克莱姆法则及证明

1、第7节克莱姆（Cramer）法则、线性方程组元线性方程组是指形式为：*阿+先乜+孤西片旳內+如帀+靭內=b2（1）厲內灯加花+匕祕召=bjn的方程组，其中/ '!打代表1个未知量，匸是方程的个数, I.- - 称为方程组的系数，-_"小称为常数项。线性方程组的一个解是指由、个数：J ! 组成的有序数组-'-'j1，当、个« y m i y尸 户 Hu户未知量；：打分别用代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。方程组（1）的解的全体称为它的解集合， 如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解方程组。为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题：（

2、1）.这个方程组有没有解？（2）.如果这个方程组有解，有多少个解？（3）.在方程组有解时，解之间的关系，并求出全部解。本节讨论方程的个数与未知量的个数相等（即）的情形。、克莱姆法则定理1 （克莱姆法则）如果线性方程组內+沁再十+弧f(2)的系数行列式:那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成:(3)其中一是把二中第列换成常数项所得的行列式，即分析：定理一共有3个结论：*方程组有解；解是唯一的；解由公式（3）给出。因此证明的步骤是:D.= -5-(i = 1,2, ,«)第一，把代入方程组，验证它确实是解。这样就证明了方程组有解，并且（3）是一个解，即证明了结论第二，证明如果

3、 I''：:是方程组（2）的一个解，那么一定有。这就证明了解的唯一性，即证明了结论证明：先回忆行列式的一个性质，设乜D = an阶行列式I%，则有:+处禺岸工險吗t二砌%+如4/1+接下来证明定理。首先，证明（3）确实是（2）的解。将行列式按第：列展开得:6、三：'，,其中是行列式二中元素r的代数余子式“2（ij"2卫）。现把! D= 12; ;«)代入第：个方程的左端，得：鞘土卡菩+陶才二（明耳+知2 +2=万如©血'1玄4l +Q4J+知（坊血+鸟&2十+打&+»+4 +M>+-+44.）1=i

4、Oja血 + 致is +''' + &屏用)+ 血 S*i4n + au4aa +''1 + %&J+4(%4i+知4严+%4J=irD =bj.D这说明将（3）代入第J一-其川，个方程后，得到了一个恒等式，所以（ 一个解。3）是（2）的其次，设矿知为二:是方程组（2）的一个解，那么，将!代入（2）后，得到1个恒等式:砌5 +巾=ig(4)中个恒等用系数行列式的第列的代数余子式 一勺 依次去乘（ 式，得到:九砧+如4巾+ %血勺 $4彳闯血5 4宓2九心+3生&% =妇&W門4®亠空也+耳心=64将此"

5、个等式相加，得：（如4 +也+如比>! + %血+也血+- +衍右）令+（縮41 +縮禺+小+孤4k>=+ Ma +爲4从而有：2 丫这就是说，如果（心农）是方程组（2）的D一个解，那么一定有'匚:所以方程组只有一个解。三、齐次线性方程组在线性方程组中，有一种特殊的线性方程组，即常数项全为零的方程组，称为齐次线性方程组。显然，齐次线性方程组总是有解的，因为: - >|就是它的解，这个解I,称为零解；其他的，即！不全为零的解（如果还有的话），称为非零解。所以，对于齐次线性方程组，需要讨论的问题，不是有没有解，而是有没有非零解。这个问题与齐次线性方程组解的个数是有密切关系

6、的。如果一个齐次线性方程组只有零解，那么这个方程组就只有唯一解；反之， 如果某个齐次线性方程组有唯一解，那么由于零解是一个解，所以这个方程组不可能有非零解。对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克莱姆法则，有推论1如果齐次线性方程组吗+ 12兀2 +=0ax + ax2 +' - + a2K =0严戒冏十査再+_+细耳=0（ 5）的系数行列式不等于零，那么（5）只有零解。推论2齐次线性方程组OnK】+口口眄+%吟-0+ =0咼+知再+十细耳=0有非零解的必要条件是它的系数行列式等于零。四、例子例i解线性方程组卩町十乜-再+ x4 =-3 吗 _彫+码斗2百=4 2兀i +

7、观 + 2巧-x4 = 7 丐 +2x3 + 兀=6-11122-12113"解：方程组的系数行列式:311 -1 D =2 11 0-31-113 -3 -114-112= -13 A =1412712-1272 -16 0 2 )16 2 1所以根据克莱姆法则,这个线性方程组有唯一解。又因A-2631-3131-1-31-142= -391-114217-1212710611026A-13所以这个线性方程组的唯一解为:例2解线性方程组：齐一牝+ 3号十2眄=6”码-3xj + 3也 + 2x4 = 53! 叼-西 + 24 = 33x1 _ 花 + 3勺-x4 = 4解：方程组的

8、系数行列式：-1-70023-1-33 63 5= -70, A =3-1-133-134-152-70324-16-13226325-3323532D厂3-1-12£33-124-13-134孑-1所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。又因6-70262所以这个线性方和组的唯一解为:例3已知三次曲线'''7 ''在四个点-I-' 二处的值分别为：，试求其系数'O解：将三次曲线在4点处的值代入其方程，得到关于的线性方程组:+ 曲 十 tXj + 角=6 呦十 ®i(T)十 cjT)'十 «3(-

9、1)3 = 6 ru0 + 曲 2+ (sra23 + 角 2弓=6<30 + drl(-2) +(3a(-2)a +a3(-2)3-6所以根据克莱姆法则,-1-1576-72-8-1一-172它的系数行列式是范德蒙行列式:1 1111 1111 -1(T)：(-D31 -11-11 222231 24E1 -2（唧(-窈1 -24-8D= 720这个线性方程组有唯一解。又因-一 I ,即所求的三次曲线方程为一"：一'二”*例4如果齐次线性方程组珂十巧十可十= 0 珂十 2xa + x3 += 0珂+吧一 3再+曲=° 珀+阳+盘丙7兀=0有非零解，那么'必须满足什么条件?解：由克莱姆法则知，齐次线性方程组有非零解的必要条件是其系数行列式等于零, 此有111121D =11-311a1=01b11 D =1又由：11 a-3 111 a0 T Ip -（逢+缈够0 a -1 b-a，从而血/必须2满足的条件为 + 1）43。注 用克莱姆法则求解系数行列式不等于零