑為月球軌道平均半徑的1/3，則此衛星繞地球的週期為：(A)在一天至四天之間 (B)在四天至八天之間 (C)在八天至十六天之間 (D)大於十六天 (E)與地球的自轉週期相同。 日大7.A與B兩星球之半徑比為2：1，密度比為1：3，則兩者表面之重力加速度為：(A)1：3 (B)2：3 (C)4：9 (D)：。 三專8.月球表面之重力加速度為地球表面重力加速度的1/6，則相同初速率，相同拋射角之拋射運動的水平射程在月球表面約為在地球表面之：(A)6倍 (B)36倍

10、 (C)倍 (D)9倍。 9.假設萬有引力係與兩物體間距離之立方成反比。如以R及T分別代表太陽系諸行星繞日作圓周運動時之軌道半徑及週期，則下列各比值中，何者對行星而言均相同？(A)R3/T2 (B)R2/T3 (C)R/T2 (D)R2/T (E)R/T。 日大10.某星球其平均質量密度與地球相同，半徑則為地球之2倍，在地球上重量為64公斤重的人到該星球上時，其重量為：(A)16公斤重 (B)32公斤重 (C)128公斤重 (D)256公斤重。 11.地球半徑為R，距地心r處有一同步衛星。密度和地球相同之A星球，半徑2R，距其球心2r處亦有一同步衛星，則A星球之自轉週期應為：(A)23/2日

11、(B)2日 (C)1日 (D)1/2日。 12.某星球繞太陽公轉，其平均軌道半徑為地球平均軌道半徑的9倍，若地球公轉週期為1年，則該星球公轉週期為：(A)27年 (B)9年 (C)3年 (D)81年 (E)729年。 13. 如圖8 所示，當人造衛星(S)環繞地球(E)做半徑為r (從地球中心算起)的圓軌道運動時，下列有關該衛星物理量的量值，哪些隨半徑r 的增加而增加(衛星的質量固定)? (A) 圓周運動速率 (B) 圓周運動的角速率 (C) 圓周運動的週期(D) 相對於地球中心點的角動量 (E) 動能二、多重選擇題：1.人造衛星繞地球運動所需的向心力，為地球施於衛星的萬有引力。由此條件可以導

12、出的下列結果中，正確的是：(A)衛星的速率v=，其中G為萬有引力常數，M為地球質量，r為衛星軌道半徑 (B)衛星的週期T=2 (D)克卜勒第三定律r3/T2=定值 (E)t2=定值，但為地球的密度，而此式適用於任何軌道間。 80夜大2. 火星表面上的重力加速度比地球表面上為小。下列有關在地球和火星表面上各種物理現象的敘述，哪些正確?(A) 繩長相同的單擺做小幅度擺動的週期相同(B) 同一個質量-彈簧系統垂直懸掛，作簡諧振動的週期相同。(C) 同一個物體完全沒入水中所受的浮力相同(D) 同一個物體所受的大氣浮力相同(E) 氫原子的游離能相同三、非選擇題：1.已知土星繞太陽運轉之平均距離約為地球繞

13、太陽運轉平均距離的10倍，則土星繞太陽一周需時幾年？ 83日大 2.三個質量同為M的質點，位於邊長為L的等邊三角形的頂點。在萬有引力影響下，這三質點在外接此等邊三角形的圓形軌道運轉，且仍保持彼此間的距離。(1)求各質點所受的萬有引力的大小為？ (2)求運轉的角速度的大小為？3.某彗星以橢圓軌跡繞太陽公轉，其與太陽之最大距離為其與太陽最短距離之100倍。今測得此彗星在最接近太陽時之速率為1000公里/秒，其在最遠離太陽時之速率為多少公里/秒？ 4.一衛星環繞一行星做橢圓軌道之運動，設此衛星至行星最遠距離與最近距離之比為2：1，則相應的角速度之比為 。一、單一選擇題1.A 2.B 3.B 4.D

14、5.D 6.B 7.B 8.A 9.D 10.C 11.C 12.A 13.B二、多重選擇題1.ABDE 2.BE三、非選擇題1. 2.(1)(2) 3.10 4. 1：4五、第3 回複習試題：【範圍】第4 章至第5 章第一部分：多重選擇題(每題5 分)1 下列有關物體作等速圓周運動的敘述，何者正確？ (A) 物體加速度的量值不變，且方向恆指向圓心， 因此作等加速度運動(B) 物體所受的向心力與離心力，大小相等而方向相反(C) 物體所受的淨力等於向心力(D) 在任一時距內， 物體所受的平均衝力等於向心力(E) 物體在某一直徑上的投影作簡諧運動。2 斜向拋射一物， 略空氣阻力， 則在物體著地前，

15、 下列有關的敘述何者正確？(A) 物體在最高點的動量為零(B) 物體的動量守恆(C) 動量的水平分量為常量(D) 物體在同一高度的兩點， 其動量相同(E) 動量的時變率為定值。3 不受外力作用的兩物體， 則兩物在碰撞前與碰撞後， 其(A) 總動量不變(B)各物體的動量不變(C) 兩物質心的速度不變(D) 兩物質心的位置不變(E)在碰撞期間， 兩物質心所受的衝量為零。4 一物體自平地上斜向拋出， 略空氣阻力， 物體到達最高點時， 分裂成兩塊，則在兩塊著地前， 下列有關的敘述， 何者正確？ (A) 此兩塊必同時著地(B) 兩塊的總動量守恆(C) 兩塊對質心的總動量恆為零(D) 兩塊的質心作等加速度

16、運動(E) 兩塊的質心的軌跡為拋物線。5 行星繞太陽作橢圓軌道運行， 則下列敘述何者正確？ (A) 行星作變速率運動(B) 行星愈接近太陽時，其加速度愈大(C)只有法線加速度， 恆無切線加速度(D) 軌道半徑愈大的行星，其公轉週期愈大(E) 各行星與太陽連線在相同的時間內掠掃相等的面積。第二部分：單一選擇題(每題5 分)6 在光滑的水平面上， 質量為2 kg 的物體， 以速度5 ms 向東運動時， 受到向西的水平力作用， 此力F ( n t ) 對時間t ( s ) 的關係式為F = 3 t + 5 ， 則在第2秒末， 物體的速率為若干ms？ (A) 3 (B) 6 (C) 8 (D) 12

17、(E) 16 。7 在光滑的水平面上， 質量為60 kg 的人站在質量為40 kg 的台車， 隨車向東以2 ms 的速度運動， 今人在車尾向西跳離台車， 腳在跳離時與車接觸作用的時間為0. 5 秒， 而台車在跳離後的速率變為3 ms ， 則人在水平方向作用於台車的平均力的大小為若干牛頓？ (A) 30 (B) 40 (C) 60 (D) 70 (E) 80 。8 質量為M ， 半徑為R 的半球形碗靜置於光滑平地上， 一質量為m 的質點自圖示位置， 靜止下滑至碗底時， 則碗移動的距離為(A) R(B) m R( M + m ) (C) M R( M + m ) (D) M Rm (E) m RM

18、 。9 某行星繞太陽運行的週期為8 年， 其與太陽的最近距離為1. 5A.U.，則此行星與太陽的最遠距離為若干A.U. ？ (A) 2. 0 (B) 2. 5 (C) 4. 0 (D) 5. 5 (E) 6. 5 。10 質量為m 的行星繞太陽運行的週期為27 年， 在近日點時， 行星距太陽為3A.U. ， 而速率為v ， 則此行星自近日點運行至遠日點時， 其所受衝量的量值為(A) 0 (B) 2 m v3 (C) m v3 (D) 6 m v5 (E) 4 m v5 。第三部分：填充題(每題5 分)11 質量m 的物體A 以速度v 與質量2 m 的靜止B 物體碰撞， 在碰撞後，物體A 以速度v4 反方向運動， 則在碰撞後A 對B 的動量大小為 。12 質量5 kg 的物體在一直線上運動， 其動量p ( kg - ms ) 對時間t ( s )的關係式為p = 3 t2 - 2 t + 4 ， 則在第2 秒末， 物體的加速度為 ms2 。13 質量各為m 和2 m 的兩靜止物體， 分別受定力作用， 在相同時距內的位移大小比為1：2 ， 則在此時距內， 兩物所受衝量大小的比為 。14 一物體自平地上斜向拋出， 略空氣阻力， 物體達最高點時， 其動量大小恰為拋出時的一半， 且此時分裂成質量比為1：2 的AB 兩塊， 若B 自由落下， 則A 落地時的動量大小與物體初動